LOS CUADRADOS MAGICOS

La composición de cuadrados mágicos es un entrenamiento matemático muy antiguo. El problema consiste en buscar una disposición tal de los números sucesivos (empezando por 1), en las casillas de un cuadrado cuadriculado, que las sumas de los números en todas las filas, columnas y diagonales del cuadrado sean iguales.

La primera mención acerca de un cuadrado mágico se encuentra en un antiguo libro oriental que data de los años 4000- 5000 antes de nuestra era.

Los cuadrados mágicos eran más conocidos en la antigua India. La afición a los cuadrados mágicos paso de la India a los pueblos árabes, los cuales atribuían a estas combinaciones numéricas propiedades misteriosas. Los chinos los llamaban lo-shu.

En Europa occidental los cuadrados mágicos eran en la edad Media patrimonio de los representantes de las seudo ciencias, los alquimistas y los astrólogos.

De las viejas ideas supersticiosas es de donde estos cuadrados numéricos recibieron su denominación de mágicos (es decir pertenecientes a la magia), tan extraña a las matemáticas. Los astrólogos y los alquimistas creían que una tablilla con la representación de un cuadrado mágico era capaz de salvar de la desgracia a la persona que lo llevaba como talismán.

A comienzos del siglo XVI Cornelius Agrippa construyó casilleros para n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 los cuales asoció con los siete planetas entonces conocidos (incluyendo el Sol y la Luna).

Melancholia, el famoso grabado de Dürero hecho en 1514 incluye una imagen de un cuadrado mágico:

El cuadrado mágico de Dürero mencionado previamente es simétrico. Otras de las condiciones que se estudiaron además fue que todas las diagonales (trazadas como si el cuadrado estuviese sobre un bocel (1) ) se añaden al mismo número que la suma de filas y columnas. Euler estudió este tipo de cuadrado conocido como cuadrado pandiagonal. Ningún cuadrado pandiagonal del orden 2 (2n + 1) puede existir pero si de cualquier otro orden. Para n = 4 existen 880 cuadrados mágicos de los que 48 son pandiagonales.

La composición de los cuadrados mágicos no es solo una distracción. Su teoría fue elaborada por muchos matemáticos eminentes.

Esta teoría encuentra aplicación en ciertos problemas matemáticos importantes. Así, por ejemplo, existe un procedimiento de resolución de sistemas de ecuaciones con muchas incógnitas que utiliza las deducciones de la teoría de los cuadrados mágicos.

Si sumamos cualquier fila, columna o diagonal, en todos los casos obtendremos la misma suma 15. Este resultado puede preverse antes de construir el cuadrado ya que la suma de los nueve números da como resultado 45 y si lo divido por 3 (por tener 3 números en cada fila) obtenemos como resultado 15 (que corresponde a la suma de cada fila, columna o diagonal).

De modo semejante se puede determinar a priori la suma de los números de una fila o columna de cualquier cuadrado mágico, cualquiera sea el numerote casillas de que conste. Para esto hay que dividir la suma de todos los números del cuadrado por el número de sus filas.

Una vez compuesto un cuadrado mágico, es fácil obtener sus variantes, es decir, hallar una serie de nuevos cuadrados mágicos. Por ejemplo rotando los valores del cuadrado original, o bien haciendo simetría (reflejo en un espejo).

Este procedimiento fue propuesto en el siglo XVII por el matemático francés Bachet, sirve para componer cuadrados mágicos impares.

Para explicar el procedimiento empleado tomaremos como ejemplo el cuadrado mágico de 9 casillas.

Después de dibujar un cuadrado cuadriculado en nueve casillas, escribimos en orden creciente los números del 1 al 9, disponiéndolos en filas oblicuas, a tres en cada fila, como muestra el dibujo siguiente.

		3
	2		6
1		5		9
	4		8
		7

Los números que quedan fuera del cuadrado, los escribimos dentro de el, de forma que pasen a los lados opuestos del cuadrado (pero permaneciendo en la misma columna o fina en la que estaban).Como resultado obtenemos el cuadrado:

2	7	6
9	5	1
4	3	8

Este método se utiliza para construir cuadrado mágicos cuyos lados tengan un número múltiplo de 4 de casillas.

Para hacerlo hay que dibujar su cuadrado, colocar los números comenzando por el 1 en su orden natural desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha. Dividir el cuadrado en subcuadrados de 4x4 como muestra la figura, en el caso de de la construcción de un cuadrado de 8x8, y dibujar una "X" en cada subcuadrado, de modo que su centro coincida con el centro del subcuadrado que la contiene.

Los números no "tocados" por las X (en negro en la figura) quedarán en las casillas en que se encuentran, mientras que los "tocados" por las X, serán movidos. La forma de hacer ese movimiento es simetrizar con respecto al centro del cuadrado total los números "tocados" o, lo que es igual, invertir el orden en que han sido colocados en el cuadrado. La figura muestra cómo hacerlo en nuestro caso, lo que da el cuadrado mágico ya construido.

Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638), considerado el hombre más sabio de toda Francia, tradujo Arithmetica al latín. Era un lingüista brillante, poeta y estudioso de los clásicos; a Bachet le apasionaban los acertijos matemáticos. Su primera publicación fue una compilación de acertijos: Problemes plaisans et délectables qui se font par les nombres.

"¿Cuál es el mínimo número de pesas que se pueden utilizar en una balanza
para poder pesar cualquier número de kilogramos entre 1 y 40?"