Poliedros Regulares

Poliedros Regulares
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Dentre as infinitas formas poliédricas, existem algumas que, pelo seu "equilíbrio", pela sua simetria, há muito tempo exercem fascinação sobre os homens. Como exemplo podemos citar a forma poliédrica das pirâmides egípcias.

E dentre estas formas "esteticamente harmoniosas" destacam-se os polígonos regulares. Um poliedro se diz regular se suas faces são polígonos regulares congruentes entre si e seus ângulos poliedricos são congruentes, isto é, de cada vértice do poliedro parte o mesmo número de arestas.

Este poliedro é delimitado por 6 triângulos equiláteros, mas ele não é regular pois em alguns vértices, o número de arestas que partem são 4 e não três.

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O paralelepípedo retângulo ( forma da caixa de fósforos ) também não é um poliedro regular, mas este porque não tem todas as faces congruentes entre si.

Só existem cinco poliedros regulares diferentes. Estes são designados de acordo com o número de faces que possuem. Assim, há o tetraedro com quatro faces triangulares, o hexaedro, ou cubo, com seis faces quadradas, o octaedro com oito faces triangulares, o dodecaedro com doze faces pentagonais e o icosaedro com vinte faces triangulares.

Como se pode observar, os prefixos Tetra, Hexa, Octa, Dodeca e Icosa que dão nome aos poliedros regulares, indicam tão somente o número de polígonos ou faces que formam o sólido, e nunca o número de lados de cada face do polígono.

Os primórdios da história dos poliedros regulares perdem-se nas brumas do passado. As pirâmides evidenciam o conhecimento que os egípcios tinham de poliedros. O fato de só existirem cinco poliedros regulares chamou, há séculos, a atenção de muitos filósofos.

Em um dos livros dos Elementos de Euclides ( livro XIII ) estes poliedros são citados como sólidos de Platão, mas são chamados assim erroneamente, porque três deles, o tetraedro, o cubo e o dodecaedro foram estudados pelos pitagóricos, ao passo que o octaedro e o icosaedro tornaram-se conhecidos através de Teaetetus, um amigo de Platão.

No entanto, freqüentemente são chamados "sólidos platônicos" devido à maneira pela qual Platão aplicou suas idéias sobre os sólidos regulares num dialogo intitulado Timaeus , nome de um pitagórico, que serve como principal interlocutor. Mostrou também como construir modelos desses sólidos, juntando-se triângulos, quadrados e pentágonos para formar suas faces. O Timaeus de Platão é o pitagórico Timaeus de Locri, a quem possivelmente encontrou quando visitou a Itália.

Em Timaeus , Platão estabeleceu uma teoria por meio da qual as formas geométricas básicas ( triângulos ) combinam para compor os elementos regulares. Lembremos que os gregos acreditavam que havia somente quatro elementos básicos: fogo, ar, água e terra. Ele misticamente associa os quatro sólidos mais fáceis de construir - o Tetraedro, octaedro, o icosaedro e o cubo com os quatro "elementos" primordiais empedoclianos de todos os corpos materiais

O fogo foi pensado ser composto de partículas em forma de tetraedro. Contornava-se a dificuldade embaraçosa de explicar o quinto sólido, o dodecaedro, associando-o ao Universo que nos cerca.

 

 

 

Os poliedros de Platão são sólidos cujas faces são polígonos regulares idênticos e qualquer que seja a face sobre a qual apoiarem, sempre estarão na mesma posição.

Poliedro de Platão é aquele que:

- Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmo número de lados ( n );

- Todos os ângulos poliedricos têm o mesmo número de arestas ( p )

- Se verifica a relação de Euler ( V + F = A + 2 ) ;

Assim podemos dizer que todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular.

Nome

V

F

A

V + F - A

Tetraedro

4

4

6

2

Hexaedro

8

6

12

2

Octaedro

6

8

12

2

Dodecaedro

20

12

30

2

Icosaedro

12

20

30

2

 

Poliedros Regulares Segundo Kepler

Johannnes Kepler deu uma explicação engenhosa para as associações de Timaeus. Intuitivamente ele assumiu que, destes sólidos, o tetraedro abarca o menos volume para sua superfície, ao passo que o icosaedro o maior. Agora essas relações volume-superfície são qualidades de secura e umidade, respectivamente e, como o fogo é o mais seco dos quatro "elementos" e a água o mais úmido, o tetraedro deve representar o fogo e o icosaedro a água. Associa-se o cubo com a terra porque o cubo, assentando quadradamente sobre uma de suas faces, tem a maior estabilidade. O octaedro, seguro frouxamente por dois de seus vértices opostos , entre o indicador e o polegar , facilmente rodopia, tendo a instabilidade do ar. Finalmente, associa-se o dodecaedro com o Universo porque o dodecaedro tem doze faces e o zodíaco tem doze seções.

Como se vê, há séculos que estas formas geométricas encantam os homens. Esse encantamento não é só no plano abstrato das idéias. O tetraedro, o cubo e o octaedro se encontram na natureza como cristais, por exemplo, de sulfoantimoneto de sódio, sal comum e alúmen, respectivamente. Os outros dois não podem ocorrer na forma de cristais, mas os cinco poliedros regulares são encontrados na natureza como esqueletos de animais microscópios que pertencem ao plâncton marinho chamados de radiolários. Em 1885, desenterrou-se no monte Loffa, perto de Padua, um brinquedo de origem etrusca, com a forma de um dodecaedro regular, que supõe remontar ao ano de 500 a.C. aproximadamente.

[Maple Metafile]

esqueletos de radiolários em forma de poliedros regulares

 

 

Pagina feita e mantida por Jayme Alves de Oliveira Neto
A última atualização dessa pagina foi feita em 16 março, 2008.  

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