Fraktale geometrie en chaos teorie:

'n Kort oorsig.

Discovery. Application. Impact. Discovery......
From Future Shock by Alvin Toffler (1970), p. 38.

Positive feedback leading to overstimulation.
The response: future shock.

Future shock is the distress, both physical and psychological, that arises from an overload of the human organism's physical adaptive systems and its decision making processes

From Future Shock by Alvin Toffler (1970), p. 297.

Inleiding

Van ouds af reeds soek wetenskaplikes na die eenvoudigste verklaring vir verskynsels in die wêreld om ons. Wiskunde en die krag van rekenaars stel nou 'n teorie wat navorsers help om die ingewikkeldhede van die natuur te verstaan. Die chaos teorie.

Hou vanaf 'n brug 'n blaar dop wat stroom-af dryf. Kyk hoe dit gevang word in 'n kolk, warrel, ontsnap en verder af weer gevang word. Om te raai wat die blaar gaan doen wanneer dit aan die ander einde van die brug verskyn is grootliks sinneloos en tydmors: die geringste verandering in die blaar se posisie kan sy uiteindelik koers heeltemal verander.

Klein veranderinge lei later tot groot veranderinge. Hierdie gedrag is die kenteken van chaos.

Wat is chaos?

Die term chaos word gewoonlik gebruik om die ingewikkelde gedrag van nie-liniêre sisteme te beskryf. Chaos teorie is 'n uitdagende groeiende veld wat die studie van 'n reeks verskynsels wat sensitiewe afhanklikheid aan aanvangstoestande vertoon, behels. Sommige natuurlike sistems, soos die weer, is so sensitief vir selfs klein plaaslike skommeling, dat 'n klein verandering in 'n parameter tot uiteenlopende resultate kan lei. Hierdie word die skoenlapper-effek genoem. 'n Skoenlapper wat op een kontinent sy vlerke beweeg kan, teoreties, die weer op 'n ander beïnvloed.

Chaos en fraktale geometrie hou nou verband. Fraktale geometrie is 'n veld benoem en bevorder deur die wiskundige Benoit Mandelbrot, om 'n versameling kurwes te beskryf wat, voor die koms van die rekenaar, min gesien is. Hierdie versameling het drie belangrike eienskappe:

Hulle word geskep deur relatief eenvoudige berekeninge oor en oor te herhaal. Die resultate van elke herhaling word in die volgende siklus gebruik. Hierdie is iets wat rekenaars baie vinnig kan doen.
Hulle is letterlik oneindig ingewikkeld: hulle vertoon meer en meer detail sonder einde namate kleiner en kleiner areas gekarteer word. Verder lyk 'n klein gedeelte baie vergroot soortgelyk aan groter gebiede oor 'n wye reeks van skale. Neem as voorbeeld die Suid- Afrikaanse kus met sy ruwwe onreëlmatighede. As jy na 'n kaart van 'n kleiner gedeelte, byvoorbeeld 'n baai kyk, sal jy sien dat die rande dieselfde tipe vorms en onreëlmatighede as die kuslyn vertoon. Op 'n klein gedeelte, een voet lank, van die strand word dieselfde patrone weer gesien. Hierdie herhaling van vorme op kleiner en kleiner skaal word self-ooreenkoms genoem.
Hulle is ongelooflik mooi, veral wanneer die rekenaar se kleurvermoë ingespan word om kleure aan uitgesoekte punte toe te ken.

Dit is die uitsonderlike grafika geassosieer met chaotiese sisteme wat die onderwerp so aanloklik maak. Die grafika is 'n visuele vertoon van ingewikkelde en pragtige strukture wat kan ontstaan in sisteme gebaseer op eenvoudige reëls. Hierdie bied dan 'n skakel met die natuur want bome en berge is voorbeelde van fraktale. Sommige fraktale bestaan slegs as vorme in abstrakte geometriese ruimte, maar ander kan gebruik word om ingewikkelde natuurlike vorme en verskynsels voor te stel. 'n Paradoksale kombinasie: ongeordende struktuur in wiskundige, fisiese, biologiese, elektriese en chemiese stelsels en die kunste.

Die wiskunde agter chaos.

Dink aan 'n getal x, plaas dit in 'n eenvoudige vergelyking en voer die vergelyking vir 'n rekenaar. Sit die antwoord terug in die vergelyking. Herhaal die oefening en kyk hoe chaos ontstaan.

Die beeld is 'n versameling wiskundige punte met fraktale dimensies. Die rykheid van die resultate kontrasteer met die eenvoud van die genererende formule. Baie fraktale behels net die iterasie van funksies van komplekse getalle tot 'n afsnywaarde oorskrei word. 'n Gekoppelde punt op die skerm word gekleur na gelang van die aantal iterasies wat voltooi is.

Alhoewel chaos heeltemal ewekansig lyk, gehoorsaam dit baie maal streng wiskundige reëls afkomstig van vergelykings wat gestel en bestudeer kan word.

Die idees van fraktale geometrie kan teruggevolg word na die laat negentiende eeu, toe wiskundiges vorms - versamelings van punte - geskep het, wat geen eweknie in die natuur gehad het nie. Ironies dat die "abstrakte" wiskunde wat uit die werk ontstaan het, nou blyk meer toepaslik te wees as enige ander om baie natuurlike vorme en prosesse te beskryf. Ervaring wys dat die wiskundige mooi van vandag oorsprong gee aan die gereedskap van môre.

Die rol van die rekenaar.

Ontwikkelinge in die teorie het voortgespruit uit die samevoeging van abstrakte wiskunde en een van die belangrikste navorsings instrumente vandag, die rekenaar. Hierdie abstrakte wiskunde bevat 'n skoonheid en kompleksiteit wat ooreenstem met gedrag wat niemand ten volle kon waardeer of selfs vermoed het voor die koms van die rekenaar nie. Met die toenemende grafiese vermoëns van die rekenaar is die vaardighede van die geestesoog versterk deur uitbeelding op vertoonskerms en drukkers. Fraktale modelle het resultate gelewer - reekse van vloedhoogtes of katoenpryse - wat kenners sê baie soos werklike reekse lyk.

Voeg 'n bietjie chaos by jou lewe en plaas jou wêreld in orde.

Op die oomblik kan wetenskaplikes nie die basiese wette van die natuur gebruik om te voorspel wanneer water van 'n lekkende kraan gaan drup, of hoe die weer oor twee weke sal wees nie. Om die waarheid te sê, dit is moeilik om die beweging van enige voorwerp wat aan meer as een krag onderworpe is, baie ver vooruit te voorspel. Dan word nog nie eers gekyk na ingewikkelde sisteme wat die interaksie tussen baie voorwerpe behels nie. Van chaotiese speelgoed met flitsende ligte tot vliese en krulle van sigaretrook, chaotiese gedrag is ongereeld en wanordelik.

Dit is hier waar chaos teorie tot hulp kom om 'n bietjie lig te gooi op die manier waarop die omgewing om ons werk. DIt toon hoe stelsels wat gedurig verander uiters sensitief is van hul aanvangstaat - posisie, spoed en so meer. Terwyl die sisteem ontwikkel in tyd versterk klein verandering vinnig deur middel van terugvoer. Dit beteken dat stelsels met slegs klein verskille in aanvangstoestande vinnig en groot verskil op later stadiums. Sulke gedrag stel streng beperkings op die moontlikheid om 'n toekomstige staat te voorspel omdat akkuraatheid afhanklik is van die akkuraatheid waarmee aanvangstoestande gemeet kan word. Indien so 'n sisteem op 'n rekenaar nageboots word, kan die toekomstige gedrag van die sisteem heeltemal verander word deur net die desimale verskillend af te rond.

Behalwe hul merkwaardige wiskundige eienskappe, het chaos teorie 'n groot aantrekking weens die rol wat die speel om hartversaking, meteorologie, ekonomie, bevolkingsbiologie, neurale netwerke, reekse parallelprosesseerders, leukemie, breinritmes en goudpryse te verstaan. Wetenskaplikes het nou 'n verklarende instrument om baie van die ingewikkeldhede van die wêreld te beskryf. Fraktale geometrie is gebruik om beelde en modelle van wyd uiteenlopende gebiede te skep. Van drie-dimensionele landskappe in films tot akkurate dwarssnit modelle van die hart: fraktale is in baie velde op die voorpunt van navorsing. Die meeste sistems waarmee ingenieurs te doen kry is nie-liniˆre dinamiese sisteme. Selfs vloede in die Nyl word ondersoek.

Baie van die vorms wat wiskundiges generasies tevore ontdek het is bruikbare nabootsings van lewende weefsel, wolke en sterrestelsels. Visualisering is uitgebrei na die fisiese wêreld.

Wolke is nie balle nie, berge nie keëls nie, die kuslyn nie sirkels nie en bas is nie glad nie. Weerlig beweeg ook nie in 'n reguit lyn nie. Die natuur voorsien baie voorbeelde van fraktale. Varings, blomkool, brocolli of die vloei van 'n rivier: elke takkie, blaartjie en vertakking lyk baie soos die geheel. Die reëls wat groei beheer sorg dat eienskappe op klein skaal oorgedra word na 'n groter skaal.

Dit lyk asof chaos ook verantwoordelik is vir die behoud van orde in die natuurlike wêreld. Terugvoer meganismes sorg nie net vir buigbaarheid in lewende sisteme om die delikate, dinamiese balanse te handhaaf nie, maar bevorder die natuur se neiging tot self-organisasie. Selfs die kloppende hart maak staat op terugvoer vir reëlmatigheid.

Chaos teorie is ook aangewend in 'n verskeidenheid visuele kunste. Fraktale het bekend geword deur die stroom vervalsings van kuslyne, berge en wolke, selfs tonele vir films soos in Star Trek II. Die komplekse grafika huiwer wonderbaarlik tussen orde en onreëlmatigheid. Sulke kleurvolle iterasies skakel wiskunde met kuns en die natuur op 'n stimulerende manier. Chaos het wiskunde lewendig gemaak.

Ten slotte

Chaos: die vermoë van eenvoudige modelle, sonder ingeboude ongeordende eienskappe, om hoogs wanordelike gedrag voort te bring. Chaos is opwindend: dit kan ingewikkelde verskynsels vereenvoudig. Chaos is kommerwekkend: dit bring nuwe vertwyfeling oor tradisionele modelbou-prosedures van die wetenskap. Chaos is fassinerend, die interaksie tussen wiskunde, wetenskap, tegnologie en kuns. Bowenal is chaos pragtig. Dit is nie per ongeluk nie. Dit is sigbare getuienis van die skoonheid van wiskunde, normaalweg beperk tot 'n gedagtebeeld van die wiskundige maar wat hier oorspoel na die alledaagse wêreld van menslike sintuie.

Ek is besig om 'n lys van voorbeelde van fraktale saam te stel:

Twee of meer kleure verf wat gemeng word. Hoê vergroting van oppervlak van 'n diamand. Brander op sand en golfmerke op sand. Opeenvolgende snye deur 'n kool. Vlerk van naeldekoker. Sonneblom. Skulpe en deursnit deur skulpe. Die see. Berge Senuweestelsel. Purkinje sel. Kollageen op verskillende vergrotings. Kristalstruktuur. Diatome. Nautilus. Sneeukristalle Fibonacci in denne, skulpe, blomme en phyllotaxy Deursnit deur plant, blom. Boom Kontoerlyne op land en see. Dreinasiepatrone van riviere. Aarpatroon op blaar. Amazone rivier. Weerlig. Penwortel van saailing. Sycamore boom en blaar. Ierse mos. Bloedvatsisteem Bondel tou Straatkaart. Enige voorstelle?
Stuur 'n nota en ek sal dit met jou naam, email adres en of enige ander URL hier byvoeg.

Hierdie teks is nie in die publieke versameling nie. Enige persoon is egter vry om hierdie stuk te versprei en byvoegings hierby aan te las op voorwaarde dat die oorspronklike teks nie verander mag word nie en die outeur sy naam byvoeg by die nuwe stuk. Indien jy iets by die bladsy self wou voeg, of enige vra het, stuur 'n pos. Byvoegings sal gemaak word onder die outeur se naam. Gepaste bindings (links??!!) is welkom en sal terug verbind word (stuur net die URL deur).

Jy is besoeker Counter wat na hierdie blad te kyk.

Back to the main page?
All mistakes are my own. Don't forget to mail me.

Hierdie blad voorsien deur Kry jou eie Gratis Gat in CyberSpace