QUINTA PARTE

ACERTIJOS

DE GEOMETRÍA SÓLIDA

Acertijos de geometría sólida.

Cuando nos desplazamos de la geometría plana a la geometría sólida, abandonamos el mundo chato y bidimensional de la hoja de papel o la pantalla de TV para llegar al rico mundo tridi­mensional de la vida cotidiana. Nuestros cuer­pos son tridimensionales. Nuestras casas son tridimensionales. Vivimos en un sólido tridi­mensional que es una esfera ligeramente acha­tada en los polos y con levísima forma de pera. La geometría sólida estudia las formas y las dimen­siones de todas las cosas tridimensionales.

Tal vez hayas advertido que muchas figuras bidimensionales tienen primos cercanos en las tres dimensiones. Sobre el plano, el compás tra­za un círculo. En el aire, si mantenemos la pun­ta del compás en una posición fija y dejamos que la punta que tiene el lápiz oscile en todas las di­recciones (o si rotamos un círculo), describirá la superficie de una esfera Cuando un joven quie­re describir a alguien "más cuadrado" que un "cuadrado", usa el nombre de la contraparte tridimensional del cuadrado, y habla de un "cubo"*. El triángulo equilátero también tiene su contraparte tridimensional, el tetraedro. Es una pirámide con cuatro caras, cada una de las cua­les es un triángulo equilátero.

La capacidad de pensar tridimensionalmen­te, que los cuatro problemas de esta sección ponen a prueba, es de gran importancia en casi todas las ciencias.

BAJO LA BANDA

Imagina qque te hallas en una esffera perfecta­mente lisa tan grande como el sol. Hay una ban­da de acero que abraza estrechamente la esfera alrededor del ecuador.

Se agregaa a esta banda un metro de acero, de manera que se eleve de la esfera a igual altura en todo el contorno. ¿Eso dejará la banda a una al­tura suficiente como para que puedas:

(1)   deslizar un naipe por debajo de ella?

(2) desliizar una mano debajo de ella?

(3) desliizar una pelota de béisbbol por debajo de ella?

SOLUCIÓN<

Parece soorprendente, pero esa baanda de acero, después de que se le agregue un metro,.. ¡se alzará casi 16 centímetros en todo el contorno! Por cierto que es altura suficiente como para des­lizar por debajo de ella una pelota de béisbol.

En realiddad, la altura a la que se elevará la banda es la misma independientemente del ta­maño que pueda tener la esfera. Es fácil comprender porqué. Cuando la banda está tensa alrededor de la esfera, es la circunferencia de un círculo con un radio que es el mismo que el ra­dio de la esfera. Sabemos, a partir de la geome­tría plana, que la circunferencia de un círculo es igual a su diámetro (que es el doble de su radio) multiplicado por pi (p). Pi es 3,14, un número ligeramente mayor que 3. Por lo tanto, si aumenta­mos la circunferencia de cualquier círculo een un metro, debemos inccrementar el diámetro un -po­quito menos de un tercio de metro, es decir algo más de 31 centímetros. Esto significa, por su­puesto, que el radio aumentará en casi 16 cen­tímetros.

Tal como muestra claramente la illustración, este aumento del radio es la altura a la que se ele­vará la banda con respecto a la superficie de la esfera. Será exactamente la misma, 15,9 centímetros, independientemente de que la esfera sea tan grande como el sol o pequeña como una na­ranja.

LA TERCERA LINEA

Una líneaa recta se dice que es aauto-congruente porque cualquier porción de ella puede hacerse coincidir exactamente con cualquier otra porción de la misma longitud. Lo mismo ocurre con la circunferencia de un círculo. Cualquier parte de la circunferencia es exactamente igual que cualquier otra parte de la misma longitud. Una línea oval no es auto-congruente porque diferen­tes partes de ella tienen curvaturas diferentes. Una porción de óvalo sacada de uno de los lados no coincidirá con la porción más curvada de uno de los extremos.

Hay un teercer tipo de línea que es auto-con­gruente como la línea recta y el círculo. ¿Puedes decirme qué clase de línea es?

SOLUCIÓN<

Como estee problema se halla denttro de la sección de geometría sólida, tal vez has adivina­do que el tercer tipo de línea auto-congruente no puede dibujarse en el plano. Se llama hélice cir­cular -una línea que describe una espiral en el espacio como un sacacorchos o como las rayas del poste de la peluquería-. Si estudias la ilustra­ción, verás que cualquier porción de esa hélice coincide con cualquier otra porción.

Hay otros tipos de hélices, pero sólo la hélice circular es auto-congruente. La hélice circular es la que describe una espiral de ángulo constante alrededor de un cilindro de sección circular. Otras hélices son las que describen espirales al­rededor de cilindros de sección no circular, y al­rededor de conos. Un resorte de colchón con forma de cono es un ejemplo familiar de hélice cónica. Las hélices tienen muchas propiedades interesantes, y se las halla frecuentemente en la física, la astronomía, la química, la biología y otras ciencias.

LOS CUBOS PINTADOS

Imagina qque tienes una lata de ppintura roja, una lata de pintura azul y una gran provisión de cu­bos de madera, todos del mismo tamaño. Dese­as pintar los cubos de modo que cada cara sea toda roja o toda azul. Por ejemplo, puedes pintar un cubo todo de rojo. El siguiente puedes pin­tarlo con tres caras rojas y tres caras azules. Tal vez el tercer cubo también pueda ser pintado con tres caras rojas y tres azules, pero de tal mane­ra que no sea igual que el segundo.

¿Cuántos cubos diferentes entre ssí puedes pintar de esta manera? Dos cubos se consideran iguales si puede rotarse a uno de ellos de tal ma­nera que todas sus caras sean de igual color que las caras correspondientes del otro cubo.

SOLUCIÓN<

Puedes piintar:

1 cubo toodo rojo.

1 cubo toodo azul.

l cubo coon 5 caras rojas, 1 azull.

1 cubo coon 5 caras azules, 1 rojja.

2 cubos ccon 4 caras rojas, 2 azuules

2 cubos ccon 4 caras azules, 2 roojas.

2 cubos ccon 3 caras rojas, 3 azuules.

Esto hacee un total de diez cuboss diferentes.

LA PELOTA DE BALONCESTO MOTEADA

¿Cuál es el mayor número de puntoos que puede dibujarse en una pelota de baloncesto de manera tal que cada punto quede a la misma distancia de todos los demás?

"Disstancia" en este caaso alude a la distancia medida sobre la superficie de la esfera. Una bue­na manera de trabajar sobre este problema con­siste en marcar puntos sobre una pelota y medir la distancia entre ellos mediante un cordón.

SOLUCIÓN<

No puedenn pintarse más que cuatrro puntos en una esfera si se desea que cada punto esté a la misma distancia de todos los demás. La ilus­tración muestra de qué modo están situados los puntos. Es interesante señalar que si dibujamos líneas rectas dentro de la esfera, que conecten los centros de los cuatro puntos, esas líneas marcarán los bordes de un tetraedro.

* N. del T. "Square" y "cube" son denominaciones despectivas que los jóvenes norteamericanos aplican a aquellos que consideran anticuados y convencionales.