（２）剛体振子　－重力加速度の測定

（２）剛体振子　－重力加速度の測定－

実験目的

　ケーターの振り子は３ヶの“おもり”が移動できるように作られていて、『回転半径』を変えることができる。振り子を逆さにつるしたときも、周期が変化しないとき、その周期と支店間の距離から重力加速度を求めることを目的とする。

実験方法

（１）ｍが可動範囲のほぼ中央にあることを確かめて、Ｍを下側（正方向）にしてつるす。この時、ナイフエッジを破損しないように注意して取り扱う。

　また、振り子を取り外したときは、必ず「縦方向」にしながら持ち運ぶ。

（２）ｍを目盛り90㎝の位置に固定し、100回周期を1/10秒以上の精度で測定する。

（３）ｍを10㎝下げて、(2)と同様に測定する。

　　　以下、順次10㎝づつ、下まで測定をする。

（４）次に、振り子を注意しながら取り外し、Ｍが上（逆方向）になるようにつるし、(1)(2)(3)の要領で測定する。

（５）(2)～(4)の結果をもとにグラフを描く。正方向と逆方向の曲線の交点をグラフからもとめ、この位置にｍを固定する。

（６）ｍを固定したならば、ｍの微動ねじを使って、5㎜ごとに100回周期を測定し、(5)の要領で正方向・逆方向の一致する周期を求める。

（７）(6)のグラフから、正逆周期が一致する位置に固定し、10往復毎の時間を210回まで連続して測定する。（この間、ストップウオッチを止めない。）計時は1/10秒以上の精度で測定する。

実験結果と課題

　(a)測定結果

正方向		逆方向
ｍの位置［cm］	100回周期の時間	ｍの位置［cm］	100回周期の時間
10	3分20秒67	90	3分20秒05
20	3分22秒03	80	3分19秒84
30	3分19秒66	70	3分19秒89
40	3分19秒30	60	3分19秒26
50	3分19秒37	50	3分18秒87
60	未測定	40	3分19秒00
70	3分19秒97	30	3分19秒47
80	3分22秒42	20	3分20秒23
90	未測定	10	3分21秒47

　　・測定結果をもとに、横軸にｍの位置，縦軸に時間をとった場合の関係のグラフを

　　　描く。（別紙参照）

　　・グラフより、交点を読みとると正方向・逆方向ともに、

ｍ＝22cm

　　　というｍの距離が求められる。

　　　この距離は正方向・逆方向ともに、同じ時間であるはずである。

　　・ここで、ｍ＝22cmの値を用いて正方向・逆方向の時間を測定して確かめをする。

正方向‥‥3分19秒92

逆方向‥‥3分20秒13

　　　差は100分の18秒であり、ほぼ一致していることが確かめられる。

課題（１）

　図２のような剛体振子の周期はsinθ≒θと近似して、

を回転軸として、

　となることを運動方程式から導く。

　また、のとき、を導く。

　図２のように、質量Ｍの剛体を重心Ｇからはずれた鉛直線Ｏで支え、自由振り子として振動させる。とすると、の鉛直線に対する変位角がθのとき、重心Ｇにかかる重力は軸Ｏのまわりにのモーメントを作り、θを減らすように働く。

　この回転の運動方程式はすべての摩擦抵抗が無視できるほどに小さいとすれば、以下のように表すことができる。

　ここで、とする。

‥‥(1)

　とすると、(1)式は角振動数の単振動の一般式である、

　と、同じ形をした式であることから、その周期Ｔは、

　となる。

　また、Ｉは平行軸の定理により重心Ｇを通って、Ｏ軸に平行な線に関する慣性モーメントＩＧと以下のように関係づけする事ができる。

　従って周期は、

と表される。

　またを回転軸として、がと対応するので、

　ここで、とするとき、

‥‥(2)　となる。

　一方、重心を通り、ナイフエッジに平行な回転軸についての慣性モーメントをＩＧとすると、の関係がある。

　従って、

‥‥(3)　となる。

　(2),(3)式より、

　が得られる。

　これらの式から、

　を導くことができる。

(b)正逆方向の周期と課題(1)で導かれたの関連を考えて、重力加速度を計算して文献値と比較考察をする。但し、とする。

　・時間が正逆方向ともに同じ場合の200回の10回毎の時間

往復回数	時間①	往復回数	時間②	②－① (100回周期)
10	1分19秒05	110	3分40秒12	201.07秒
20	1分39秒19	120	4分00秒25	201.06秒
30	1分59秒35	130	4分20秒44	201.09秒
40	1分19秒41	140	4分40秒50	201.09秒
50	1分39秒54	150	5分00秒69	201.15秒
60	1分59秒60	160	5分20秒79	201.19秒
70	2分19秒69	170	5分40秒88	201.19秒
80	2分39秒88	180	6分00秒91	201.03秒
90	3分00秒00	190	6分21秒03	201.03秒
100	3分20秒08	200	6分41秒12	201.04秒
110	3分40秒12	210	未測定
			100回周期平均	201.094秒
			Ｔの平均	2.01094

　のときの周期の式は課題(1)より、

　今回の実験で正逆方向の周期が一致した長さ‥‥ｍ＝22cm

　　　　　　　　　　　１００回周期平均時間‥‥3分21秒094

　　　　　　　　　　　　１００回周期の平均‥‥2.01094

　上記の値を、周期の式に代入して計算する。

　文献値　旭川市春光台海抜150m‥‥g=9.8055[m/s²]

　文献値と実験値との比較を誤差率を用いて考察すると、

　となる。

　参考として、各地の重力加速度をあげると、

地　　名	緯度	経度	高さ [m]	重力加速度 [m/s²]
札　幌	43o 4.3´	141o20.7´	15	9.8047757
青　森	40o39.2´	140o46.3´	3.45	9.8031106
東　京	35o38.6´	139o41.3´	28	9.7976319
パ　リ	48o49.8´	2o13.2´	65.9	9.8092597
ローマ	41o54.2´	12o30.8´	45.0	9.8034923
ワシントン	38o53.6´	77o 2.0´	0.2	9.8010429
昭和基地（南極）	69o 0.3´	39o35.4´	14	9.825256