Geometria Analitica Geometria Analitica
Parte 1

Resumo da teoria
1 - Introdução
A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através de processos particulares , estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos .
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo". 
1 - Coordenadas cartesianas na reta
Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem. Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.
r ........................................A'... O...... A

.........................................-1..... 0..... +1
O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (uma unidade de comprimento). É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto Z dos números inteiros. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A' é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc. 
A reta r é chamada eixo das abscissas.
Curiosidade: Você sabe porque o conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z? Pois fique sabendo que isto é devido à palavra número em alemão ser Zahl. 
2 - Coordenadas cartesianas no plano
Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P. O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo das ordenadas. O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES. No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.
Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OY é x = 0. Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja equação evidentemente é y = x. Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x. Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.
Exercícios Resolvidos
1) Se o ponto P(2m-8 , m) pertença ao eixo dos y , então :
a) m é um número primo 
b) m é primo 
c) m é um quadrado perfeito
d) m = 0
e) m < 4
Solução: Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula. Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito(4 = 22).
2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :
a) r é um número natural
b) r = - 3
c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0
d) r é um número inteiro menor do que - 3 .
e) não existe r nestas condições .
Solução: Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2. Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 ou seja: (-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação. 
3) Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :
a) 200
b) 196
c) 144
d) 36
e) 0
Solução: Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0. Logo, k = 14 e portanto 
k2 = 142 = 196. Portanto a alternativa correta é a letra B.
2 - DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontos A e B:

Esta fórmula também pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.
Exercício Resolvido
O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :
a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)
Solução: Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:
AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2
AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2
BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 \ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.
3 - PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M Î AB tal que AM = BM . Nestas condições , dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas do ponto médio M(xm , ym) serão dadas por:


Exercício Resolvido
Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:
a) 25
b) 32
c) 34
d) 44
e) 16
Solução: Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34 ou seja raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.
4 - BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO
Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :


Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C .
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.
Tente resolver as seguintes questões. 
1 - Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?
Resp: 651/2 u.c (u.c = unidade de comprimento).
2 - Determine um ponto de abcissa positiva que dista 15 u.c da origem do sistema cartesiano e tem a ordenada igual ao dobro da abscissa.
Resp: (5,10) 
3 - Calcule o perímetro de um triângulo isósceles de lados AB e AC iguais, conhecendo-se os pontos B(-1,4) , C(5,2) e sabendo-se que o ponto A tem ordenada 2.
Resp: valor aproximado = 13 (12,99...).
4 - Determine um ponto de abscissa 1 e ordenada inteira, cuja distância ao ponto A(1,0) é o dobro de sua distância ao ponto B(2,2).
Resp:(1,2) 
5 - Dados os pontos P(2,3) e Q(-4,1), determine o ponto R do eixo positivo das ordenadas, sabendo que o triângulo PQR é um triângulo retângulo de hipotenusa PQ.
Resp: (0,5)
6 - Calcule as coordenadas do ponto de interseção das retas 2x + 5y - 18 = 0 e 6x - 7y - 10 = 0. Sendo P este ponto, qual a sua distância à origem do plano cartesiano?
Resp: P(4,2) ; d = 4,47...
7 - Determine o ponto do eixo das abscissas que é eqüidistante dos pontos M(1,-1) e N(5,7).
Resp: (9,0)
8 - Se os pontos A(3,6) e B(5,10) pertencem a uma circunferência de raio R e são diametralmente opostos, determine o centro e o raio dessa circunferência.
Resp: C(4,8) ; R = 2,236...
9 - Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.
Resp: 850
10 - Os pontos A(-3, -1) e B(5, 3) pertencem a uma circunferência cujo centro C está no eixo das ordenadas. Qual o ponto C?
Resp: (0, 3)







 
GEOMETRIA ANALÍTICA - Parte 4

Resumo da Teoria
Dando prosseguimento ao estudo de Geometria Analítica, vamos ver agora, novas formas da equação da reta.
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA 
Considere a reta representada na fig. a seguir:

Verificamos que a reta corta os eixos coordenados nos pontos (p,0) e (0,q). Sendo G(x,y) um ponto genérico ou seja um ponto qualquer da reta, através da condição de alinhamento de 3 pontos, chegamos facilmente à equação segmentária da reta:

Obs: a) se p ou q for igual a zero , não existe a equação segmentária (Lembre-se: não existe divisão por zero) \ portanto , retas que passam na origem não possuem equação segmentária .

GEOMETRIA ANALÍTICA - Parte 2

Resumo da Teoria
1 - O DETERMINANTE DE TERCEIRA ORDEM NA GEOMETRIA ANALÍTICA 
1.1 - ÁREA DE UM TRIÂNGULO
Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por S = 1/2 . | D | onde ½ D½ é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C . Temos portanto:

A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área) 
Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.
1.2 - CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta .
É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .
Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :
a) 4
b) 3
c) 3,5
d) 4,5
e) 2
Solução: Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:

Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: - 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 \ y = 9/2 = 4,5. Portanto a alternativa correta é a letra D.
2 - EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb). 
Seja P(x , y) um ponto qualquer desta reta . Pela condição de alinhamento de 3 pontos , podemos escrever:

Desenvolvendo o determinante acima obtemos:
(Ya - Yb) . x + (Xa - Xb) . y + (XaYb - XbYa) = 0 .
Fazendo Ya - Yb = a , Xa - Xb = b e XaYb - XbYa = c , decorre que todo ponto P(x,y) pertencente à reta , deve verificar a equação :
ax + by + c = 0 que é chamada equação geral da reta r .
Exs: 2x + 5y - 4 = 0 (a = 2 , b = 5 , c = -4)
3x - 4y = 10 (a = 3 , b = -4 , c = -10); atenção: observe que podemos escrever 3x-4y-10=0.
3y + 12 = 0 (a = 0 , b = 3 , c = 12)
7x + 14 = 0 (a = 7 , b = 0 , c = 14)
x = 0 (a = 1 , b = 0 , c = 0) ordenadas .® equação do eixo Oy - eixo das 
y = 0 (a = 0 , b = 1 , c = 0) ® equação do eixo Ox - eixo das abscissas . 
Obs: a) a = 0 ® y = - c/b (reta paralela ao eixo dos x )
b) b = 0 ® x = - c/a (reta paralela ao eixo dos y)
3 - POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS
Sabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser : 
PARALELAS : r Ç s = Æ 
CONCORRENTES : r Ç s = { P } , onde P é o ponto de interseção .
COINCIDENTES : r = s .
Em termos de Geometria analítica , prova-se facilmente as seguintes relações:
Dadas as retas r: ax + by + c = 0 e s: a'x + b'y + c' = 0 temos os seguintes casos :
® as retas são coincidentes .
® as retas são paralelas .
	as retas são concorrentes .
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 - OSEC-SP - Qual a posição relativa das retas r: x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?
Solução:
Temos que: 1 / 4 = 2 / 8 ¹ 3 / 10 (terceiro caso acima) e portanto as retas são concorrentes, ou seja, se interceptam num único ponto.
2 - Dadas as retas r: 3x + 2y - 15 = 0 ; s: 9x + 6y - 45 = 0 e t: 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar:
a) elas são paralelas
b) elas são concorrentes 
c) r Ç t Ç s = R 
d) rÇ sÇ t = R2 
e) as três equações representam uma mesma reta .
Solução:
Primeiro vamos verificar as retas r e s: 3 / 9 = 2 / 6 = -15 / -45 (primeiro caso acima) e portanto as retas r e s são coincidentes. Comparando agora, por exemplo a reta r com a reta s , teremos: 3 / 12 = 2 / 8 = -15 / -60 (primeiro caso acima); portanto as reta r, s e t são coincidentes, ou seja, representam a mesma reta. Logo a alternativa correta é a letra E.
3) Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0 .
Solução:
Da equação da reta r tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1); substituindo na equação da reta s vem:
6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0 Substituindo o \ 54 - 15y - 7y - 10 = 0 \ 44 - 22y = 0 \ 44 = 22y \ y = 2; valor de y na eq. 1 fica x = (18 - 5.2) / 2 = 4. Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2).
Agora resolva esta:
Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?
Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)

GEOMETRIA ANALÍTICA - Parte 3

Resumo da Teoria
Exercício resolvido
Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).
Solução: Sendo G(x,y) um ponto qualquer da reta cuja equação é procurada, podemos escrever:

Aplicando a regra de Sarrus para desenvolver o determinante de 3ª ordem acima, vem:
- 4x - 2y - 5 + 8 + y + 5x = 0 Þ x - y ++ 3 = 0 que é a equação geral procurada. Observe que a equação da reta também poderá ser escrita como y = x + 3. Esta última forma, é conhecida como equação reduzida da reta, como veremos a seguir.
1 - OUTRAS FORMAS DE EQUAÇÃO DA RETA
Vimos na seção anterior a equação geral da reta ou seja ax + by + c = 0 . Vamos apresentar em seqüência , outras formas de expressar equações de retas no plano cartesiano:
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
Seja a reta r de equação geral ax + by + c = 0 . Para achar a equação reduzida da reta , basta tirar o valor de y ou seja : y = (- a/b)x - c/b . Chamando - a/b = m e - c/b = n obtemos y = mx + n que é a equação reduzida da reta de equação geral ax + by + c = 0 .O valor de m é o coeficiente angular e o valor de n é o coeficiente linear da reta . Observe que na equação reduzida da reta , fazendo x = 0 , obtemos y = n , ou seja : a reta r intercepta o eixo dos y no ponto (0 , n) de ordenada n .
Quanto ao coeficiente angular m , considere a reta r passando nos pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) . Sendo y = mx + n a sua equação reduzida ,podemos escrever:
y1 = mx1 + n e y2 = mx2 + n . Subtraindo estas equações membro a membro , obtemos 
y1 - y2 = m (x1 - x2) . Logo , a fórmula para o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) é :

Se considerarmos que as medidas Y2 - Y1 e X2 - X1 são os catetos de um triângulo retângulo, conforme figura abaixo

podemos concluir que o valor de m é numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo a . Podemos então escrever m = tg a , onde o ângulo a é denominado inclinação da reta . É o ângulo que a reta faz com o eixo dos x. A tga , como vimos é igual a m , e é chamada coeficiente angular da reta . Fica portanto bastante justificada a terminologia coeficiente angular para o coeficiente m.
Observe que se duas retas são paralelas , então elas possuem a mesma inclinação ; logo , concluímos que os seus coeficientes angulares são iguais . 
Agora resolva este:
Analise as afirmativas abaixo :
(01) toda reta tem coeficiente angular .
(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .
(04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo 
(08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um ângulo agudo .
(16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas .
(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular .
Determine a soma dos números associados às sentenças verdadeiras.
Resp: 02+08+32 = 42


e todas as propriedades dos números complexos, podem ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples. 






 
LISTA DE FÓRMULAS 

	BASICO 
Juros Simples 
j = C.i.n 
Juros Compostos
Cn=C. (1 + i)n 
Desconto Composto 
A= N. 1/ (1+i)n 
Equivalência de Taxas 
ia = ib/ 1- ib.n
Desconto Comercial Simples
d = N.i.n 
. 
Valor Atual
A = N. (1-i.n) 
Montante ( Juros Simples)
M = C. (1 + i.n) 
CASOS DE RENDAS CERTAS OU ANUIDADES 
Valor Atual (Postecipada)
V=T.ani
Valor Atual (Antecipada)
V=T+T.an-1i
Valor Atual (Diferida)
V=T.ani/(1+i)m 
Montante
M=T.Sni





Noções de Matemática Financeira - Parte I

INTRODUÇÃO
De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira pois, busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o valor monetário no tempo (time value money). As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira, são: a taxa de juros, o capital e o tempo.
Devemos entender como Juros, a remuneração de um capital aplicado a uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J ) = preço do crédito.
A existência de Juros, decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:
1 - inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo.
2 - risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento.
3 - aspectos intrínsecos da natureza humana : os seres humanos adoram ganhar dinheiro! Eh eh eh eh ...
Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo. 
Assim por exemplo, se os juros anuais correspondentes a uma dívida de R$2000,00 (Principal = P) forem R$200,00 (Juros = J), a taxa de juros anual ( i ) será 200/2000 = 0,10 = 10% ao ano. Indica-se: i = 10% a.a.
Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, etc., motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado.
Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido (veremos em outro artigo, que enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau - crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente - segundo uma função exponencial)
Por enquanto é só!

GEOMETRIA ANALÍTICA - 
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Ache a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 3y - 18 = 0.
Solução: Podemos escrever: 2x + 3y = 18 ; dividindo ambos os membros por 18 vem:
2x/18 + 3y/18 = 18/18 \ x / 9 + y / 6 = 1. Vemos portanto que p = 9 e q = 6 e portanto a reta corta os eixos coordenados nos pontos A(9,0) e B(0,6).
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta.
x = f(t) onde f é uma função do 1o. grau
y = g(t) onde g é uma função do 1o. grau
Nestas condições , para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra .
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Um móvel descreve uma trajetória retilínea e suas coordenadas em função do tempo t , são:
x = 3t + 11 
y = -6t - 21 
Qual a equação segmentária dessa trajetória?
Solução:
Multiplicando ambos os membros da 1ª equação paramétrica por 2, vem: 2x = 6t + 22. Somando agora membro a membro com a 2ª equação, obtemos: 2x + y = 32 (observe que a variável t é eliminada nessa operação pois 6t + ( -6t ) = 0 ). Dividindo ambos os membros da equação obtida por 32 fica: 2x / 32 + y / 32 = 32 / 32 \ x / 16 + y / 32 = 1, que é a equação segmentária procurada.
RETAS PERPENDICULARES
Sabemos da Geometria Plana que duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam entre si um ângulo reto (90º) . Sejam as retas r: y = mr x + nr e s: y = ms x + ns . Nestas condições podemos escrever a seguinte relação entre os seus coeficientes angulares: 
ms = - 1 / mr ou mr . ms = -1 .Dizemos então que se duas retas são perpendiculares , o produto dos seus coeficientes angulares é igual a -1. Deixaremos de demonstrar esta propriedade, não obstante a sua simplicidade, mas se você se interessar em ver a demonstração, mande-me um e-mail solicitando.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Dadas as retas de equações (2w - 2)x + (w - 1)y + w = 0 e (w - 3)y + x - 2w = 0, podemos afirmar que:
A. elas são perpendiculares para qualquer valor de w 
B. elas são perpendiculares se w = 1 
C. elas são perpendiculares se w = -1 
D. elas são perpendiculares se w = 0 
E. essas retas não podem ser perpendiculares 
Solução:
Podemos escrever para a 1ª reta: y = [-(2w-2) / (w-1)].x - w /(w-1).
Analogamente para a 2ª reta: y = [-1 / (w-3)].x + 2w / (w-3). Ora, os coeficientes de x são os coeficientes angulares e, pelo que já sabemos, a condição de perpendicularidade é que o produto desses coeficientes angulares seja igual a -1. Logo:

Efetuando os cálculos indicados e simplificando-se obtemos: w2 - 2w + 1 = 0, que é equivalente a (w - 1)2 = 0, de onde conclui-se que w = 1.
MAS, CUIDADO! Observe que 1 anula o denominador da expressão acima e, portanto é uma raiz estranha, já que não existe divisão por zero! Apesar das aparências, a raiz 1 não serve! Logo, a alternativa correta é a letra E e não a letra B como ficou aparente.
MATEMÁTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
EXERCÍCIOS E RESOLUÇÕES
e encontro das semMediana é um segmento que divide uma reta em duas 
Semi-retas congruentes.
Vértices são ponto di-retas
Ponto médio é o ponto que divide duas semi retas exatamente ao meio.
Coordenadas são os valores de x e y,no sistema cartesiano ortogonal.

1-Os vértices de um triângulo são os pontos A(0,4), B(2,-6) e C( -4,2). Calcular os comprimentos das medianas do triângulo:        










2-Sabe-se que M(a,b) é o ponto médio do segmento AB.Se A(11,-7) e B(-9,0).Calcule as coordenadas do ponto M.

















3-Sabe-se que uma das extremidades de um segmento é o ponto cujas coordenadas são (-2,-2).O ponto médio desse segmento tem coordenadas (3,2). Determine as coordenadas x e y da outra extremidade do segmento.










4-determine as coordenadas do vértice de um triângulo, sabendo se que os pontos médios dos lados do triângulo são: M(-2,1) N( 5,2) e P(2,-3)










5-Sabe-se que que o ponto (a,2) é eqüidistante dos pontos A(3,1) e B( 2,4).Calcular a abscissa do ponto P.










6-Provar que o triângulo cujos vértices são os pontos A(2,-2) B(-3,-1) e C(1,6) é isósceles.











7-Usando o teorema de Pitágoras,verificar se o triângulo de vértices A(-1,-3),B(6,1) e C(2,-5) é retângulo.










8-Determine a distância de A(2,-5) a B(7,7).







9-Calcule a distância do ponto M(-12,9) a origem.








10-Determine a distância entre os pontos  A(seno a ,cosseno a) e B(cosseno a seno a).









11- Calcule o número real de forma que a distância do ponto P(2a,3) ao ponto Q(1,0) seja 3Ö2.









12-Seja A um ponto do eixo das ordenadas. Dado o ponto B(-3,-2).Calcule as coordenadas do ponto A, de forma que o comprimento do segmentoAB,seja igual a 5.

















13-O triângulo ABC é retângulo (Â é reto) e o vértice  A é um ponto do eixo das abscissas.Determine as coordenadas do ponto A, sabendo que A (2,4) e B(5,0).










14-Dados P(x,2), A(4,-2)e B(2,-8), calcule o nº real x de modo que o ponto P,seja eqüidistante de Ae B.











15-São dados os pontos A(2,y), B(1,-4) e C(3,-1).Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B.














16-Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A(0,5), B(3,-2) e C(-3,-2) é isósceles e calcule o seu perímetro.











17-Sabe -se que o triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em A. Calcule o  valor de k.













18-Calcule os comprimentos das medianas do triângulo cujos vértices são os pontos.A(0,0), B(4,2) e C(2,4).















19-A figura abaixo nos mostra um triângulo retânguloABC.Seja M o ponto médio da hipotenusa BC.Prove analiticamente que o ponto M é eqüidistante dos 3 vértices do triângulo.














20-O triângulo A(2,7), B( 5,3) e C(10,8) é isósceles, retângulo ou escaleno?









21-O ponto do eixo das abscissas eqúidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6) é:























22-Dados A(4,5), B(1,1) e C( x,4) o valor de x para que o triângulo ABC,seja retângulo em B é:




















23-Num paralelogramo ABCD, dois vértices consecutivos são os pontos A(2,3),B(6,4).Seja M(1,-2) o ponto de encontro das diagonais AC eBD do paralelogramo.Sabendo que as diagonais no paralelogramo cortam mutuamente ao meio, determine as coordenadas do vértice CE D do paralelogramo.











24-Um lado de um paralelogramo tem extremidades nos pontosA(-3,5) e B(1,7).Sabendo que P(1,1) é o ponto médio das diagonais, os outros vértices são os pontos:












25-O ponto M(x,x)é eqüidistante do ponto A(1,-5) e B( -2,4).Calcule-os:












26-O ponto M tem coordenadas iguais e fica distante 5 unidades do ponto A(2,3).As coordenadas de M são:













27-O triângulo de vértices A(4,3), B(6,-2) e C( -11,-3)é:










ESTUDO DA RETA
Pontos Colineares,são os pontos que pertencem a mesma reta.
Logo temos D=0
Para que os pontos sejam vértices de um triângulo,não podem estar alinhados,logo neste caso temos D#0
Conclusão se o D=0 os pontos estão alinhados,caso contrário não fazem parte da reta mas são vértices de um triângulo.
Equação geral da reta-   x+y+c=0
Equação reduzida da reta- y=mx+c
Equação paramétrica da reta- x/p+y/q=1

1- Os pontos A(x,3), B(-2,-5) e C(-1,-3), são colineares. Qual o valor de x?







2-Seja o ponto P de intersecção da reta r com o eixo das ordenadas.Sendo a reta determinada pelos pontosA(-1,-2) e B((4,2).Calcule as cordenadas do ponto P:












3-Determine x de modo que os pontos A(1,3) B(x,1) e C(3,5) sejam os vértices de um triângulo:











4-Os pontos A(0,1), B(1,0) e C(p,q) estão alinhados. Determine o valor de P e Q.











5- Uma reta é determinada pelos pontos A(2,0) e B(0,4)e uma outra reta determinada pelos pontos C(-4,0) e D(0,2).Seja P(a,b) o ponto de interceçãodas duas retas.determine as coordenadas do ponto P.











6-Resolvendo o sistema temos:

2x+y=4
x-2y=-4












7-Mostre que para todos os valores reais de t e n,os pontos A(2,3),B(2+4t,3-5t)e (2+4n,3-5n),são colineares.







8-Determine t, sabendo que os pontos A(½,t),( 2/3,0)














9-Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(2,3)e tem coeficiente angular ½ :











10- dados os pontos A(2,3) e B(8,5) determine a equação da reta que passa pelos pontos A e B.
















11-Determine a equação da reta que passa pelos ponto P(4,1) e term uma inclinação de 45º:












12- Determine a equação da reta r da figura abaixo:












13- Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3) e pelo ponto Q simétrico de P em relação a origem:












14-Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(4,8), identificando o coeficiente angular e linear.












15-Escreva a equação da reta que tem coeficiente m=2 e que cruza o eixoy no ponto(0,3).












16-Dada a reta que tem como equação 3x+4y=7,determine o coeficiente angular da reta:













17-Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelos pontos A(1,3) e b(4,7)











18-Uma reta que passa pelo ponto P(-2,-4) e tem coeficiente angular m=-2/3.Determine o coeficiente linear da reta.











19-Escreva a equação segmentária da reta cujo gráfico está na figura abaixo:













20-Os pontos (1,2),(3,1) e(2,4), são vértices de um triângulo.Determine a equação das reats suportes dos lados desse triângulo.














21-O ponto M (a 2  -1,3 a)pertence a reta de equação x+y+3=0,calcular as coordenadas do ponto M:














22-Determine a equação geral da reta determinada pelos pontos A(2,-1), B(-3,2)











23-Verifique se o pontoA(2,2)pertence a reta 2x+3y-10=0











24-A equação y=4 é a equação de uma reta paralela ao eixo x.esta afirmação é verdadeira ou falsa?












25-Calcule o coeficiente angular e linear da reta  -3x+6y+ 2=0 :













26-Sabendo que o pontoP(a,a+3) pertence a reta x+3y-1=0.calcule as coordenadas do ponto P:















27-A reta 3kx+(k-3)y-4=0,passa pelo pontoP(2,1).Calcule o valor de k e escreva a equação da reta e determine seu coeficiente angular e linear:











28-Determine as retas suportes de um triângulo, cujos vértices são os pontosA(-2,1),B(0,3)e C(2,0):














29-São dados os pontos A(-1,-3),B(5,7),C(2,-4)e D(0,2). O ponto M1 é o ponto médio do segmentoAB e o ponto M2 é o ponto médio de CD.Determine a equação da reta que passa por M1 e M2:













30-Os pontos A(2,3),B(4,1)e C(6,7)são os vértices de um triânguloABC.Determine a equação da reta suporte da mediana relativa ao lado BC.












POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS
De acordo com as posições as retas podem ser paralelas ,perpendiculares concorrentes ou coincidentes.
Retas concorrentes são aquelas cujos coeficientes angulares ( inclinação ) sejam diferentes.
Retas paralelas  são aquelas cujos coeficientes angulares sejam iguais.
Retas perpendiculares são aquelas cujos coeficientes angulares,sejam simétricos(sinais trocados) e inversos( invertidos).
Retas coincidentes é uma reta em cima da outra( superposta)

Retas concorrente são retas que se cruzam.
Retas perpendiculares são retas que se cruzam e formam entre -si um ângulo reto(90º).
Todas as retas que se cruzam são concorrentes.
Mas nem todas as retas que se cruzam são perpendiculares.
Uma reta é determinada por apenas 2 pontos distintos
Toda reta tem um coeficiente ângular e um coeficiente linear.

EXERCÍCIOS

1-Qual a posição da reta 6x+4y-3=0 e a reta 9x+6y-1=0?









2-Determine os valores de M para que as retas m1 e m2 de equações (1-m)x-10y+3=0 e (m+2)x+4y-11m-18=0 sejam concorrentes?












3-As retas r e s de equações p(x)+8y+1=0 e 2x +py-1=0, respectivamente são paralelas.Nestas condições calcular o valor de p:












4-As retas n1 e n2 de equações x/2+y/5=1 e 2x-y+5=0,respectivamente,são paralelas ou concorrentes?













5-Para que valores de a as retas de equação ( a+3)x + 4y-5=0 e x+ay+1=0 são paralelas?















6-Qual deve ser a relação de igualdade entre a e b para que a reta l1 de equação x- 3y+15=0 seja paralela a reta l2 determinada pelos pontos A(a,b)e B(1,2)?















7-Determinar a equação da reta que passa pelo ponto A(3,5) e é paralela a 8x-2y+1=0














8-Na figura abaixo ABCD é um quadrado. Determinar a equação da reta suporte do lado AB:












9-Dados os pontos A(2,3) e B(-1,-4), determine a equação de uma reta l paralela a reta dada, determinada pelos Ae B e que passa pelo ponto C(-1,-2).













10-Determine a equação de uma reta que passa pelo ponto P(1,5) e é paralela a bissetriz dos quadrantes pares:















11-Determine a equação da reta suporte ao lado BC,no quadrante da figura abaixo:













12-Dada a reta 7x+3y+Ö2=0,determine a equação da reta s,paralela a r e que passa pelo ponto (-9,10):
















13-Na figura abaixo, determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é paralela a reta determinada pelos pontos B e C:













INTERSECÇÃO DE RETAS
Duas ou mais retas se interceptam quando tem um ponto em comum
1- As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são:
L1  x+6y-11=0
L2  3x-2y+7=0
L3  x-6y-5=0
Quais são os pontos de interceção entre estas retas?












2-As retas 2x+y-1=0 e 3x+2y-4=0 são concorrentes num ponto M(a,b).determine as coordenadas de M:











3-A bissetriz do 2º e 4º quadrantes intercepta a reta L= 4x-2y+5=0,no ponto P.Determine as coordenadas de P:













4-Determine a equação da reta s que passa pela intersecção das retas p1 e p2 de equações x-y+2=0 e 3x-y+6=0 e é paralela a reta rde equação 1/2x-1=0















5- prove que as retas cujas equações são 2x+3y-1=0, x+y=0 e3x+4y-1=0,concorrem num mesmo ponto.












6-Os pontos A(2,1),B(0,3) e C(-1,1) são os vértices de um triânguloABC.Determine a equação da reta suporte da mediana relativa ao lado AC do triângulo:














7-Dadas as retas x+y-1=0 , mx+y-2=0 e x+my-3=0.Qual o valor de m para que as retas sejam concorrentes num mesmo ponto?












8-Sabe-se que as retas p=2x-y+m-2n=0 e 3/2x-y+n-3=0 sejam concorrentes no ponto P(1,2).Calcule m+n:













9-O ponto M é o ponto de intersecção das diagonais AC e BD de um quadrilatero ABCD.Sendo A(0,0), B(3,0),C(4,2)e D(0,5),os vértices do quadrilatero.Determine as coordenadas do ponto M:












RETAS PERPENDICULARES
EXERCÍCIOS
1- Verifique se as retas 10x+3y-5=0 e 3x 10y-4=0 são perpendiculares:












2-Dada a reta 2x-y+5=0 e o ponto P(3,5),determine a equação da reta que passa por P e é perpendicular a r:













3-Dados os pontos A(1,3)e B(-3,-5),determinar a equação da mediatriz deste segmento:















4-São dados um pontoP(2,6) e uma reta r de equação x+y-2=0.Determinar as coordenadas da projeção ortogonal de P sobre a reta r:













5- Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(-3,2) e é perpendicular a reta  3x+4y-4=0:












6-Determine o valor de k para que as retas kx+y+2=0 e 3x+(k+1)y-7=0,sejam perpendiculares:
















7-São dados os pontos A(2,3) e B(8,5).Determine a equação da mediatriz do segmento AB.














8-Sejam os pontos A(1,-2), B(3,4) e C(x,-1),calcule a abscissa x,para que  as retas AB e AC sejam perpendiculares?




























 
GEOMETRIA ANALÍTICA - Parte 5

Resumo da Teoria
ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS
Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a tangente do ângulo agudo q formado pelas retas é dado por :

NOTAS:
1 - Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0 e 90º .
2 - Observe dois casos particulares da fórmula anterior, que merecem ser mencionados:
a) se as retas r e s, ao invés de serem concorrentes, fossem paralelas, o ângulo q seria nulo e portanto tg q = 0 (pois tg 0 = 0). Nestas condições, o denominador da fórmula teria que ser nulo, o que resultaria em mr = ms , ou seja, os coeficientes angulares teriam que ser iguais. Já vimos isto num texto anterior, mas é bom repetir: RETAS PARALELAS POSSUEM COEFICIENTES ANGULARES IGUAIS.
b) se as retas r e s fossem além de concorrentes, PERPENDICULARES, teríamos q = 90º . Neste caso a tangente não existe ( não existe tg 90º , sabemos da Trigonometria); mas se considerarmos uma situação limite de um ângulo tão próximo de 90º quanto se queira, sem entretanto nunca se igualar a 90º , a tangente do ângulo será um número cada vez maior, tendendo ao infinito. Ora, para que o valor de uma fração seja um número cada vez maior, tendendo ao infinito, o seu denominador deve ser um número infinitamente pequeno, tendendo a zero. Nestas condições, o denominador da fórmula anterior 1+mr . ms seria um número tão próximo de zero quanto quiséssemos e no limite teríamos 1 + mr . ms = 0.
Ora, se 1 + mr . ms = 0, podemos escrever que mr . ms = -1, que é a condição necessária e suficiente para que as retas sejam perpendiculares, conforme já vimos num texto anterior publicado nesta página. Assim, é sempre bom lembrar: RETAS PERPENDICULARES POSSUEM COEFICIENTES ANGULARES QUE MULTIPLICADOS É IGUAL A MENOS UM.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determine o ângulo agudo formado pelas retas r : 3x - y + 2 = 0 e s : 2x + y - 1 = 0 .
Solução: Para a reta r : y = 3x + 2. Logo, mr = 3.
Para a reta s : y = - 2x + 1. Logo, ms = -2.
Substituindo os valores na fórmula anterior e efetuando os cálculos, obtemos tgq = 1, o que significa que o ângulo entre as retas é igual a 45º, pois tg45º = 1.
(Faça os cálculos para conferir).
ESTUDO DA CIRCUNFERENCIA
Considere a circunferência representada no plano cartesiano , conforme abaixo , cujo centro é o ponto C(xo , yo) e cujo raio é igual a R , sendo P(x , y) um ponto qualquer pertencente à circunferência . 

Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre dois pontos, já vista em outro texto publicado nesta página, teremos: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 , que é conhecida como Equação Reduzida da circunferência de centro C(x0,y0) e raio R. Assim, por exemplo, a equação reduzida da circunferência de raio 5 e centro no ponto C(2,4) é dada por: (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25. 
CASO PARTICULAR: Se o centro da circunferência coincidir com a origem do sistema de coordenadas cartesianas ou seja o ponto O(0,0) , a equação reduzida da circunferência fica:
x2 + y2 = R2
Para obter a Equação Geral da circunferência, basta desenvolver a equação reduzida .
Temos:
x2 - 2x . xo + xo2 + y2 - 2y . yo + yo2 - R2 = 0 .
Fazendo -2xo = D , -2yo = E e xo2 + yo2 - R2 = F , podemos escrever a equação 
x2 + y2 + D x + E y + F = 0 (Equação geral da circunferencia).
Então , concluímos que quando os coeficientes de x2 e y2 forem unitários , para determinar as coordenadas do centro da circunferência , basta achar a metade dos coeficientes de x e de y , com os sinais trocados ou seja : xo = - D / 2 e yo = - E / 2 . 
Se os coeficientes de x2 e de y2 não forem unitários , temos que dividir a equação pelo coeficiente de x2 que é sempre igual ao coeficiente de y2 , no caso da circunferência.
Para o cálculo do raio R , observemos que F = xo2 + yo2 - R2 .
Mas, xo = - D / 2 e yo = - E /2 . Logo , podemos escrever a seguinte equação para o cálculo do raio R a partir da equação geral da circunferência:

CUIDADO! Para que a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 , possa representar uma circunferência, tem de ser atendida a condição D2 + E2 - 4.F > 0 (não existe raiz quadrada de número negativo!) . 
Observe que se D2 + E2 - 4.F = 0 , a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 representa apenas um ponto do plano cartesiano! Por exemplo : x2 + y2 + 6x - 8y + 25 = 0 é a equação de um ponto! Verifique.
Qual a sua interpretação para o caso D2 + E2 - 4F ser negativo? Ora, como não existe raiz quadrada real de número negativo, conclui-se facilmente que a circunferencia não existe neste caso!
Exemplo: Dada a equação x2 + y2 - 6x + 8y = 0, temos: D = - 6 , E = 8 e F = 0. Logo, pelas igualdades anteriores, podemos determinar as coordenadas do centro e o raio como segue:
xo = - (-6) / 2 = 3 ; yo = - 8 / 2 = -4 e R = 5 (faça as contas). Portanto, o centro é o ponto C(3, -4) e o raio é igual a 5 u.c (u.c = unidade de comprimento).
PAULO MARQUES
Feira de Santana - BA


Geometria Analítica Plana

Eixos Coordenados

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (ou eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (ou eixo OY). 
Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma geral P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P. 
Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. 
O sistema de Coordenadas Ortogonais também é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas. 
Este sistema possui quatro (4) regiões denominadas quadrantes. 

Quadrante	Sinal de x	Sinal de y	Exemplo
1o.	+	+	(2,4)
2o.	-	+	(-4,2)
3o.	-	-	(-3,-7)
4o.	+	-	(7,-2)

Relação de Pitágoras
Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados dos catetos b e c. 
	a2 = b2 + c2 

Distância entre dois pontos do plano cartesiano
Dados os pontos P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtem-se a distância entre P e Q, traçando-se projeções destes pontos sobre os eixos coordenados e identificando um triângulo retângulo no gráfico e a partir daí, utiliza-se o Teorema de Pitágoras. 

O segmento PQ será a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR será um cateto e o segmento QR será o outro cateto, logo: 
[d(P,Q)]2 = [d(P,R)]2 + [d(Q,R)]2 
e como: 
[d(P,R)]2 = | x1 - x2| 2 = (x1 - x2)2 
[d(Q,R)] 2 = | y1 - y2| 2=(y1 - y2)2 
então 
Exemplos 
A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é 
d(P,Q) = 
A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto genérico P=(x,y) é dada por 
d(O,P) = 

Ponto médio de um segmento
Dados os pontos P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), pode-se obter o Ponto Médio M=(xm,ym) que está localizado entre P e Q, através do uso da média aritmética por duas vezes, uma para as abscissas e outra para as ordenadas. 

xm = (x1 + x2 ) / 2 
ym = (y1 + y2 ) / 2 
Observação: 
O centro de gravidade de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são A=(x1,y1), B=(x2,y2) e C=(x3,y3), é dado por: 
G=( (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 )

Retas no Plano Cartesiano
Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta. 

Coeficiente angular de uma reta
Dados os pontos P 1 = (x1,y1) e P 2 = (x2,y2), com x1x2, o coeficiente angular da reta que passa por estes pontos é o número real 


Interpretação geométrica do coeficiente angular de uma reta
O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas. 


Sinal do coeficiente angular de uma reta no plano
Sinal	ângulo no
Positivo	1o.quadrante
Negativo	2o.quadrante
Positivo	3o.quadrante
Negativo	4o.quadrante

Declividade de uma reta
A declividade indica o grau de inclinação de uma reta. O fato do coeficiente angular ser maior que outro indica que a reta associada a este coeficiente cresce mais rapidamente que a outra reta. Se um coeficiente angular é negativo e o módulo deste é maior que o módulo de outro coeficiente, temos que a reta associada ao mesmo decresce mais rapidamente que a outra. 
Se o coeficiente é nulo temos uma reta horizontal. 


Coeficiente linear de uma reta
O coeficiente linear de uma reta é a ordenada w do ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas. 


Retas horizontais e verticais
Se uma reta for vertical ela não possuirá coeficientes linear e angular e neste caso a reta será indicada apenas por x=a, onde a é a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX. Se uma reta for horizontal, o seu coeficiente angular será nulo e a equação desta reta será dada por y = b, onde b é a ordenada do ponto onde está reta corta o eixo OY. 


Equação reduzida da reta
Se for possível calcular tanto o coeficiente angular k como o coeficiente linear w de uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por: 
y = kx + w
Exemplos 
n Se k=5 e w = -4, então a reta é dada por y = 5x-4. 
n Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y = x. 
n Se k=0 e w=5, temos a reta y = 5. 

A reta obtida a partir de um ponto e o coeficiente angular
Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo) e tem coeficiente angular k, é dada por: 
y-yo = k(x-xo) 
Exemplos 
n Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular k=8, então a equação da reta é y=8(x-1)+5. 
n Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente angular k=-1, então a sua equação é dada por: y=-x. 

A reta a partir de dois pontos
Dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) não alinhados verticalmente, podemos obter a equação da reta que passa por estes pontos através de: 


Retas paralelas
Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se elas possuem os mesmos coeficientes angulares. 

Exemplos 
n As retas x = 3 e x = 7 são paralelas. 
n As retas y = 34 e y = 0 são paralelas. 
n As retas y = 2x + 5 e y = 2x - 7 são paralelas. 

Retas perpendiculares
Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical se elas possuem coeficientes angulares k1 e k2 de tal modo que: 


Exemplos 
n As retas y = x + 3 e y = -x +12 são perpendiculares, pois 
k1=1, k2=-1 e k1.k2=-1. 
n As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois 
k1=5, k2=-1/5 e k1.k2=-1. 

Equação geral da reta
Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita através de sua equação geral, como: 
ax + by + c = 0
Exemplos 
n Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta - x + y -1 = 0 
n Se a=0, b=1 e c =0, tem-se a reta y = 0 
n Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x + 5 = 0 

Distância de um ponto a uma reta no plano
Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste ponto P à reta através da expressão matemática: 


Exemplo 
A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é: 


Área de um triângulo no plano cartesiano
Conhecendo-se um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e (x3,y3), pode-se calcular a área do triângulo formado por estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre (x2,y2) e (x3,y3) e a altura do triângulo que é a distância de (x1,y1) à reta que contem os outros dois pontos. 
Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de memorizar. 
A área do triângulo é dada pela expressão que segue: 

Exemplo 
A área do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois: 


Colinearidade de pontos no plano
Três pontos (x1 ,y1), (x2 ,y2) e (x3 ,y3) são colineares se pertencem à mesma reta. 
Um procedimento simples pressupõe que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta fazer a verificação que o determinante da matriz abaixo seja nulo. 

Exemplo: 
Os pontos (2,0),(1,1) e (0,2) são colineares porque é nulo o determinante da matriz 


Circunferências no plano
Do ponto de vista da Geometria Euclidiana plana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) e raio r é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) do plano que estão localizados à mesma distância r do centro (a,b): 

A equação desta circunferência é dada por: 
(x - a)2 + (y - b)2 = r2 
Disco circular é a região que contem a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência. 
Exemplo 
A equação da circunferência centrada em (2,3) e raio igual a 8 é dada por: 
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 64
A equação da circunferência centrada na origem (0,0) e raio igual a r, denominada a forma canônica da circunferência, é dada por: 
x2 + y2 = r2 

Equação geral da circunferência
Pode-se desenvolver a equação (x-a)2 + (y-b)2 = r2, para obter a equação geral da circunferência na forma: 
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 
Exemplo 
A equação geral da circunferência centrada em (2,3) e raio igual a 8 é dada por: 
x2 + y2 - 4x - 6y - 51 = 0 
A equação da circunferência centrada em um ponto e passando em outro 
Dado o centro O=(a,b) da circunferência e um outro ponto Q=(xo,yo) que pertence à circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da circunferência para se obter a sua equação. 
Exemplo 
A circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) tem raio tal que: 
r2 = (8-3)2 + (16-5)2 = 25+121=146 
logo, a sua equação é dada por: 
(x-3)2 + (y-5)2 = 146 

A equação da circunferência que passa por três pontos
Quando se conhece três pontos da circunferência, utiliza-se a equação geral da circunferência para a obtenção dos coeficientes A, B e C através de um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas. 
Exemplo 
Consideremos uma circunferência que passa pelos pontos (2,1), (1,4) e (-3,2). Dessa forma, utilizando a equação geral da circunferência: 
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 
poderemos substituir estes pares ordenados para obter o sistema: 
(-2)2 + (1)2 + A(-2) + B(1) + C = 0 
( 1)2 + (4)2 + A( 1) + B(4) + C = 0 
(-3)2 + (2)2 + A(-3) + B(2) + C = 0 
que pode ser simplificado na forma: 
-2 A + 1 B + 1 C = -5 
1 A + 4 B + 1 C = 5 
-3 A + 2 B + 1 C = 13 
e através da Regra de Cramér, podemos obter: 
A = , B = , C = 
assim a equação geral desta circunferência é: 
x2 + y2 + ( )x + ( )y + ( ) = 0 

Algumas Relações no plano cartesiano
Uma relação no plano R2 é qualquer subconjunto de R2, entretanto as mais importantes relações, do ponto de vista prático, são aquelas que podem ser representadas por linhas, como por exemplo, as retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles. Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem regiões planas com as próprias regiões. Iremos colorir algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contem, que são as relações matemáticas. 

Circunferência

Reta

Elipse

Parábola

Hipérbole

Seções cônicas
Todas as curvas apresentadas anteriormente podem ser obtidas através de seções (cortes planos)de um cone circular reto com duas folhas como aquele apresentado abaixo. 
Tais curvas aparecerão como a interseção do cone com um plano apropriado: 
n Se o plano for horizontal e passar pelo vértice do cone, teremos apenas um ponto . 
n Se o plano for vertical e passar pelo vértice do cone, teremos duas retas concorrentes . 
n Se o plano for horizontal e passar fora do vértice, teremos uma circunferência. 
n Se o plano for tangente ao cone, teremos uma reta . 
n Se o plano for vertical e passar fora do vértice, teremos uma hipérbole . 
n Se o plano for paralelo à linha geratriz do cone, teremos uma parábola . 
n Se o plano for inclinado, teremos uma elipse . 

Equações de seções cônicas
Nome	Equação
Ponto	x2 + y2 = 0
Reta	y = kx + w
Parábola	y = ax2 + bx + c
Circunferência	x2 + y2 = r2 
Elipse	x2/a2 + y2/b2 = 1
Hipérbole	x2/a2 - y2/b2 = 1
Duas retas	x2/a2 - y2/b2 = 0

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