応用物理実験：ねじれ振動（合成率の測定）

（４）ねじれ振動　－剛性率の測定－

　

　実験目的

　上端を固定した針金に円環をつるし、ねじりを与えると、円環は“ねじり振動”（回転運動）を行なう。この振動の復元力は針金のねじれ変形にともなう力のモーメントで、その大きさは針金の剛性率ｎに比例する。したがって、“ねじり振動”の周期を測定することによって剛性率を間接的に測定することを目的とする。

　実験方法

（１）円環を(a)図のようにきちんと乗せて、横揺れを止めて静止さ

　　　せる。

（２）円環をわずか(30°以下)にねじって“ねじり振動”を与える。

　　　この時横揺れを起こしてはならない。

（３）望遠鏡を通して円環の中央(目印をつけておく)をとらえ、５

　　　周期ごとに鉛筆で机をたたいて計時者に合図を送る。

（４）計時者はストップウォッチなどで1/10秒以上の精度まで読み

　　　記録する。この時、55周期まで連続してはかり、途中でスト

　　　ップウォッチを止めてはならない(積算計時を行う)。

（５）次に、円環を(b)図のようにつるして(2)～(4)の要領で測定

　　　する。

（６）(1)～(5)の要領でもう一本の針金について測定する。(黄色

　　　の針金は真ちゅう、灰色の針金は鋼鉄)

（７）円環の内径、外形、厚さ、質量そして針金の長さ、太さ(外

　　　形)をノギス、マイクロメーター、長尺、台計りなどで測定

　　　する。

　※注意　針金を折り曲げたり円環を足の上に落としたりしないように注意する。

　実験結果と課題
・測定値

円環の寸法	外径[mm]	内径[mm]	厚さ[mm]	質量[g]
１回目	189.00	130.50	32.00	3530
２回目	189.50	130.00	32.00	3520
３回目	189.50	130.00	32.00	3540
４回目	189.50	130.50	32.00	3530
平均値	189.38	130.25	32.00	3530

真ちゅう	長さ[mm]	太さ[mm]	鋼鉄	長さ[mm]	太さ[mm]
1回目	822.0	0.95	1回目	810.0	1.20
2回目	820.0	1.00	2回目	811.0	1.25
3回目	819.0	1.00	3回目	810.0	1.20
4回目	819.0	0.95	4回目	810.0	1.20
5回目	820.0	0.95	5回目	809.0	1.25
平均値	820.0	0.97	平均値	810.6	1.22

表：実験結果の表

周期	真ちゅう(ａ)	真ちゅう(ｂ)	鋼鉄(ａ)	鋼鉄(ｂ)
５	49秒16	1分15秒69	22秒42	35秒68
１０	1分44秒38	2分32秒06	47秒67	1分10秒42
１５	2分39秒51	3分47秒48	1分12秒95	1分44秒86
２０	3分35秒19	5分03秒97	1分38秒73	2分19秒52
２５	4分30秒35	6分19秒28	2分04秒09	2分54秒24
３０	5分25秒85	7分34秒84	2分29秒48	3分28秒71
３５	6分31秒94	8分51秒28	2分54秒80	4分03秒52
４０	7分27秒22	10分07秒06	3分20秒09	4分38秒07
４５	8分22秒94	11分22秒06	3分45秒26	5分12秒55
５０	9分17秒73	12分37秒44	4分10秒58	5分47秒24
５５	10分13秒32	13分54秒09	4分36秒01	6分21秒90
5周期平均[秒]	55.40	75.75	24.83	34.80
Ｔの平均[秒]	11.08	15.15	4.97	6.96

・周期Ｔに関して

　長さｌ、半径Ｒ、剛性率ｎの針金に、質量Ｍ、慣性モーメントＩの剛体をつるして、針金の中心軸を回転軸として回転運動させる場合の運動方程式は、ねじれ角をθ、針金の剛性による力のモーメントをＮとすると、次式で表される。

(１)

ここで、

(２)

と表すことができ、ｋは針金のねじれ剛性率である。

　式(１)より、剛体の回転運動の周期Ｔは、

(３)

となる。ｋを求めるために、半径ｒ、厚さｄｒの鉛管を針金内部にとり、これを中心角できりとった長さｌの角柱を考える。この角柱には、力のモーメントによってずれが生じる。ずれの角を、上下両面の面積ｄＳに加わる力をｄＦとすると、

(４)

が成り立つ。また、

(５)

(６)

である。

　面積ｄＳに加わる力ｄＦの力のモーメントｄＮは、次式で示される。

(７)

　式(４)、(５)、(６)を代入すると、

となる。半径Ｒの針金内のモーメントは、上式を積分して、

　となる。式(２)を使うと、

(８)

となり、式(３)は

(９)

となる。ここで、(ａ)の場合の慣性モーメントはＩ_Ａ＋Ｉ_Ｏなので、周期Ｔ_Ａは

(１０)

となり、また、(ｂ)の場合の慣性モーメントはＩ_Ｂ＋Ｉ_Ｏなので、周期Ｔ_Ｂは

(１１)

となる。

・剛性率ｎに関して

　上式(10)，(11)の両辺を二乗すると次のようになる。

、 (１２)

Ｉ_Ｏを消去すると、次式が得られる。

∴

・剛性率を計算し、文献値と比較・考察をする。

　計算値と文献値は以下のようになる。

表：剛性率

	真ちゅう	鋼鉄
文献値	32～40 [GPa]	82～85 [GPa]
計算値	39.61 [GPa]	70.32 [GPa]

　真ちゅうは文献値の範囲におさまっているが、鋼鉄は文献値をかなり下回ってしまった。計算結果から考察するなら、鋼鉄の文献値を調べる際に、鉄として調べてしまうとするなら、『軟鋼』,『硬鋼』,『鋳鉄』などの種類のそれぞれに剛性率は計算されていて、今回の実験結果から求められた値は柔らかい鉄に部類される鉄の仲間ではないかと考察する。

・慣性モーメントに関して

　(ｂ)の場合において、