..... Equações e inequações modulares

..... I. Equações

Seja K R, tal que K > 0, temos:

If(x)I = K f(x) = ± K

Nas equações que podem ser reduzidas à forma If(x)I = g(x), podemos afirmar que:
- devemos ter g(x) = 0, pois If(x)I >= 0;
- com g(x) >= 0, segue que f(x) = ± g(x).

Equações em que aparecem somas de módulos, podemos usar um esquema prático.

..... II. Inequações

Para resolvermos inequações modulares, podemos usar as propriedades:

P1) Se k > 0, então IxI < k - k < x < k
P2) Se k > 0, então IxI < k x < - k ou x > k

Ou então resolveremos através de um esquema prático:

Exemplo:

1. Na figura, temos os esboços dos gráficos de f(x) = x2 – 4x e g(x) = - Ix + aI + b. Então g(5) vale:

Resolução

Como as raízes de f(x) = 0 são 0 e 4, temos:

I. g(0) = 0 IaI + b = 0 => b = IaI
II. g(4) = 0 I4 + aI + b = 0
I4 + aI = b I4 + aI = IaI

1. 4 + a = a 4 = 0 (absurdo)
2. 4 + a = -a 4 = -2a a = -2

Subst. Em (I) b = 2
Assim: g(x) = - Ix – 2I + 2
Logo: g(5) = - I5 – 2I = 2
g(5) = -1

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