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ACERTIJOS
CON JUEGOS
Acertijos con juegos.
¿Alguna vvvez te detuviste a pensar que en
realidad hay muchísimos juegos que son acertijos matemáticos? El ta-te-tí, por
ejemplo, es matemática pura. Es un juego tan simple que no resulta difícil
analizarlo exhaustivamente y convertirse en un jugador que jamás comete un
error. En la moderna teoría de juegos, una de las ramas más modernas de la matemática, se
dice que un jugador así juega racionalmente. Cuando dos jugadores de ta-te-tí (en la variante de
anotar "cruz" o "circulo", sin mover) juegan racionalmente,
el resultado es siempre un empate.
Las damasss y el ajedrez son otros dos ejemplos
familiares de juegos matemáticos, pero hay tantas maneras diferentes de hacer
movimientos que nadie ha logrado hasta ahora analizar por completo ninguno de
ambos juegos. Si dos jugadores de damas o de ajedrez juegan racionalmente,
¿el Juego terminará en un empate o acaso el jugador número 1 o el número 2
tendrán alguna manera segura de ganar? Nadie lo sabe. ¡Si alguien lo supiera,
las damas y el ajedrez serían dos juegos mucho menos interesantes!
Los cuatrrro acertijos de esta sección son cuatro
juegos novedosos que resultan fáciles de analizar y no pueden terminar en
empate. Trata de jugar con algún amigo y observa con cuánta rapidez puedes
descubrir la manera en que el primero o elll segundo jugador pueden ganar siempre
si juegan correctamente.
Para jugaaar a este juego, toma cualquier número
de fichas (pueden ser monedas, guijarros o pedacitos de papel) y disponlos en
un círculo. La ilustración muestra el principio de un juego con diez monedas.
Los jugadores se turnan para sacar una o dos fichas, pero si se sacan dos,
éstas deben estar una junto a otra, sin que haya entre ellas ninguna otra
ficha o espacio vacío. La persona que saca la última ficha es la que gana.
Si ambos jugadores juegan racionalmente,
¿quién de los dos ganará y cuál estrategia deberá utilizar?
SOLUCIÓN
El segundddo jugador, si utiliza la siguiente estrategia
de dos etapas, puede ganar siempre:
1. Despuééés de que el primer jugador haya sacado
una o dos fichas, quedará un único espacio vacío en alguna parte del círculo.
El segundo jugador saca ahora una o dos fichas del lado opuesto del círculo de
modo que las fichas queden divididas en dos grupos iguales.
2. De ahooora en más, sea cual fuere la jugada
que el primer jugador haga en un grupo, el segundo jugador tomará la o las
fichas correspondientes del otro grupo.
Esta estrrrategia se aclarará si juegas esta
partida modelo. Los números se refieren a los asignados en la ilustración a
cada una de las monedas.
Intenta eeesta estrategia al jugar con tus amigos
y verás que el segundo jugador no puede dejar de ganar, independientemente de
cuántas fichas se usen para formar el círculo.
Este entrrretenido juego se juega en el tablero
que muestra la ilustración.
Hay que ppponer dos fichas distintas entre sí en
el lugar donde está el retrato del zorro y en el que está el retrato del ganso.
Un jugadooor mueve el zorro, el otro mueve el
ganso. Una "movida" consiste en deslizar la ficha desde un punto
hasta otro adyacente, siguiendo una línea negra. El zorro trata de capturar al
ganso desplazándose hacia el punto ocupado por el ganso. Eso es lo que el ganso
debe tratar de impedir que suceda. Si el zorro captura al ganso en diez
movimientos o menos (es decir, en diez movimientos del zorro), gana. Si no
logra capturarlo en diez movimientos, gana el ganso.
Ahora bieeen, si el ganso tuviera el primer turno,
al zorro le resultaría muy fácil atraparlo en la esquina inferior izquierda del
tablero. Pero en este juego el zorro siempre debe mover primero. Eso parece
dar al ganso una buena oportunidad de escapar.
¿Puede elll zorro capturar siempre al ganso en
diez movimientos, si juega correctamente, o el ganso puede escapar en todos los
casos?
SOLUCIÓN<<
El zorro puede siempre capturar al ganso en
menos de diez movimientos. Así es como ocurre: Sus primeros tres movimientos
deben hacerlo rodear uno de los dos triángulos que se hallan en el centro del
tablero. Tras completar este circuito, es simple para él atrapar al ganso en un
cuadrado de la esquina antes de acabar con sus diez movimientos.
El Juego siguiente es típico:
Este curiiioso juego fue inventado por David Gale,
un profesor de matemática de la Universidad de Brown, y se ha comercializado
bajo el nombre de Bridg-It. Puede jugarse en tableros de diversos tamaños. La
versión que se explica aquí es fácilmente practicable sobre un papel, con lápices de dos colores
diferentes. ¡Es más divertido que el ta-te-ti!
Supongamooos que usas lápiz rojo y lápiz negro.
Con el lápiz negro, haz un rectángulo de 12 puntos tal como se ve en la figura 1.
Con el lápiz rojo, agrega doce puntos más como se ve en la figura 2. (En la ilustración, los puntos rojos están sombreados). La
figura 2 es el tablero donde se juega la partida.
Uno de los jugadores tiene el lápiz negro, su oponente tiene el lápiz
rojo. El primer jugador traza una línea vertical u horizontal que una dos
puntos adyacentes de su propio color. Después el otro jugador hace exactamente
lo mismo, uniendo dos puntos adyacentes del color que le corresponde a él.
Hacen esto por turno. El negro trata de formar un camino continuo de líneas
desde la fila superior de puntos negros hasta la fila inferior. Este amino no
tiene que ser recto, puede virar en cualquier dirección siempre y cuando una
lados opuestos del tablero. El rojo trata de formar un camino similar desde la
columna izquierda de puntos rojos hasta la derecha. Por supuesto que cada uno
de ellos utiliza también sus líneas para bloquear el camino del otro jugador.
El
jugador que complete primero el camino es el ganador. La figura 3 muestra
el final de una partida típica. El rojo (cuyas líneas son de puntos) ha
ganado. El juego no puede terminar en empate. ¿Quién ganará con seguridad, si
juega racionalmente, el primero o el segundo jugador?
SOLUCIÓN
Hay ciertas movidas de apertura que aseguran la victoria al primer
jugador. Una de estas movidas consiste en conectar los dos puntos más próximos
al centro del tablero. Hay demasiadas alternativas de juego como para discutirlas
todas aquí, pero este movimiento, con sucesivas jugadas cuidadosas, hará que
el primer jugador gane.
Existe un modo interesante de probar que el primer jugador,
independientemente de las dimensiones del tablero, puede ganar -siempre
si juega correctamente:
Es así:
(1) Supongamos, sólo para divertirnos, que el segundo jugador tiene una estrategia segura para ganar.
(2) El primer jugador traza su primera línea en cualquier parte.
Entonces, después de que el segundo jugador ha trazado su línea, el primer jugador finge ser el segundo jugador, y juega con
su estrategia ganadora.
(3) La lííínea que el primer jugador trazó en su
primer movimiento no puede entorpecer su estrategia ganadora. Si esa línea no
forma parte de su estrategia, entonces no tiene ninguna importancia. Si forma
parte de la estrategia, entonces cuando llegue el momento de trazarla, lo que
el primer jugador hace es trazar su línea en otra parte.
(4) Por lllo tanto, el primer jugador puede ganar
siempre.
(5) Pero esto contradice nuestra primera suposición,
que afirmaba que el segundo
jugador podía ganar. En consecuencia, esa suposición era errónea.
(6) El juuuego no puede terminar en empate, de
modo que si no existe una estrategia ganadora para el segundo jugador... ¡debe
existir una para el primer jugador!
Esta prueeeba, que es aplicable a otros juegos
además del Bridg-It, es una prueba famosa de la teoría de juegos porque
demuestra que existe una estrategia ganadora para el primer jugador, en un
tablero de cualquier tamaño, pero no explica cuál es esa estrategia. La prueba
no es fácil de comprender cuando se la explica tan sumariamente como aquí,
pero si la piensas cuidadosamente, acabará por resultarte clara. Los
matemáticos la llaman prueba de existencia porque
demuestra que algo existe sin decir cómo descubrirlo.
En este cccaso, el tipo de razonamiento utilizado
se conoce como reductio ad absurdum, que es laaa expresión latina por "reducción
al absurdo". Se demuestra que una de dos cosas debe ser verdadera, se
supone que una de ellas es verdadera, pero eso conduce a un absurdo lógico,
por lo cual la otra. cosa debe ser la verdadera. En este caso la prueba se
desarrolla de la siguiente manera: (1) uno de los dos jugadores debe ganar,
(2) se supone que es el segundo jugador el que puede ganar siempre, (3) esto
conduce a una contradicción lógica, (4) en consecuencia, es el primer jugador
el que puede ganar siempre.
Es ésta uuuna poderosa forma de demostración
que los matemáticos usan con frecuencia.
Distribuyyye nueve monedas en tres filas como se
ve en la ilustración. Los jugadores, por turnos, deben sacar una o más monedas
siempre que todas pertenezcan a la misma fila. Por ejemplo, un jugador podría
sacar una moneda de la fila superior, o todas las monedas de la fila inferior.
La persona que se ve obligada a tomar la última moneda, pierde.
Si el priiimer jugador hace un primer movimiento
correcto, y si sigue racionalmente, puede ganar siempre. Si no hace ese primer
movimiento correcto, su oponente, jugando racionalmente, puede ganar en todos
los casos.
¿Puedes dddescubrir cuál es ese primer movimiento?
SOLUCIÓN<<
La única manera en la que el primer jugador
puede estar seguro de que ganará es sacando tres monedas de la fila inferior en
su primer movimiento.
Cualquierrr partida que deje uno de los siguientes
esquemas de monedas, ganará con toda seguridad:
1.
Una moneda en cada una
de las tres filas.
2.
Dos monedas en cada una
de dos filas.
3.
Tres monedas en cada una
de dos filas.
4.
Una moneda en una fila, dos en otra, tres en una tercera.
Si tienesss presente estos cuatro esquemas
ganadores, podrás derrotar a un jugador inexperto cada vez que te toque mover
primero, así como cada una de las veces que él mueva primero y no haga el
movimiento correcto de apertura. Nim puede jugarse con cualquier número de
fichas dispuestas en cualquier número de filas. El juego ha sido completamente
analizado por medio de la utilización del sistema binario de la aritmética.
Se creyó en una época que era de origen chino,
pero el nombre "Nim" le fue dado en 1901 por Charles Leonard Bouton,
un profesor de matemática de la universidad de Harvard, que fue el primero en
realizar su análisis completo. "Nim" es una palabra inglesa obsoleta
que significa "robar o llevarse".