PITÀGORES
DEMOSTRACIÓ DE LA INCOMMENSURABILITAT DE LA
DIAGONAL i ELS COSTATS D'UN TRIANGLE
TESI de partida:
A:
Per a tot parell de linies de longitud variable no hi ha una unitat que es troba continguda un determinat número enter de vegades en les dues. (aplicat al triangle, que la diagonal i el costat d’un triangle són incommensurables).
DEMOSTRACIÓ:
SUPOSEM EL CONTRARI DEL QUE TRACTEM DE DEMOSTRAR:
¬A:
És a dir, que hi ha una unitat que està continguda p vegades en el costat d'un quadrat i q vegades en la diagonal.
Premissa:
p i q no són parells, ja que si ho foren podríem dividir o multiplicar per 2 la unitat en qüestió.
Recurs auxiliar:
El Teorema de Pitàgores ens serveix per als nostres propòsits i ens diu que:
D2 = c2 + c2 (o també q2 = 2 · p2 )
D2 = 2 c2
Premissa resultant:
p és un número sencer; p2 serà, per tant, sencer; 2p2 ha de ser parell i q2 serà, en conseqüència, parell. Per tant, q serà parell, ja que si fóra senar també ho seria el seu quadrat (Ex.: 32 = 9).
En el cas de p, seria parell o senar?
Reprenent la formuleta del Teorema q2 = 2p2 tenim que si q és un nombre parell llavors podem anomenar-lo 2n, essent n un número sencer. Aleshores tenim:
(2n)2 = 2p2
4n2 = 2p2
2n2 = p2
p2 = 2n2
Premissa resultant:
Pels mateixos arguments que els d'abans arribem a la conclusió que p ha de ser parell.
CONTRADICCIÓ:
B ^ ¬B:
Si p i q són parells, refutem la possibilitat que p i q siguen senars, tesi que intentavem mantenir al començament. Però ambdues són contradictòries.
CONCLUSIÓ:
¬(¬A):
Hem de negar la hipòtesi que intentava mantenir l'asseveració que per a totes dues rectes hi ha sempre una unitat que es troba continguda un número sencer de vegades i que expressa una raó o relació de la longitud mesurada.
O EL QUE ÉS EL MATEIX:
A:
Hem de dir que hi ha un parell de rectes, com les representades per la diagonal i els costats d'un triangle, que no poden ser mesurades per una mateixa unitat (o que una no és fraccio de l'altra) i que per això s'anomenen incommensurables.
Copyright:S.Llàtzer, 2001