matemática

                                   O Padrão Matemático da Beleza

    Os antigos, tiveram a sua atenção voltada para um fato curioso. Um todo dividido em duas partes desiguais só parecia belo ou agradável à vista quando a razão entre a parte menor e a maior era igual à parte maior e o todo.
   Os gregos com seu aguçado senso de estética não desperceberam este fato, e viram essa lei estampada em toda a natureza. Ela está em toda a parte, no corpo humano nos animais e nos vegetais.
   Num belo rosto ela pode ser observada na relação da distância entre o queixo a boca e a base do nariz, o comprimento da cabeça pela linha das sobrancelhas e etc.
   Muitos artistas gregos se valeram desta relação estética para fazer suas estátuas, fato que pode ser ainda comprovado. Nas estátuas que adornam o Partenon o corpo humano mantém esta razão no comprimento até o umbigo e daí até o alto da cabeça.
   No entanto foi Leonardo da Vinci que chamou esta razão de 'divisão áurea' (sectio aurea), em um tratado intitulado 'Divina Proporção', neste ele desenhou a cabeça humana com as divisões que seguem a divisão áurea.
   O numero áureo, isto é aquele que define esta proporção é 1,61803398...
   O cáculo que nos leva a esse numero é: V 5 + 1
                                                           2
Ex.: |___|_____|
.     a     b       c

                                                          LOGARÍTMOS
       Os logarítmos têm sido um desafio para muitos. As tábuas de logarítmos preparados têm sido de ajuda mas, há quem goste de desafios. Se você é um destes considere o método de obter o logarítmo de um numero sem o uso de tabelas.
       O logarítmo de um numero é o expoente de um valor chamado base, que resolvido tem como resultado o numero propôsto. Ex.: 10              = 2. O log de 2 na base 10 é 0,30103, ou seja log    2 = 0,30103.
       O uso de logarítmos pode ser de ajuda na solução de problemas complexos. Uma grandeza tal como o decíbel é utilizada na medição de variações logarítmicas. Um exemplo é a intensidade sonora. Curioso é que a sensibilidade do ouvido humano à intensidade sonora varía logaritmicamente.
       O uso de logarítmos pode simplificar operações como a exponenciação, transformando-a em mera multiplicação e a radiciação em simples divisão.   Para isso os numeros são previamente convertidos em seus respectivos logarítmos e depois de efetuada a operação reconvertidos à sua forma original. Para isso usam-se asTábuas deLogarítmos Preparados. Preparados porque entre outras coisas seus valores decimais ou mantissa são arredondados para se obterem valores exatos na hora de reconverter o resultado. A partir de um logarítmo conhecido pode-se achar outro não conhecido. Mas e se não tivéssemos um logarítmo conhecido ou uma tábua de logarítmos? Poderíamos achar o logarítmo de um determinado valor utilizando apenas operações simples como soma, divisão e multiplicação? Sim.
       Acompanhe o raciocínio. Vamos achar o log de 2 na base 10 para simplificar: x = log    2. Então 10   = 2. Queremos portanto achar o valor de x. Visto que 10 é maior do que 2 deduz-se que o valor de x tem que ser um valor menor do que 1, ou seja um valor decimal. Para facilitar vamos trabalhar com o expoente como se ele fosse inteiro. O que nos pode proporcionar esta facilidade é a transposição do expoente para o outro termo. Assim teremos: 2     = 10. 1/x é na realidade um valor inteiro com complemento decimal; 2      = 10. Para trabalharmos com um expoente inteiro sem perder a parte decimal vamos dar-lhe um valor literal;   2   . 2     = 2     = 10.

       Conclui-se que 1/x = 3 + x1. Então x =

       Para prosseguirmos temos que achar o valor de x1. Assim 2    = 10/2   = 1,25. Com 2    = 1,25 façamos novamente a transposição de expoentes para facilitar o cálculo. Ficará assim: 1,25       = 2. Também 1/x1 é composto por um inteiro e uma parte decimal; 1,25       = 2. Ou mais exatamente 1,25   . 1,25     = 1,25       = 2

       Conclui-se que 1/x1 = 3 + x2. Então x1 =

       Usando o mesmo raciocínio achemos x2. 1,25     = 2/1,25 = 1,024. Achamos 1,25     = 1,024. Transpondo: 1,024       = 1,25. Achamos o próximo valor: 1,024      = 1,25. Exatamente 1,024   . 1,024    = 1,024       = 1,25

        Conclui-se que 1/x2 = 9 + x3. Então x2 =

        Achemos x3. 1,024    = 1,25/1,024   = 1,009741959. Temos 1,024     = 1,009741959. Transpondo: 1,009741959       = 1,024. Próximo valor: 1,009741959       = 1,024. Exatamente   1,009741959   . 1,009741959     = 1,009741959        = 1,024

        Conclui-se que 1/x3 = 2 + x4. Então x3 =

        Achemos x4. 1,009741959    = 1,024/1,009741959   = 1,004336278. Temos 1,009741959     = 1,004336278. Transpondo: 1,004336278        = 1,009741959. Próximo valor: 1,004336278   =1,009741959. Exatamente 1,004336278   . 1,004336278    = 1,009741959

       Poderíamos continuar indefinidamente aproximando-nos de um resultado mais exato mas, paremos por aqui considerando 1,004336278   = 1,00974195 9 e desprezando x5. Assim poderemos juntar os valores que deixamos pelo caminho, os quais por fim perfarão o logarítmo procurado.

        Assim 1/x4 = 2. Resolvendo, x4 = 1/2 = 0,5
        Assim 1/x3 = 2 + 0,5. Resolvendo, x3 = 1/2,5 = 0,4
        Assim 1/x2 = 9 + 0,4 = 9,4. Resolvendo, x2 = 1/9,4 = 0,106382978
        Assim 1/x1 = 3 + 0,106382978 = 3,106382978. Resolvendo, x1 = 1/3,106382978 = 0,321917808
        Assim 1/x = 3 + 0,321917808 = 3,321917808. Resolvendo, x = 1/3,321917808 = 0,301030927
                     Portanto o log     de 2 é 0,3010309278