por que zero vezes qualquer
coisa é igual a zero?
0 x n = (0 + 0) x n
= 0 x n + 0 x n
Para a primeira igualdade foi usado que 0 + 0 = 0. Já para a segunda, usou-se a propriedade distibutiva do números inteiros, ou seja, (a + b) x c = a x c + b x c, quaisquer que sejam os números inteiros a, b e c.
Concluímos deste primeiro passo que:
0 x n = 0 x n + 0 x n
Somando -(0 x n) dos dois lados da igualdade acima, obtemos
-(0 x n) + 0 x n = -(0 x n) + (0 x n + 0 x n)
0 = [-(0 x n) + 0 x n] + 0 x n
0 = 0 + 0 x n
0 = 0 x n.
Para obter o lado esquerdo da segunda igualdade (acima) usamos o fato de
-a + a = a - a = 0, para todo número inteiro a. E para o lado direito (ainda da segunda igualdade), usamos a propriedade associativa dos números inteiros, isto é,
a + (b + c) = (a + b) + c, quaisquer que sejam os inteiros a, b e c.
Para o lado direito da 3ª igualdade usamos novamente que -a + a = a - a = 0. Enfim, para obter o lado direito da última igualdade, usamos o fato de 0 + a = 0, para todo número inteiro a.
Definição: Dado um número inteiro z, dizemos que um inteiro z' é um oposto para z quando z + z' = z' + z = 0. Este z' sempre existe e é único! Na verdade este é o nosso velho conhecido -z.
Por exemplo, o oposto de 8 é -8 [pois 8 + (-8) = -8 + 8 = 0]. Repare que o oposto de -8 é 8, ou de forma mais geral, que o oposto de -z é o próprio z. Em linguagem matemática, isto nos diz que -(-z) = z (lê-se: o oposto de -z é z).
Agora daremos início ao nossa resposta! Comecemos com "(+) por (-) = (-)".
Verifiquemos, por exemplo, que 3 x (-2) = - (3 x 2):
3 x (-2) + 3 x 2 = 3 x (-2 + 2) [usamos: propriedade distributiva]
= 3 x 0 [usamos: -a + a = 0]
= 0 [usamos: (I)]
Logo, pela definição acima, 3 x (-2) é o oposto de 3 x 2, ou seja, 3 x (-2) é igual a -(3 x 2). Observe que em nenhum momento usamos propriedades específicas de 2 e 3 para obtermos o resultado: 3 x (-2) = -(3 x 2). Assim, se substituirmos 3 e 2 por outros números inteiros a e b quaisquer, teríamos que a x (-b) = -(a x b). E isto mostra que "(+) por (-) = (-)"
Antes de iniciarmos a resposta para "(-) por (-) = (+)", faremos isto para o caso "(-1) x (-1) = 1".
Dado que 1 x a = a, para todo inteiro a, temos em particular que 1 x (-1) = -1. Assim
(-1) x (-1) + (-1) = (-1) x (-1) + 1 x (-1) [usamos: (-1) = 1 x (-1)]
= (-1) x [(-1) + 1] [usamos: prop. distributiva]
= (-1) x 0 [usamos: -a + a = 0]
= 0 [usamos: (I)]
Isto mostra que (-1) x (-1) é o oposto de (-1). Mas o oposto de (-1) é igual a 1 [pois (-1) + 1 = 0]. Logo, (-1) x (-1) = 1.
Enfim, o caso geral! Sejam a e b números inteiros quaisquer. Então:
(-a) x (-b) = [a x (-1)] x [(-1) x b] [usamos: a x (-1) = - (ax1) = -a]
= a x {(-1) x [(-1) x b] } [usamos: prop. associativa]
= a x {[(-1) x (-1)] x b} [usamos: prop. associativa]
= a x {1 x b} [usamos: (-1) x (-1) = 1]
= a x b [usamos: 1 x b = b]
E, portanto, concluímos nossa resposta, ou seja, "(-) por (-) = (+)"