4 Rechnen mit Dualzahlen
4.1 Allgemeines zum rechnen mit
Dualzahlen
Um heutzutage ein mathematisches Problem mit
einem Computer oder einem Taschenrechner zu lösen wird immer das duale
Zahlensystem benötigt, weil alle elektronischen Rechenwerke auf der Digitaltechnik
basieren. Weiterhin muss jede Grundrechenart auf die Addition zurückgeführt
werden, damit sie mit einem digitalen Rechenwerk bearbeitet werden kann.
Im Allgemeinen entsprechen die Rechenregeln der
Dualzahlen denen der Dezimalzahlen. Da bei den Dualzahlen nur die 0 und 1
vorhanden ist, gestaltet sich das Rechnen mit diesen Zahlen sogar teilweise
leichter.
4.2 Addition von Dualzahlen
Da jede andere Grundrechenart letztendlich
auf die Addition zurückgeführt wird, stellt die Addition eine der wichtigsten
Rechenarten dar.
Die Addition der Zahlen erfolgt ziffernweise
von rechts nach links. Erreicht oder übersteigt die Summe der Ziffern den Wert
der Basis, so entsteht ein Übertrag auf der nächsten Stelle. In der gerechneten
Stelle wird dabei nur die Ziffer für den Zahlenwert geschrieben, um den der
Wert der Basis überschritten wurde. Somit ergeben sich folgende Additionsregeln
für Dualzahlen.
0 +
0 = 0
0 +
1 = 1
1 +
0 = 1
1 +
1 = 0 + 1 Übertrag
1 + 1 + 1 = 1 + 1 Übertrag
Damit können nun auch größere Dualzahlen
addiert werden.
Beispiel: Es soll 29(10) und
12(10) als Dualzahl addiert werden.
Summand
1: 011101 (29)
Summand 2: +
001100 (12)
Übertrag:
111
Summe:
101001 (41)
4.3 Subtraktion von Dualzahlen
Bei der Subtraktion von Dualzahlen ist eine
Umwandlung der abzuziehenden Zahl (Subtrahend) erforderlich um die Subtraktion
in eine Addition umzuwandeln.
Aus der Grundform der Subtraktion wird also
eine Addition gebildet.
Ausgangsproblem: Minuend – Subtrahend = Differenz
Lösung mit Addition:
1. Umwandlung des Subtrahenden
2. Minuend + umgewandelter Subtrahend =
Differenz
Um nun eine Subtraktion mit Hilfe der
Addition auszuführen muss als erstes der Subtrahend in eine Zahl umgewandlet
werden, die addiert zum Minuenden die Differenz ergibt. Diese Umwandlung wird
dadurch erreicht, indem der Subtrahend als erstes Stelle für Stelle der
NOT-Funktion unterzogen wird.
Beispiele:
11111 ->NOT-Funktion -> 00000
11100 ->NOT-Funktion -> 00011
11001 ->NOT-Funktion -> 00110
10101 ->NOT-Funktion -> 01010
Als zweiter Schritt muss zu dem
umgewandelten Subtahenden noch eine 1 zur niedrigwertigsten Stelle dazu addiert
werden.
Unter Berücksichtigung dieser Regeln erhält man
folgendes Lösungsschema.
Beispiel:
Es soll die Zahl 12(10) von der Zahl
27(10) abgezogen werden.
Minuend:
11011 (27)
Subtahend: - 01100 (12)
Differenz:
01111 (15)
Die Umwandlung von 01100 ergibt 10011. Daraus kann folgende Addition gebildet werden.
Minuend:
11011
umgew. Subtrahend: +10011
zusätzliche 1
: +00001
Übertrag:
10011
Differenz:
101111
Als Ergebnis dieser Addition entsteht die
Zahl 101111(2). Allerdings kann bei einer Subtraktion von Dualzahlen
mit fünf Stellen kein Ergebnis entstehen, welches mehr als fünf Stellen
besitzt. Darum wird die erste 1, welche auch als Endübertrag bezeichnet wird,
weggelassen. Daraus ergibt sich die fünfstellige Dualzahl 01111(2) ,
welche den dezimalen Wert 15(10) darstellt.
4.4 Multiplikation von Dualzahlen
Die Multiplikation von Dualzahlen erfolgt
ziffernweise nach dem Schema, das auch bei den Dezimalzahlen angewandt wird.
Voraussetzung für die Multiplikation ist, daß das Multiplikationsschema des
Dualzahlsystems bekannt ist. Dieses Schema verhält sich wie die AND-Funktion
und ergibt somit folgende Tabelle.
|
A |
B |
A x B |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Tabelle 5: Einmaleins des Dualzahlensystems
Als erstes wird an Faktor 2 stellenweise die AND-Funktion mit Faktor 1 ausgeführt. Dabei wird mit der niederwertigsten Stelle von Faktor 2 begonnen. Die dabei entstehenden Ergebnisse werden eingerückt untereinander geschrieben und dann addiert. Das bei der Addition entstehende Ergebnis ist das entstandene Produkt.
Beispiel: Die dezimale Zahl 125(10) soll mit 5(10) multipliziert werden.
1111101 (125) x 101
(5)
1111101 <- „1“ AND „1111101“
+ 0000000 <- „0“
AND „1111101“
+ 1111101 <- „1“
AND „1111101“
Übertrag:
1111111
Produkt:
1001110001 (625)
An diesem Beispiel zeigt sich, daß die Multiplikation von Dualzahlen wesentlich einfacher ist, als die von Dezimalzahlen, weil nur mit 1 oder mit 0 multipliziert werden kann.
Bei der Division von Dualzahlen gelten die Rechenregeln der Subtraktion und der Multiplikation. Der Rechenprozeß hat die gleiche Form wie bei der Division von Dezimalzahlen. Als erstes wird die Formel in der Form Divident : Divisor = Quotient aufgeschrieben. Danach wird Stück für Stück der Divisor von den ersten Stellen des Dividenten abgezogen. Paßt der Divisor mindestens 1 Mal in die ersten Stellen des Dividenten, dann entsteht beim Ergebnis eine 1. Ist das nicht der Fall so entsteht beim Ergebnis eine 0 und es muss eine weitere Stelle des Dividenten nach unten gezogen werden. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis der Divisor mindestens 1 Mal von den ersten Stellen des Dividenten abgezogen werden kann. Danach wird die selbe Prozedur mit den entstehenden Resten dieser Subtraktionen vollführt, bis als letztes der Rest 0 übrig bleibt. Dieser Vorgang soll nun an Folgendem Beispiel erklärt werden.
Beispiel: Es soll die Zahl 126(10) durch die Zahl 6(10) geteilt werden.
1111110 (126) : 110
(6) = 10101
(21)
-110
0011
- 110
111
- 110
0011
- 110
110
- 110
000