Triângulos Semelhantes

Triângulos Semelhantes
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Dados os triângulos ABC e DEF , se A = D , B = E e C=F , então esses triângulos são semelhantes.

[Maple Metafile]

Nesse caso, os lados opostos a ângulos de medidas iguais são chamados de correspondentes ou homólogos.

Propriedade Fundamental dos Triângulos Semelhantes

Se os Triângulos são semelhantes, então as medidas dos lados do triângulo ABC são proporcionais às medidas dos lados correspondentes do triângulo DEF .

[Maple Math] = [Maple Math] ( razão de semelhança )

Por hipótese, os triângulos ABC e DEF são semelhantes.

[Maple Metafile]

Transportando-se o triângulo ABC , até que A coincida com D , B fique no lado DE e C fique no lado DF , concluímos que BC // EF .

[Maple Metafile]

Usando o teorema de Tales:

[Maple Math] ( 1a. relação )

Pelo ponto C , traçamos uma paralela ao lado DE , obtendo o paralelogramo BCME . Por construção CM // ED :

Pelo Teorema de Tales:

[Maple Math]

[Maple Metafile]

Mas EM e BC tem medidas iguais ( lados opostos de um paralelogramo ). Logo,

[Maple Math] ( 2a. relação )

Observamos que as duas relações encontram-se:

[Maple Math] = [Maple Math]

Exemplo 3:

Veremos agora um exemplo análogo ao da pirâmide; Qual é a altura de um mastro usado para hasteamento de bandeiras sabendo que o comprimento de sua sombra é igual a 4 m num instante em que o comprimento da sombra de uma barra vertical de 1, 2 m é de 80 cm ?

[Maple Metafile]

Sabemos que como os raios solares serão paralelos, e tanto a barra quanto o mastro, estão sobre um mesmo ângulo em relação ao chão, isto é, [Maple Math] , o triângulo ABC e o triângulo menor serão semelhantes. Podemos então aplicar o teorema de Tales nos lados que nos interessa saber:

A diferença entre este problema e o da pirâmide é que no da pirâmide, Tales usou um conhecimento desenvolvido por ele que diz que os ângulos da base de um triângulo isósceles têm medidas iguais, assim ele esperou até o instante em que a sombra fosse do tamanho do bastão, no nosso exemplo isso não foi necessário pois usamos o teorema de Tales nos dois triângulos semelhantes.

 

Pagina feita e mantida por Jayme Alves de Oliveira Neto
A última atualização dessa pagina foi feita em 16 março, 2008.  

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