El Estilo Matemático
José Ramón Ortiz
Todo es estilo. No inventamos sino profundizando en lo que ha
sido hecho, encontrándole nuevas evidencias.
M. Seuphor
La palabra "estilo" generalmente se relaciona con la esfera de lo
estético, así hablamos de estilos de arte o modas, de
estilos literarios, el estilo de Cervantes o el de Rubén
Darío; el estilo de Rembrandt o el de Picasso. También
su connotación en la esfera estética tiene una carga
subjetiva impresa por el autor.
También en la esfera de la ciencia, pero con menos
frecuencia, observamos en su devenir histórico el uso de
manera informal de frases como: estilo de pensamiento, estilo de
razonamiento, estilo metodológico, y muchas otras. Más
concretamente podemos mencionar el estilo galileano de razonamiento,
término atribuido originalmente a Husserl, como ejemplar de la
modelación matemática del universo. O se habla del
estilo newtoniano como una refinación del estilo galileano.
La noción de estilo ha sido utilizada, recientemente, como
una herramienta analítica por algunos historiadores y
filósofos de la ciencia y la matemática. Desde la
década de los sesenta, el historiador de la ciencia A. C.
Crombie ha escrito profusamente sobre los estilos del pensamiento
científico en la tradición europea, trabajo que ha sido
publicado en tres volúmenes.
La idea de Crombie sobre el estilo del pensamiento
científico tiene más que ver con la metodología
que con el contenido de las ciencias, considerando seis estilos
principales:
1) El método de postulación ejemplificado por la
ciencia y la matemática griega.
2) La construcción de experimentos para controlar los
postulados y explorar por medio de la observación y la medida.
3) La construcción hipotética de modelos
analógicos.
4) El ordenamiento de la variedad por comparación y
taxonomía.
5) Análisis estadístico de regularidades en
poblaciones y el cálculo de probabilidades.
6) La derivación histórica del desarrollo
genético.
Estos seis estilos conforman, ordenados cronológicamente,
sin ser exhaustivos ni exclusivos, lo que podríamos llamar los
principales estilos del pensamiento científico occidental. El
filósofo de la matemática Ian Hacking retoma la
noción de "estilo de pensamiento" de Crombie y lo transforma
en "estilo de razonamiento", tratando de formalizar
filosóficamente la noción de estilo más
allá de las necesidades del historiador.
¿Cómo se origina un estilo? Cada estilo se origina,
según Hacking, en las pequeñas interacciones de la
esfera microsocial.
"Sin embargo cada estilo se ha hecho independiente de su
historia.... Cada estilo se ha transformado en lo que creemos ser
cierto canon de objetividad, un estándar o modelo de lo que
debe ser razonable acerca de este o ese tipo de conocimiento"
(Hacking: 10)
Para Hacking, la principal característica de esta
noción de estilo es la innovación, la
introducción de innovaciones. Cada estilo de razonamiento
introduce un conjunto de innovaciones, nuevos tipos de:
a) Objetos
b) Evidencias
c) Proposiciones, nuevas formas de establecer la verdad o
falsedad.
d) Leyes, o modalidades
e) Posibilidades
De esta forma el estilo queda determinado por estas innovaciones.
Cada estilo introduce nuevos tipos de entidades, como las cinco antes
señaladas. Por ejemplo, si consideramos el nivel de los
objetos, cada estilo de razonamiento está asociado con un
debate ontológico acerca del nuevo tipo de objeto. Así
nos podemos preguntar: ¿Existen los objetos matemáticos?
Este es el problema del "platonismo" matemático. ¿Existen
realmente las entidades teóricas del estilo de laboratorio
(fusión de los estilos 1 y 2 de la lista de Crombie) que no
podemos observar? Este es el problema del realismo científico.
De esta forma, Hacking, propone como condición necesaria
para ser un estilo de razonamiento que cada estilo debe introducir el
mayor número de elementos innovadores y debe hacerlo de una
forma abierta, progresiva y creativa.
Otra característica fundamental de los estilos de
razonamiento, análoga al concepto de paradigma, es que son
cerrados en sí mismos, es decir, ellos mismos se legitiman: a
pesar de que los estilos pueden evolucionar o ser abandonados, los
estilos son curiosamente inmunes a la refutación (Hacking: 13)
Bajo esta noción de estilo vamos a tratar de caracterizar
el estilo matemático como un estilo propio de razonamiento,
que satisface en general las condiciones de Hacking. Además,
como veremos en la segunda parte, el estilo matemático
está formado a su vez por un conjunto de estilos que de una u
otra forma han formado parte de la historia y la filosofía de
la matemática.
Hablar de estilos en general, como dijimos en la primera parte de
este artículo, parece ser un caso subjetivo de puntos de
vistas, y podríamos cerrar el tema con la frase de para gustos
y estilos han escrito los autores. Pero en nuestro caso, como en toda
forma de razonamiento científico, aplicamos el término
estilo de razonamiento a una forma de uso colectivo y social, como lo
son las ciencias en general y la matemática en particular.
También debemos aclarar que una primera forma de
aproximación estilística a la matemática deviene
de considerar a la matemática ya sea como lenguaje o como
ciencia. Porque ambas concepciones se complementan, y en nuestra
consideración del estilo matemático como un estilo de
razonamiento especial vamos a tomar en cuenta ambas concepciones.
La mayoría de los lenguajes matemáticos han sido
creados para tratar un problema empírico, de esta forma se
crearon la geometría y el cálculo. Mientras que de la
reflexión filosófica sobre la matemática y su
fundamentación, podríamos considerar las famosas tres
escuelas matemáticas: el logicismo, el formalismo y el
intuicionismo, que en cierta forma generaron tres estilos de hacer
matemática. Un ejemplo dentro de esta corriente es el estilo
de la teoría de conjuntos.
Sin embargo no debemos olvidar que la práctica
matemática en su forma más estricta, como apuntara G.
H. Hardy: una idea matemática es "significante" cuando puede
ser conectada o relacionada, en una forma natural y esclarecedora,
con otras ideas matemáticas de mayor complejidad. Así
un teorema matemático serio, un teorema que relaciona ideas
significantes, tiene gran probabilidad de conducirnos a importantes
avances en la matemática y también en otras ciencias.
II
De acuerdo con lo señalado en la primera parte, podemos
resumir que cualquier noción de estilo matemático va a
estar condicionada por el concepto mismo de matemática, como
metodología y como lenguaje. Como lenguaje, general e
informalmente, se considera a la matemática como una
combinación de un lenguaje natural y un lenguaje artificial.
El natural u ordinario esta compuesto de "palabras", que constituyen
el lenguaje general que utilizamos para comunicarnos en la vida
cotidiana. El artificial está compuesto de "palabras" en el
sentido anterior, y de símbolos ideográficos, elegidos
artificialmente por el matemático. Y como metodología,
muchas veces se refieren a la matemática como la ciencia de la
deducción o la prueba.
Con respecto al estilo matemático, propiamente dicho, no
existe mucha literatura. Javier de Lorenzo, en su libro
Introducción al estilo matemático, señala que
para 1971, fecha en que publica este libro, no existía
prácticamente nada al respecto y sólo encontró
un artículo de C. Chevalley, publicado en 1935, donde se
hacía referencia explícita al estilo matemático:
Révue de métaphysique et de morale.
Vamos a considerar a continuación, a manera de ejemplo de
subestilos del estilo matemático, la clasificación que
elabora J. de Lorenzo de los estilos matemáticos utilizando
como parámetro fundamental, para delimitar los diferentes
estilos, la consideración simbólica: la forma y uso de
los símbolos, más que la perspectiva histórica,
la cual es utilizada, principalmente, para ordenar
cronológicamnete los diferentes estilos.
De acuerdo con esto, J. de Lorenzo considera los siguientes
estilos matemáticos que han aparecido a lo largo de la
historia:
Estilo geométrico: Hace énfasis en el aspecto
axiomático-deductivo sobre el operacional o notacional. Emplea
signos figurales, como representación fiel del objeto que
representan. Busca el mayor rigor, aunque por el aspecto figural se
entrometa la intuición sensible en las demostraciones. Es de
carácter expositivo.
Estilo poético: Se caracteriza por el simple enunciado de
reglas o enunciados matemáticos. Se recurre a la
tradición oral del poema el cual condiciona la
expresión. Más inventivo que expositivo.
Estilo cósico: Es un estilo que fusiona el lenguaje
ordinario y los signos. de manera artificial. Cósico por
referirse a la "cosa" para designar la incógnita. Es
generalizable y poco riguroso. Su principal objetivo
metodológico es resolver problemas.
Estilo algebraico-cartesiano: Estilo eminentemente notacional. Es
el primer paso hacia el álgebra moderna.
Estilo de los indivisibles: A medio camino entre lo figural y lo
simbólico. Muy abstracto, pero ambiguo y carente de conceptos
consistentes. Su razón de ser es pragmática, por el
éxito de sus resultados. Se utiliza por lo general el
razonamiento por analogía y su rigor es endeble. Más
inventivo que expositivo.
Estilo operacional puro: Método de cálculo. heredero
del anterior, dominio del simbolismo artificial, el rigor juega un
papel secundario, lo importante es desarrollar algoritmos efectivos
en cualquier esfera científica..
Estilo de los e: Nombre utilizado por de Chevalley. Surge como
consecuencia de la aritmetización del análisis.
Adquiere rigor gracias a la definición de limite dada por
Weiertrass, tomada como base del análisis matemático.
Estilo sintético: Consecuencia del desarrollo
geométrico a principios del siglo XIX y de la Geometría
proyectiva. El estilo sintético puede considerarse un estilo
euclideo poco riguroso.
Estilo dual: Una derivación del principio de dualidad de la
Geometría proyectiva, es un complemento del estilo anterior.
Estilo axiomático: Se debe a la corriente geométrica
de fundamentación de la Matemática, también en
el siglo XIX. Sigue el esquema axiomático deductivo. Los
signos son estrictamente simbólicos (no figurales como en el
estilo geométrico). Busca el máximo rigor y es
más expositivo que inventivo.
Estilo formal: Se basa en el signo, en su dimensión
sintáctica. Es totalmente artificial y aspira al rigor
más absoluto. Representa un juego lingüístico.
Estilo semiformal: J. de Lorenzo considera este estilo como el
estilo matemático actual, utilizado por la mayoría de
los matemáticos. Tiene al estilo formal como estilo regulador:
como el estilo ideal de la matemática. Usa muy poco el
lenguaje ordinario, sólo lo necesario. Como en el caso del
estilo formal, el signo sólo se admite en su dimensión
sintáctica. Eminentemente deductivo y axiomático.
Tiende al rigor casi absoluto. Pretende ser tanto expositivo como
inventivo.
Según J. de Lorenzo, todos estos estilos se conciben bajo
la conceptuación contextual e histórica en que se
considere la matemática. Sin embargo, su clasificación
de los estilos matemáticos hace poco énfasis, a
diferencia de Hacking, en el estilo como estilo de razonamiento y se
refiere con más detalle al estilo como estilo
simbólico, como mencionáramos anteriormente.
Es obvio que todos estos estilos matemáticos se pueden
agrupar y desagrupar de formas muy variadas. Así, por ejemplo,
podríamos considerar como señala Carlos Di Prisco en el
comienzo de su artículo Algunos aspectos de la teoría
de particiones, vol. I, No. 2, año 1994: Se puede asegurar,
sin exagerar demasiado, que toda argumentación
matemática se centra en una idea geométrica o en una
idea combinatoria (p.45). En este sentido tenemos dos grandes estilos
matemáticos, de acuerdo con el estilo de razonamiento, el
estilo geométrico y el estilo combinatorio.
También podríamos considerar el estilo
aristotélico o cualitativo, frente al estilo galileano o
mecanicista. Tomando como precedente el auge que ha tenido a
través de la teoría de los sistemas dinámicos y
la teoría del caos de la concepción aristotélica
o cualitativa de la matemática.
Para finalizar quisiera señalar que, independientemente de
la forma en que clasifiquemos los estilos matemáticos, es
importante a la hora de formalizar el concepto de estilo
matemático, tener presente la noción de Crombie-Hacking
de estilo de razonamiento como factor necesario para limitar la
noción de estilo y la definición de práctica
matemática exitosa dada por Hardy para orientar y evaluar la
evolución de los estilos matemáticos.
Referencias
Di Prisco, Carlos
Algunos aspectos de la teoría de particiones,
Boletín AMV, vol. I, No. 2, año 1994
Hacking, Ian
"Style" for Historians and Philosophers. Studies in History and
Philosophy of Science. Vol. 23 No.1, 1992.
Hardy, G. H.
A mathematician's Apology. The World of Mathematics (Ed. J.R
Newman) vol.iv Tempus Books. Washington, 1988
Lorenzo, Javier de
Introducción al estilo matemático. Tecnos.Madrid,
1989