A cinemática do salto em distância (Figuras)

 

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Fig. 1. Diagrama da velocidade onde vo é a velovidade de corrida , v1 é velocidade de lançamento, e
a é o ângulo de lançamento.



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Fig. 2. Geometria do salto em distância: a e b são distâncias do centro de gravidade do saltador, à partir do ponto de decolagem e do ponto de aterrisagem, respectivamente;
a é o ângulo de lançamento e b o ângulo de aterrisagem



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Tabela 1: O melhor ângulo de lançamento para um alcance máximo.



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Fig. 3. Distância R como uma função do ângulo de lançamento
a por várias velocidades de corrida vo



 

A cinemática do salto em distância




   
        O salto em distância é um dos mais naturais eventos no atletismo. Antes do salto, é permitido ao saltador percorrer uma distância máxima de 40-m ,para que ele atinja a sua velocidade máxima, e salte o mais distante possível de uma placa de decolagem. Este é um evento no qual a habilidade do atleta é um fator de grande importância, e a técnica é de importância secundária.

        Dois fatores muito importantes no salto em distância são a velocidade e a elevação, isto é explicado pelo fato de que dois dos maiores saltadores da historia, Jesse Owens e Carl Lewis, eram também os maiores velocistas de suas épocas, suas habilidades saltando dependeu principalmente de sua velocidade. Outros grandes saltadores como Ralph Boston, Bob Beamon, e Mike Powell (o atual detentor do recorde mundial) dependem mais da elevação, para compensar a falta de velocidade explosiva. Ralph Boston por exemplo realizou saltos elevado de 6 à 9 pés.

        Do ponto de vista da cinemática, qual é o melhor ângulo de lançamento para maximizar a distância do salto? Sabe-se que na ausência da resistência do ar, o melhor ângulo de lançamento em um plano horizontal é de 45°. Entretanto isto não é aplicável ao salto em distância, onde o saltador tem que se lançar às custas de parte de sua energia transicional antes da decolagem.

        Primeiramente nós calculamos o melhor ângulo de lançamento para um salto, em um plano horizontal negligenciando a resistência do ar, este poderia ser o caso se o saltador aterrissasse verticalmente, então o seu centro de gravidade permanecesse na mesma altura durante o lançamento e a aterrissagem.

        Tendo n o como a velocidade inicial do atleta antes de saltar; n 1 a velocidade de lançamento; e a o ângulo de lançamento do atleta (fig. 1). Então a formula para a energia total antes do lançamento é E o = 1/2mn o 2 . Uma fração g desta energia é perdida sob forma de som e calor, uma outra parte D E é convertida em energia no movimento vertical: D E = 1 / 2 mn 1 2 sen2a ( a energia transicional cinética de a ). A energia transicional cinética do saltador após a decolagem é E 1 = 1 / 2 m1 2 . Pela lei de conservação da energia nós temos: E 1 = E o - g E o - D E (1).

        Substituindo os valores na equação (1) acima, e simplificando nós obtemos:    v1 = [ (1 - g ) ¹/² / (1 + sen² a )¹/² ] n o (2).

        O alcance R do projétil em um plano horizontal é obtido pela cinemática elementar : R = n 1 ² sen2 a / g = A sen2 a / 1 + sen²a (3) onde A = ( 1 -g ) n o ² / g

        Diferenciando a Eq.(3) duas vezes com respeito a a simplificando, nós temos: dR / da = [ 3 cos2 a -1 / (1 +sen²a )²] A (4), e d²R / da ² = [ 4 (3 sen4 a + 1 4 sen2 a ) / (cos2 a - 3 )³ ] A (5)

        Tendo dR/da =0, nós obtemos o melhor ângulo de lançamento em um plano horizontal : a m = ¹/² cos-¹ (1/3) = 35.26°.Substituindo este valor de a na equação (5), podemos confirmar que este corresponde a um ângulo de lançamento para a escala máxima , observe que este ângulo é independente de n o ou g .

        Na verdade o atleta aterrissa com seus pés na frente de seu corpo para aumentar a distância do salto (fig.2), nesta posição o centro de gravidade do atleta está a uma distância h, abaixo de seu nível na decolagem e a distância b entre o centro de gravidade e os pés é também mais curta do que aquela na decolagem, a (veja fig.2). Se b for o ângulo da aterrissagem, então h = a - b senb . Neste caso a distância do salto é dada por: R= n 1 cosa / g [ n 1 sena + (n 1 ² sen²a +2 gh)¹/² ] + L (6), onde L = b cosb , substituindo n 1 na eq. (2) nós temos : R = A [ sen2 a / 1 +sen²a {1 +[1 +B (1 + sen²a / sen²a )¹/²] } + L (7), onde B = h/A.

        No princípio o ângulo de aterrissagem b deve ser o menor possível, mas numericamente ele deve ser maior do que o ângulo da descida de modo que o saltador não pouse sobre o seu acento, a experiência diz que esse ângulo é de 45°. Em referência à definição de b , note que o ângulo junto as pernas e o horizontal é consideravelmente menor . Tratando L como uma constate, podemos encontrar o ângulo de lançamento para a escala máxima analiticamente, diferenciando a Eq. (7) à respeito de a , igualando a derivada à zero e simplificando, nós chegamos à uma equação transcendental: : p( a ) = q( a ) (8), onde p( a ) = 2 + 1 2 B + 2 ¹/² cosec a [1 + 3 + B - (B +1) cos2a ]¹/² (9) e q( a ) ={6 + 4 B + 3 2 ¹/² cosec a [1 + 3 B - (B +1) cos 2a ] ¹/² } cos2a (10).

        A equação (8) pode ser resolvida numérica ou graficamente. Para um saltador como Carl Lewis (1.86m ou 6 à 2 pés), a =0.93m; estimando b =0.6m e b =45° nós temos aproximadamente h =0.51m e L =0.42m. Mas adicionadas as análises de McFarland e Tan, que sugerem que o g =1/10. Calculando os dois lados da equação (8) usando o ângulo de lançamento incremental crescente, nós obtemos o melhor ângulo de lançamento para a m máximo da escala .

        A tabela 1 indica os resultados para as várias velocidades iniciais n o . É evidente que a m é agora menor do que o valor dado anteriormente de 35.26° para o plano horizontal; também aumentamos a m para n o ; isto corresponde com a expectativa de que o ângulo de inclinação diminua com o aumento de n o , e consequentemente o aumento de R.

        De acordo com os cálculos modelo 11.5m/s era a velocidade limite para o mais rápido dos velocistas como Carl Lewis.

        Ao contrario dos mais altos números encontrados na literatura, este esta perto da velocidade mais alta já atingida por um ser humano. A tabela 1 mostra que com uma velocidade tão alta é teoricamente possível ao saltador atingir 9.69m ou 31 a 9 pés. Porque isto esta 2 pés acima do atual recorde mundial de 8.95m ou 29 pés e 4 ½ , esta distância pode ser considerada o mais alta limite para o salto em distância nos dias atuais. A tabela adicional indica em ordem os melhores saltos do mundo, o saltador deve atingir uma velocidade superior a 11m/s.

        Em um memorável duelo de saltos entre Carl Lewis e Mike Powell, ambos atras de um velho recorde de Bob Beamon (8.90m ou 29pés a 2 ½ ), que deteve o recorde mundial por quase 23 anos, antes de Mike Powell, atual detentor do recorde mundial. Faltando a velocidade explosiva de Lewis, Powell deve ter feito um salto com um grande ângulo de lançamento, para obter este recorde.

        Havia sido estimado que Jesse Owens, usava um ângulo de lançamento entre 25° e 26°, que é considerado baixo em relação ao melhor ângulo de lançamento a m derivado aqui.

        Entretanto isto não é tão surpreendente, considerando o fato de que Owens, da mesma forma que Lewis era um saltador muito velos. Outro grandes saltadores como Ralph Boston, Bob Beamon, Lynn Davies, e Arnie Robinson, todos confiando mais na elevação para atingir suas marcas. A figura 3 mostra a variação da distancia R dependendo dos ângulos de lançamento e das várias velocidades, isto reafirma o fato de que a velocidade mínima requerida para igualar ou melhorar a marca atual é de 11m/s.

        A figura 3 mostra que Carl Lewis que havia registrado mais 28 pés saltando do que todos os outros humanos anteriores combinados, e que perseguiu a marca mundial inclusive de Beamon no nível do mar, sem sucesso poderia em teoria ter conseguido atingir o seu objetivo usando um ângulo de lançamento tão baixo quanto 22°.