5.2 Уравнения Максвелла выделяют Гиперболическое Движение источников поля

5.2  Уравнения Максвелла выделяют Гиперболическое Движение источников поля

 

Нужен человек с открытым разумом.

Поль Дирак

Для описания одиночного изолированного электрона на субквантовом уровне необхо­дима, по мень­шей мере, цент­раль­но (сфе­ричес­ки) сим­мет­рич­ная ста­цио­нар­ная поле­вая сово­куп­ность заря­жен­ных суб­то­ков, совер­шаю­щих уско­рен­ное дви­жение в собст­вен­ном интег­раль­ном поле (элек­тро­на). Каж­дый из этих заря­жен­ных суб­токов в от­дель­ности или его часть, буду­чи источ­ником поля, в пол­ном соот­ветст­вии с ML-урав­нени­ями (урав­нени­ями Макс­велла–Лорен­ца), дол­жны поро­ждать стро­го кон­сер­ватив­ное час­тич­ное поле.

Отвечающее всем этим требованиям, гиперболическое движение источ­ников поля было выяв­лено и опи­сано уже в пер­вое деся­тиле­тие XX века. Но, и тогда, и впо­следст­вии доми­нант­ные иссле­дова­ния ока­за­лись огра­ничен­ными гипер­боли­чес­ким дви­же­нием кор­пус­куляр­ных элек­тро­нов (или их «час­тей»), отож­дест­влён­ных с ис­точ­ника­ми поля элек­трон­ной тео­рии Лорен­ца (или её реля­ти­вист­ской вер­сии). Имен­но это судь­бо­нос­ное отож­дест­вле­ние пред­опре­де­лило всё даль­ней­шее раз­ви­тие кван­то­вой тео­рии, так и не полу­чив необ­ходи­мого обос­нова­ния ни в рам­ках клас­си­чес­кой тео­рии, ни – в кван­то­вой. Это отож­деств­ле­ние было и оста­ётся ис­точ­ни­ком скры­тых и яв­ных проти­воре­чий (пара­докс Борна). Оно и сегод­ня ис­прав­но пре­граж­дает путь к по­стро­ению суб­кван­то­вой физи­ки. Имен­но по при­чине это­го отож­дест­вле­ния, фунда­мен­таль­ный харак­тер гипер­боли­чес­кого дви­же­ния ис­точ­ни­ков поля не полу­чил до сих пор долж­ных оцен­ки и при­мене­ния в физи­ке. Пре­до­ста­вим слово дейст­вую­щим лицам того вре­мени.

Вольфганг Паули: – «Гиперболическое движение было впервые исследовано Минков­ским [2] как осо­бенно про­стое движе­ние; затем оно было под­робно рас­смот­рено Бор­ном [3] и Зом­мер­фель­дом [4]».[1,с.114] «Абра­гам [5] дока­зал так­же, что инте­грал по вре­мени от K, рас­про­стра­нён­ный на вре­мя из­луче­ния, ра­вен им­пуль­су излу­чён­ного све­та, а так­же что инте­грал по вре­мени от vK ра­вен излу­чён­ной энер­гии. При гипер­боли­чес­ком дви­же­нии K исче­зает, как и дол­жно быть, так как в этом слу­чае ника­кого излу­чения нет». [1,с.144]

Макс Борн: – «Следует отметить, что электрон в гиперболическом движении не имеет ника­кого собст­вен­ного из­луче­ния, как бы вели­ко ни было его уско­ре­ние, но ве­дёт своё поле за со­бой. Это об­сто­ятель­ство до сих пор было из­вест­но толь­ко для рав­но­мер­но дви­жу­щих­ся элек­тро­нов. Излу­че­ние и со­про­тивле­ние излу­че­нию про­явля­ется толь­ко при от­кло­нени­ях от гипер­боли­чес­кого дви­же­ния». [3,с.291]

Таким образом, ещё на заре развития релятивистской парадигмы было установ­лено, что: – Стро­го в соот­ветст­вии с ML-урав­нени­ями поля, заря­жен­ные ис­точ­ники поля, со­вер­шаю­щие ги­пер­боли­чес­кое дви­же­ние, по­рож­дают (кон­серва­тив­ное) поле без излу­че­ния (ис­точ­ник ве­дёт своё поле за со­бой; поле не от­рыва­ется от ис­точ­ника; не про­исхо­дит обра­зова­ния вол­но­вой зоны; от­сутст­вует сла­гае­мое поля, убы­ваю­щее по зако­ну 1/R).

Этот фундаментальный результат классической теории поля, опираю­щийся на уже выяв­лен­ную ес­тест­вен­ную кине­мати­ку в 4-век­тор­ном Мире Мин­ков­ско­го – M-кине­ма­тику, одно­знач­но опре­деля­ется (выде­ляет­ся), рав­но как и сама M-кине­ма­тика, толь­ко сим­мет­ри­ями ML-урав­не­ний. Он не зави­сит от кон­крет­ного вида урав­не­ний дви­же­ния ис­точ­ни­ков поля в дейст­вую­щем ин­тег­раль­ном поле, не ну­жда­ется в урав­нени­ях дви­же­ния для сво­его опре­деле­ния и выде­ле­ния. Он явля­ется от­раже­нием од­ной лишь до­пол­ни­тель­ной кине­мати­чес­кой выде­лен­нос­ти клас­са миро­вых ли­ний ги­пер­боли­чес­ки дви­жу­щих­ся ис­точ­ни­ков поля в M-кине­мати­ке. Сим­мет­рия поля, выра­жа­юща­яся в пол­ном от­сутст­вии из­луче­ния при ги­пер­боли­чес­ком дви­же­нии ис­точ­ни­ков – чис­то кине­мати­чес­кий эф­фект в тео­рии поля, осно­ван­ной на ML-урав­нени­ях.

При вычислении поля ускоренно движущихся источников или сопротивления излучению (ради­аци­он­ного тре­ния) полу­чают сле­дую­щие ха­рак­тер­ные вели­чины, от­ветст­вен­ные за от­сутст­вие излу­че­ния или со­про­тив­ле­ния излу­че­нию:

G(U,W,Y) := DW + (WW)U,    D := d/ds, (1.G)
g3(v,a,b) := b + 3l2(va)a,    (1.g3)
g1(v,a) := a2 – [va]2 = a2(1 – v2) + (va)2. (1.g1)

Эти величины построены из 4-векторов и их компонент, получаемых после­дователь­ным диф­фе­рен­циро­вани­ем миро­вого 4-ра­диус-век­тора R по собст­вен­ному инва­ри­ант­ному вре­мени s в соот­ветст­вии со схе­мой М-ки­нема­тики, или – из соот­ветст­вую­щих вели­чин кине­мати­ки Нью­тона – N-ки­нема­тики:

 xi := R := (t, r),     ds2 := dt2dr2, (2.0)
DR := ui := U := (l, u),   Uds := dR,  vdt := dr (2.1)
DU := wi :=W := (p, w),  Wds := dU,  adt := dv (2.2)
 DW :=  yi := Y := (q, y),   Yds := dW,  bdt := da (2.3)

Соответствующие t- и r-компоненты 4-векторов M-кинематики связаны стан­дартным обра­зом с 3-век­то­рами r,v,a,b,… и вре­ме­нем t N-ки­нема­тики:

l := Dt := dt/ds =  
 1 
    
Ö1 – v2
 ,    p := Dl = l4va,   …  ;
(3.t)
u = lv,   w = pv + l2a,   y = qv + 3pla + l3b,   …  . (3.r)

Записанные величины имеют такой вид в метрике с сигнатурой скалярного произве­дения (+ – – –) и в та­кой си­сте­ме еди­ниц изме­ре­ния дли­ны и вре­мени, в кото­рой ско­рость све­та рав­на еди­нице. Пол­ные диф­фе­рен­циа­лы собст­вен­ного (инва­ри­ант­ного) вре­мени ds M-кине­мати­ки и вре­мени dt N-кине­мати­ки, сов­па­даю­щего с диф­фе­рен­циа­лом t-ком­по­нен­ты 4-век­тора R, свя­заны (lds=dt) меж­ду со­бой ло­ренц-фак­то­ром  l c по­мощью ос­нов­ного урав­не­ния M-кине­мати­ки

UU = l2(1 – v2) = 1. (4)

Здесь приняты безиндексные обозначения 4-векторов, которые при записи набира­ются ЗА­ГЛАВ­НЫМИ наклон­ными жир­ными бук­вами: – R,U,W,G… Для полу­че­ния нуж­ной сиг­на­туры ска­ляр­ного про­из­веде­ния 4-век­то­ров A:=(a0,a) и B:=(b0,b), за­дан­ных сво­ими t-ком­по­нен­тами a0 и b0, и r-ком­по­нен­тами a и b, необ­хо­димо сле­до­вать пра­вилу:

AB := (a0, a)(b0, –b) = a0b0ab, (4.def)

где ab – обычное скалярное произведение 3-векторов с сигнатурой (+ + +). Обычно, для этой цели, 4-век­тор A запи­сыва­ют в кон­тра­вари­ант­ных ком­по­нен­тах ai:=(a0,a), а B в кова­ри­ант­ных bi:=(b0,–b), или – умно­жают r-ком­по­нен­ты 4-век­то­ров на мни­мую еди­ницу. 3-век­торы и r-ком­по­нен­ты 4-век­то­ров наби­рают­ся нор­маль­ными жир­ными бук­вами (без нак­лон­нос­ти) и мо­гут быть как строч­ными, так и ЗА­ГЛАВ­НЫМИ.

Использованные Абрагамом и Паули 3-вектор K (формула (265а)[1]) и 4-вектор K (фор­мула (265)[1], запи­сан­ная там в мет­рике с сиг­нату­рой (+ + + –)) при­нима­ют, в на­ших обоз­наче­ниях, вид:

K = cl2(g3 + l2(vg3)v),     K = cG, (5)

где c – размерный согласующий множитель, зависящий от применяемой системы единиц.

Равенство нулю кинематических величин g3 и G влечёт соблюдение условий дина­ми­чес­кого ха­рак­тера K=0 и K=0, отве­чаю­щих от­сутст­вию со­про­тив­ле­ния излу­че­нию (по Абра­гаму и Пау­ли) при та­ком уско­рен­ном дви­же­нии ис­точ­ни­ков. Дви­же­ния в рам­ках M-кине­мати­ки – M-дви­же­ния, удов­лет­воря­ющие до­пол­ни­тель­ному усло­вию G=0, бу­дем, для опре­де­лён­нос­ти, назы­вать ги­пер­боли­чес­кими дви­жени­ями.

Минковский выделил в выявленной и построенной им M-кинематике равномерно уско­рен­ное дви­же­ние, как осо­бен­но прос­тое дви­же­ние. Рав­ноус­ко­рен­ным [рав­но­мер­но уско­рен­ным] дви­жени­ем в реля­ти­вист­ской кине­мати­ке ес­тест­вен­но счи­тать та­кое дви­же­ние, для кото­рого уско­ре­ние пос­то­янно име­ет одно и то же зна­че­ние a в со­путст­вую­щей в дан­ный мо­мент телу или мате­ри­аль­ной точ­ке сис­теме коор­ди­нат K'. Сис­тема K' для каж­дого мо­мен­та – дру­гая; в од­ной опре­де­лён­ной гали­лее­вой сис­теме K уско­ре­ние по­доб­ного дви­же­ния не пос­тоян­но во вре­мени.[1,с.113] Рав­но­мер­но уско­рен­ное дви­же­ние в M-кине­мати­ке, опре­деля­емое пос­тоян­ством (со­хра­нени­ем) 3-век­тора уско­ре­ния a вдоль все­го миро­вого пути в се­мейст­ве (мгно­вен­но) со­путст­вую­щих инер­ци­аль­ных (гали­лее­вых) сис­тем от­счё­та, – выде­ляет­ся в M-кине­мати­ке толь­ко со­обра­жени­ями сим­мет­рии в се­мейс­тве век­то­ров уско­ре­ния aK' , име­ющих чис­то кине­мати­чес­кую при­роду.

Определение 1  M-движение, удовлетворяющее кинематическим условиям:

DW + kU = 0   &   Dk = 0, (6.G)

будем называть гиперболическим или равномерно ускоренным движением, или – G-движе­нием, а кине­мати­ку G-дви­же­ний – G-кине­мати­кой.

Из уравнения (6.GII) следует, что k есть константа, сохраняющаяся вдоль всего G-дви­же­ния. При та­ком k урав­не­ние (6.GI) со­впа­дает с 4-век­тор­ным кова­ри­ант­ным усло­вием, выде­ляю­щим рав­но­мер­но уско­рен­ное дви­же­ние, и соот­ветст­вую­щим его 3-век­тор­ному усло­вию b=0 в се­мейст­ве собст­вен­ных (мгно­вен­но со­путст­вую­щих) сис­тем от­счё­та, соот­не­сён­ных се­мейст­ву всех то­чек миро­вого пути. Та­ким обра­зом, вся­кое G-дви­же­ние есть рав­но­мер­но уско­рен­ное дви­же­ние.

Умножая (6.GI) на U, получаем (DW)U=–k. Дважды дифференцируя уравнение UU=1 по s, полу­чаем (DW)U=–WW. Из полу­чен­ных ре­зуль­та­тов сле­дует урав­не­ние

WW = k = –W2, (6.k)

справедливое для всякого G-движения. Такие движения будем называть M-движениями, со­хра­няю­щими квад­рат 4-ус­коре­ния. Под­став­ляя WW в урав­не­ние (6.GI) вмес­то k, полу­чаем урав­не­ние ги­пер­боли­чес­кого дви­же­ния G=0. Та­ким обра­зом, вся­кое G-дви­же­ние есть ги­пер­боли­чес­кое дви­же­ние.

Система уравнений (6.G) логически «ближе» к определению равномерно ускоренного дви­же­ния в M-ки­нема­тике и про­ще урав­не­ния G=0, лег­че под­даёт­ся раз­реше­нию отно­си­тель­но U. Умно­жая урав­не­ние G=0 на W, мож­но полу­чить урав­не­ние D(WW)=0 и да­лее, – урав­не­ния (6.k) и (6.GII), по­зво­ляю­щие заме­нить WW на k в урав­не­нии G=0 и полу­чить урав­не­ние (6.GI). По­сколь­ку, как пока­зал пред­ыду­щий ана­лиз, урав­не­ние G=0 и сис­тема урав­не­ний (6.G) мате­мати­чес­ки экви­ва­лен­тны для M-дви­же­ний, в опре­деле­нии (1) для выде­ле­ния G-дви­же­ний из M-дви­же­ний и была вы­бра­на бо­лее про­стая си­сте­ма урав­не­ний (6.G). Имен­но эта си­сте­ма урав­не­ний соот­ветст­вует логи­ке выде­ле­ния рав­но­мер­но уско­рен­ного дви­же­ния по Мин­ковс­кому.

Множество всех G-движений образует однопараметрическое семейство Gk-движений с раз­лич­ными зна­чени­ями кон­стан­ты k=WW. Если огра­ни­чить­ся изу­чени­ем Gk0-дви­же­ний с фик­сиро­ван­ным зна­чени­ем k0=–W02, целе­сооб­раз­но пере­опре­де­лить си­сте­му еди­ниц изме­ре­ния дли­ны и вре­мени в соот­ветст­вии с усло­вия­ми:

U := W0 := 1. (7.UW0)

В такой естественной и полной, для Gk0-движений с константой k0, системе еди­ниц UW0 4-век­торы Gk0-дви­же­ний очень на­гляд­но де­мон­стри­руют при­су­щие им заме­ча­тель­ные сим­мет­рии. Что­бы убе­дить­ся в этом, запи­шем все вели­чины Gk0-ки­нема­тики в их пол­ной си­сте­ме еди­ниц UW0 и да­дим та­кой кине­мати­ке но­вое на­зва­ние.

Определение 2  M-движение, удовлетворяющее кинематическим условиям:

DW = U   &   WW = –1; (7.H)
 DU = W   &    UU = +1, (7.M)

будем называть гиперболическим движением или H-движением, а ки­нема­тику H-дви­же­ний – H-ки­нема­ти­кой.

Под системой уравнений (7.H), полностью определяющей (выделяющей) H-движения среди M-дви­же­ний, явно выпи­сана си­сте­ма урав­не­ний (7.M), со­став­лен­ная из опре­деле­ния 4-век­тора W в M-ки­нема­тике и ос­нов­ного урав­не­ния М-ки­нема­тики. Эта «воль­ность» допу­щена для при­да­ния боль­шей на­гляд­нос­ти нали­чию сим­мет­рии в паре 4-век­то­ров U и W, опи­сыва­ющих H-дви­же­ние.

Если не делать переопределения системы единиц в соответствии с (7.UW0), а сразу опре­де­лить H-дви­же­ние как G-дви­же­ние с кон­стан­той k0=–1, мож­но полу­чить опре­деле­ние H-дви­же­ния, фор­маль­но со­впа­даю­щее с оп­реде­лени­ем (2). Но то­гда, мо­жет ос­тать­ся в тени тот факт, что лю­бые Gk0-дви­же­ния, с про­из­воль­но вы­бран­ной кон­стан­той k0, ав­тома­ти­чес­ки пре­вра­ща­ются в H-дви­же­ния прос­тым пере­счё­том в свою кине­мати­чес­ки пол­ную (аб­со­лют­ную) си­сте­му еди­ниц, опре­деля­емую соот­ноше­ни­ями (7.UW0).

Структура и свойства величин H-кинематики

Общее решение системы уравнений (7.H)&(7.M) целесообразно записать сразу для пары 4-век­то­ров ско­рос­ти U и уско­ре­ния W, отве­чаю­щих мо­мен­ту собст­вен­ного вре­мени s:

U = U0chs + W0shs, (8.U)
W = U0shs + W0chs, (8.W)

где: U0 и W0вершинные значения 4-векторов U и W, отве­чаю­щие нуле­вому зна­че­нию миро­вого пара­мет­ра эво­лю­ции (ин­вари­ант­ного собст­вен­ного вре­ме­ни) s=0.

Возможность такой формы записи решений свидетельствует о том, что пара 4-век­то­ров (U,W) H-ки­нема­тики, соот­ветст­вую­щая про­из­воль­но вы­бран­ному зна­че­нию s, явля­ется ре­зуль­та­том:

 линейного однородного преобразования вершинной пары 4-векторов (U0,W0), соответст­вую­щих зна­че­нию s=0;

 гиперболического поворота вершинной пары (U0,W0) на «угол» s.

Для H-кинематики характерно, что комбинации 4-векторов U±W изо­троп­ны: – (U±W)2=0, а 4-век­торы U и W рав­ны полу­сум­ме и полу­раз­нос­ти изо­троп­ных 4-век­то­ров U+W и UW. Если r-ком­по­нен­ты u и w 4-век­то­ров U и W, отло­жен­ные из об­щей точ­ки O, вы­чер­чива­ют при сво­ём дви­же­нии ги­пер­болы в об­щей плос­кос­ти uOw, то r-ком­по­нен­ты u±w изо­троп­ных 4-век­то­ров U±W вы­чер­чива­ют асим­пто­ты этих ги­пер­бол, пере­сека­ющи­еся в точ­ке O. Та­кое ги­пер­боли­чес­кое пове­де­ние r-ком­по­нент 4-век­то­ров U и W при их H-дви­же­нии – по­слу­жило пово­дом для на­зва­ния тако­го дви­же­ния ги­пер­боли­чес­ким.

Характерным свойством H-движений, отражающим присущую им симметрию, явля­ются сле­дую­щие це­поч­ки ра­венств для 4-век­то­ров, опи­сыва­ющих H-дви­же­ния:

U = D2U = … = DW = D3W = … , (8.1)
W = D2W = … = DU = D3U = … . (8.2)

Решения (8.U)&(8.W) могут быть получены способом, который наглядно отра­жает струк­туру H-ки­нема­тики. Раз­ло­жим 4-век­тор ско­рос­ти U(s) в ряд Тей­лора по сте­пе­ням собст­вен­ного вре­мени s:

U(s) = U(0) + DU(0)s + D2U(0)s2/2! + … . (8.3)

Согласно цепочкам равенств (8.1) и (8.2) все нечётные производные в раз­ложе­нии рав­ны W(0), а чёт­ные – U(0). Ис­поль­зуя эти отож­дест­вле­ния и пере­груп­пиро­вав сла­гае­мые, полу­чаем, с учё­том опре­деле­ния ги­пер­боли­чес­ких фун­кций, иско­мое реше­ние:

U(s) = U(0)(1 + s2/2! + …) + W(0)(s + s3/3! + …). (8.4)

Поступая аналогично с W(s), – получаем разложение (8.W).

Геометрия H-движений выделяется также тем, что значения 4-векторных полных диф­фе­рен­циа­лов dR и dW со­впа­дают и 4-век­тор R полу­чает­ся сдви­гом (тран­сля­ци­ей) 4-век­тора W на (об­щий для все­го пу­ти) по­сто­ян­ный 4-век­тор, рав­ный раз­нос­ти R0W0 зна­че­ний этих 4-век­то­ров в вер­шине (точ­ке пово­рота или воз­вра­та) H-дви­же­ния:

dR = dW,     RR0 = WW0, (8.R)

где: R0 и W0вершинные зна­че­ния 4-век­то­ров R и W, отве­чаю­щие нуле­вому зна­че­нию миро­вого пара­мет­ра эво­лю­ции (ин­вари­ант­ного собст­вен­ного вре­ме­ни) s=0. Вер­шин­ные 4-век­торы и их вер­шин­ные ком­по­нен­ты напо­мина­ют «на­чаль­ные» вели­чины, но они ими не яв­ляют­ся, по­сколь­ку вся­кое H-дви­же­ние «на­чина­ет­ся» со зна­че­ния миро­вого пара­мет­ра s=–¥, про­хо­дит че­рез вер­шин­ное зна­че­ние при s=0 и «за­кан­чива­ет­ся» при s=+¥.

В M-кинематике метрика мира Минковского задаётся с помощью квадрата диф­фе­рен­циа­ла 4-ради­ус-век­тора, при­рав­нен­ного квад­рату диф­фе­рен­циа­ла собст­вен­ного инва­ри­ант­ного вре­мени:

ds2 := dR2 := dt2dr2. (8.M)

В H-кинематике существуют свои, не зависящие от M-кинематики, способы опре­деле­ния инва­ри­ант­ного собст­вен­ного вре­мени s, кото­рое здесь вы­сту­пает ещё и в роли угла ги­пер­боли­чес­кого пово­рота пары 4-век­то­ров U и W:

ds2 = – dU2 = dW2 = … . (8.ds2)

В H-кинематике имеют место следующие замечательные равенства для диф­фе­рен­ци­аль­ного опе­рато­ра D с учас­тием t-ком­по­нент t, l и p 4-век­то­ров R, U, W и диф­фе­рен­циа­лов зтих ком­по­нент:

D := d/ds = l d/dt = p d/dl = l d/dp. (8.D)
dp = dt,   pp0 = tt0. (8.p)

Сравнение H-движений с гармоническими колебаниями

Полезно проследить сходство и различия в описаниии H-движений и гар­мони­чес­ких коле­ба­ний с час­то­той, рав­ной еди­нице. Для это­го выпи­шем соот­ветст­вую­щие си­сте­мы урав­не­ний пер­вого по­ряд­ка и их об­щие реше­ния в ле­вом и пра­вом столб­цах:

dW/ds = U,  dU/ds = W;          dv/dt = – x,  dx/dt = + v;     (9.1)
U = U0chs + W0shs,                  x =   x0cost + v0sint,    (9.2)
W = U0shs + W0chs.                  v = – x0sint + v0cost.    (9.3)

Определим универсальный оператор дифференцирования по угловому пара­мет­ру эво­лю­ции (дви­же­ния) или пара­мет­ру ду­аль­нос­ти, об­озна­чая его верх­ней звёз­доч­кой: *:=d/ds и *:=d/dt. С его по­мощью наши урав­не­ния сра­зу при­обре­тают бо­лее ком­пакт­ную и эв­рис­ти­чес­ки по­лез­ную фор­му:

*(W,U) = (U,W).                       *(v,x) = (–x,v).      (9.*)

Исходные уравнения записаны в форме дуальных уравнений. Дважды приме­няя опе­ра­тор диф­фе­рен­циро­ва­ния по пара­мет­ру ду­аль­нос­ти «*» к па­рам вели­чин (W,U) и (v,x), полу­чаем ха­рак­тер­ные урав­не­ния:

**(W,U) = (W,U).                     **(v,x) = – (v,x).      (9.**)

Этим двум качественно различающимся типам «дуальности» дадим следующие опре­деле­ния:

Определение 3  Симметрию, присущую уравнениям *(W,U)=(U,W) и соот­ветст­вую­щим вели­чи­нам, – бу­дем назы­вать ги­пер­боли­чес­ки ду­аль­ной сим­мет­рией или H-ду­аль­ной сим­мет­рией.

Определение 4  Симметрию, присущую уравнениям *(v,x)=(–x,v) и соот­ветст­вую­щим вели­чи­нам, – бу­дем назы­вать ев­кли­дово ду­аль­ной сим­мет­рией или E-ду­аль­ной сим­мет­рией.

H-дуальность названа гиперболической в связи с возможностью пред­став­ле­ния H-дви­же­ний, для кото­рых спра­вед­ливы урав­не­ния *(W,U)=(U,W), ги­пер­боли­чес­ким вра­ще­нием пары опи­сыва­ющих его вели­чин (U,W). В свою оче­редь, – опи­са­ние ги­пер­боли­чес­ких вра­ще­ний нуж­да­ется в ги­пер­боли­чес­ких фун­кци­ях от угло­вого пара­мет­ра эво­лю­ции s, по кото­рому и ве­дёт­ся диф­фе­рен­циро­ва­ние.

E-дуальность названа евклидовой в связи с возможностью представ­ле­ния гар­мони­чес­ких коле­ба­ний, для кото­рых спра­вед­ливы урав­не­ния *(v,x)=(–x,v), ев­кли­до­вым вра­щени­ем пары опи­сыва­ющих его вели­чин (x,v). В свою оче­редь, – опи­са­ние ев­кли­до­вых вра­ще­ний нуж­дает­ся в кру­го­вых три­гоно­мет­ри­чес­ких фун­кци­ях от угло­вого пара­мет­ра эво­лю­ции t, по кото­рому и ве­дёт­ся диф­фе­рен­циро­ва­ние.

Особый интерес представляет E-дуальность бивекторов свободного элек­тро­маг­нит­ного поля излу­че­ния (E,H) и *(E,H)=(–H,E), дру­гой фор­мой за­писи кото­рых явля­ются анти­сим­мет­рич­ные тен­зоры 2-го ранга F и *F.

Сравнение H-движений с преобразованиями Лоренца

В H-дуальных преобразованиях (8.U)&(8.W) можно увидеть фор­маль­ные чер­ты «пре­обра­зова­ний Ло­рен­ца» U- и W-ком­по­нент вер­шин­ного (1+3)×2-век­тора со­сто­яния (U0,W0), опи­сыва­юще­го H-дви­же­ние, к но­вой «си­сте­ме от­счё­та» с пара­мет­ром эво­лю­ции (ду­аль­нос­ти) s. Дейст­ви­тель­но, – пре­обра­зова­ния Ло­рен­ца (L-пре­обра­зова­ния) ком­по­нент 1×2-век­тора (t0,x0) в t- и x-ком­по­нен­ты в но­вой си­сте­ме от­счё­та име­ют вид:

t = t0chĴ + x0shĴ, (10.t)
x = t0shĴ + x0chĴ, (10.x)

где: Ĵ – параметр скорости (быстроты) L-преобразования, связанный (chĴ=l) с ло­ренц-фак­то­ром l  (L-пре­обра­зова­ния); от­носи­тель­ная ско­рость V но­вой си­сте­мы от­счё­та свя­зана с l со­отно­шени­ем l2(1–V2)=1. Пово­дом для ана­ло­гии слу­жит тот факт, что как H-ду­аль­ные пре­обра­зова­ния (8.U)&(8.W), так и L-пре­обра­зова­ния (10.t)&(10.x) зада­ны оди­нако­во устро­енны­ми ги­пер­боли­чес­кими 2×2 мат­рица­ми H(0,s) и L(0,Ĵ).

При сравнении H-движений с гармоническими колебаниями было замечено, что струк­тура ги­пер­боли­чес­кой мат­рицы H(0,s), опи­сыва­ющей пре­обра­зова­ния пары 4-век­то­ров (U,W) при H-дви­же­нии, явля­ется отра­жени­ем H-ду­аль­ной сим­мет­рии та­ких пре­обра­зова­ний. Точ­но так­же, – ги­пер­боли­чес­кое стро­ение мат­рицы L-пре­обра­зова­ния L(0,Ĵ) опре­деля­ется H-ду­аль­ным урав­нени­ем L-пре­обра­зова­ния:

*(x,t) = (t,x),     *: = d/dĴ, (10.*)

где: Ĵ – угловой параметр дуальности L-пре­обра­зова­ния, по кото­рому ве­дёт­ся диф­фе­рен­циро­ва­ние.

Всё это свидетельствует о том, что как L-преобразования, так и H-пре­обра­зова­ния явля­ются эле­мен­тами од­ной и той же об­щей для них груп­пы – L-груп­пы (груп­пы Ло­рен­ца).

Эвристические соображения на параде выявленных СИММЕТРИЙ
в структурах поля и движения его источников New! Updated!

 

Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что при­рода пред­став­ляет со­бой ре­али­за­цию про­стей­ших мате­мати­чес­ки мыс­ли­мых эле­мен­тов. Я убеж­дён, что по­сред­ством чис­то мате­мати­чес­ких кон­струк­ций мы мо­жем най­ти те поня­тия и зако­но­мер­ные свя­зи меж­ду ними, кото­рые да­дут нам ключ к пони­ма­нию явле­ний при­роды. Опыт мо­жет под­ска­зать нам соот­ветст­вую­щие мате­мати­чес­кие кон­струк­ции физи­ки. Но на­сто­ящее твор­чес­кое нача­ло при­суще имен­но мате­мати­ке. Поэ­тому я счи­таю в из­вест­ном смыс­ле оп­рав­дан­ной веру древ­них в то, что чис­тое мыш­ле­ние в со­сто­янии по­стиг­нуть ре­аль­ность.

Альберт Эйнштейн

Для разработки идей геометризации электродинамики в тру­дах Пуан­каре и Мин­ковс­кого всем пред­шест­вую­щим раз­вити­ем мате­мати­ки и тео­рети­чес­кой физи­ки были под­го­тов­лены как фор­маль­ные, так и эк­спе­ри­мен­таль­ные осно­ва­ния. Всё бо­лее от­чёт­ливо ста­ли вы­сту­пать на пе­ред­ний план скры­тые до поры сим­мет­рии ML-урав­не­ний (урав­не­ний Макс­вел­ла–Ло­рен­ца). Выяв­ле­нию этих сим­мет­рий спо­собст­во­вали как раци­она­лиза­ция си­сте­мы еди­ниц изме­ре­ния, так и со­вер­шенст­вова­ние век­тор­ных и тен­зор­ных обоз­наче­ний. Реша­ющие эк­спе­ри­мен­ты укре­пля­ли веру в дейст­ви­тель­ное нали­чие этих сим­мет­рий в са­мой при­роде опи­сыва­емых физи­чес­ких про­цес­сов. Всё это рас­чис­тило пути для нова­тор­ских ша­гов в на­прав­ле­нии уве­личе­ния раз­мер­нос­ти физи­чес­кого про­стран­ства и наде­ле­ния его ги­пер­боли­чес­кой мет­ри­кой.

•  Уже в самой форме записи дифференциального оператора Далам­бера:

2/t2Ñ2 = (/t, –Ñ)(/t, Ñ) = (/t, –Ñ)2,   Ñ := (/x, /y, /z), (11.1)

можно было угадать указание на 4-векторный характер 4-оператора Гамиль­тона (/t,–Ñ) и ги­пер­боли­чес­кую сиг­нату­ру (+ – – –) мет­рики и ска­ляр­ного про­изве­де­ния 4-век­то­ров.

•  Один и тот же оператор Даламбера действовал и на скаляр­ный по­тен­циал φ, и на 3-век­тор­ный по­тен­циал A в ле­вых час­тях ML-урав­не­ний.

(2/t2Ñ2)φ = ρ,   (2/t2Ñ2)A = ρv. (11.2)

•  Это указывало на естественность их объединения в 4-вектор­ный по­тен­циал (φ,A) и обра­зова­ние еди­ной 4-век­тор­ной плот­нос­ти тока заря­дов (ρ,ρv), вхо­дя­щих в ML-урав­не­ния:

(2/t2Ñ2)(φ, A) = (ρ, ρv). (11.3)

Электромагнитные потенциалы теории Лоренца: скалярный потенциал φ и векторный A, также имеют простое четырёхмерное истолкование. Как впервые было отмечено Минковским (см. [2], Минковский I), они могут быть соединены в один вектор четырёхмерного мира – четырёхмерный потенциал… [1,§28]

•  Как условие (калибровки потенциалов) Лоренца, так и уравнение непрерывности, – предполагали возможность их записи в форме условия 4-ортогональности соответствующих пар 4-векторов:

(/t,–Ñ)(φ,A) = 0,   (/t,–Ñ)(ρ, ρv) = 0. (11.4)

Эта естественная схема построения 4-векторного Мира Минковского, конечно же, – явилась результатом его размышлений над сущностью преобразований Лоренца, действующих, прежде всего, на величины, входящие в ML-уравнения.

Примечательно, что именно волновое уравнение Максвелла впервые вывело в свет преобразования Лоренца… Вольдемар Фогт в 1887 г. показал [52], что уравнения типа (2/t2Ñ2)φ=0 сохраняют форму при переходе к новым пространственно-временным переменным… , совпадающим, с точностью до масштабного множителя, с преобразованиями Лоренца. [11,§6.2]

Как тогда, так и сегодня, – многими или упускается из виду, или сознательно игнорируется тот несомненный факт, что в структуре Мира Минковского нет ничего сверх того, что:

•  требовала математическая форма записи ML-уравнений для входящих в них величин;

•  было обусловлено характером преобразований Лоренца, действующих на эти величины.

Следует особо отметить, что, находясь в рамках одной лишь электродинамики, постулаты (принципы) Эйнштейна, положенные в основание его Специальной Теории Относительности, – являются только теоремами в Мире Минковского. Схема построения электродинамики в специально выстраеваемом под её нужды Мире Минковского, – не нуждается в формальной опоре на постулаты Эйнштейна. Вместо них, – руководящую роль выполняли уже выявленные симметрии ML-уравнений совместно с теми симметриями, которые задавались преобразованиями Лоренца.

Гиперболическое смешивание t- и r-компонент 4-векторов при L-преобразованиях, напоминающее евклидово смешивание пространственных координат 3-вектора (r-компоненты) при повороте координатного репера, – послужило Минковскому решающим доводом в пользу окончательного признания физической реальности 4-векторов в электродинамике и её физической геометрии.

Достоверно известно, что Программа исследований Минковского по гео­мет­риза­ции элек­тро­дина­мики не огра­ничи­ва­лась вос­ста­но­вле­нием сим­мет­рии урав­не­ний Макс­вел­ла отно­си­тель­но L-пре­обра­зова­ний пу­тём пере­хода от N-кине­мати­ки к M-ки­нема­тике в 4-векторном Мире. Имен­но он пер­вым запи­сал пер­вую пару урав­не­ний Макс­вел­ла с по­мощью как би­век­тора (E,H) (тен­зора Макс­вел­ла F), так и ду­аль­ного ему би­век­тора (–H,E) (*F, ду­аль­ного тен­зору Макс­вел­ла F) с целью вос­ста­но­вле­ния ду­аль­ной сим­мет­рии урав­не­ний Макс­вел­ла [1,§28].

Это достижение Минковского, фактически, привело к восстановлению E-дуальной сим­мет­рии в той час­ти урав­не­ний Макс­вел­ла, кото­рая опи­сыва­ла сво­бод­ное поле излу­че­ния. В са­мих реше­ниях, пред­став­ляю­щих элек­тро­маг­нит­ные вол­ны, эта E-ду­аль­ная сим­мет­рия уже при­сутст­вова­ла. И это ес­тест­вен­но, по­сколь­ку в (плос­кой) элек­тро­маг­нит­ной вол­не про­исхо­дят гар­мони­чес­кие коле­ба­ния соот­вет­ству­ющих ком­по­нент поля. Кажу­щее­ся из­лиш­ним, на пер­вый взгляд, удво­ение чис­ла урав­не­ний поля оп­рав­дано тем об­стоя­тель­ством, что всег­да целе­сооб­раз­но иметь дело с та­кой фор­мой запи­си урав­не­ний, кото­рой в яв­ном виде при­суща сим­мет­рия, на­блю­дае­мая в реше­ниях этих урав­не­ний.

При попытке немедленной записи второй пары уравнений Максвелла с ис­точ­ника­ми в ду­аль­ной фор­ме, воз­ника­ют неиз­беж­ные про­бле­мы. M-дви­же­ния ис­точ­ни­ков поля ещё слиш­ком широ­ки для со­блю­де­ния H-ду­аль­ной сим­мет­рии во вто­рой паре не­одно­род­ных урав­не­ний Макс­вел­ла – ML-урав­не­ний.

Минковский обращается к гиперболическому движению источников поля (до­пол­ни­тель­ной сим­мет­рии) в ка­чест­ве необ­ходи­мого ему до­пол­ни­тель­ного суже­ния M-дви­же­ния ис­точ­ни­ков. Как дале­ко он про­дви­нул­ся в этом на­прав­ле­нии, нам до­сто­вер­но не из­вест­но. Рабо­та Мин­ковс­кого по ги­пер­боли­чес­кому дви­же­нию пос­ле его ско­ро­пос­тиж­ной кон­чины ос­та­лась не­опуб­лико­ван­ной. Вмес­то неё в печа­ти по­яви­лась рабо­та по ги­пер­боли­чес­кому дви­же­нию Мак­са Бор­на [3], кото­рый под пат­рона­жем Дави­да Гиль­бер­та непо­сред­ствен­но зани­мал­ся оцен­кой зна­чи­мос­ти и целе­сооб­раз­нос­ти под­го­тов­ки к изда­нию нео­пуб­лико­ван­ных физи­чес­ких ра­бот сво­его учи­теля. (Смо­три­те: – 6.2  Трагедия Гёттингена как Выбор Истории)

Героические труды великих физиков и математиков на рубеже XIX и XX ве­ков, на­прав­лен­ные на «пе­ресе­ле­ние» урав­не­ний Макс­вел­ла в но­вый 4-век­тор­ный Мир Мин­ковс­кого су­щест­вен­но сузи­ли как до­пус­ти­мые M-дви­же­ния ис­точ­ни­ков в срав­не­нии с N-дви­жени­ями в Абсо­лют­ном Мире Нью­тона, так и до­пус­ти­мую струк­туру поля, по­рож­дае­мого заря­жен­ными ис­точ­ника­ми. Все эти свер­ше­ния яви­лись ре­зуль­та­том про­де­лан­ной рабо­ты по вос­ста­но­вле­нию сим­мет­рии (ко­вари­ант­нос­ти) урав­не­ний Макс­вел­ла отно­си­тель­но L-пре­обра­зова­ний из L-груп­пы.

В SubQFT необходима дополнительная симметризация уравнений Максвелла отно­си­тель­но H-пре­обра­зова­ний из L-груп­пы и по­сле­дую­щее осво­ение этих заме­ча­тель­ных урав­не­ний, – за­хва­тыва­ющее зна­ком­ство с чер­тежа­ми суб­кван­тово­го фун­да­мен­та, на кото­ром дер­жат­ся и Мир Мин­ковс­кого, и Мир Кван­тов вмес­те со все­ми их уже из­вест­ными или скры­тыми до поры лика­ми.

Теме дополнительной симметризаци уравнений Максвелла для гипер­боли­чес­ки дви­жу­щих­ся суб­кван­то­вых ис­точ­ни­ков поля по­свя­щён от­дель­ный пункт – 5.4  Симметризация уравнений Максвелла. Ниже запи­саны два аль­тер­на­тив­ных вари­анта «см­мет­ризо­ван­ных» урав­не­ний Макс­вел­ла в ши­роко из­вест­ных обоз­наче­ниях За­дачи 4.21. из «Сбор­ника за­дач по тео­рии отно­си­тель­нос­ти и гра­вита­ции» [32,с.35] и обоз­наче­ниях Пау­ли в его «Эн­цик­лопе­ди­чес­кой статье» [1,§28]:

Fμν,ν = 4πJμ  «   div F = ρ0U, (12.U)
*Fμν,ν = 4πKμ  «  div*F = μ0U.   (13.U)
                          rot*F = ρ0W. (12.W)

Действительно новым здесь является замена 4-оператора div во второй стро­ке на 4-опе­ра­тор rot, т.е. пере­ход в ле­вой час­ти «ду­аль­ных» урав­не­ний из [32] от 4-век­тора к тен­зору 3-го ран­га и пред­поло­же­ние о со­впа­де­нии соот­ветст­вую­щих его ком­по­нент с ком­по­нен­тами 4-век­тора ρ0W. Яс­но, что это кар­ди­наль­но меня­ет всю физи­чес­кую ин­тер­пре­та­цию *ML-урав­не­ний. Об­осно­ва­нию и ана­лизу сим­мет­ризо­ван­ной та­ким обра­зом си­сте­мы урав­не­ний Макс­вел­ла:

div*F = 0   &   div F = ρ0U, (12.ML)
   rot F = 0   &   rot*F = ρ0W, (12.*ML)

посвящён пункт – 5.4  Симметризация уравнений Максвелла.

Описание движения мировой точки в M-кинематике с помощью
совокупности мгновенно сопутствующих лоренцевых систем отсчёта New!

Первоначально, гиперболическое движение источников поля обратило на себя вни­ма­ние бла­го­даря от­сутст­вию излу­че­ния. По­пут­но выяс­ни­лось, что H-дви­же­ние ес­тест­вен­но выде­ляет­ся из мно­жест­ва M-дви­же­ний одни­ми толь­ко до­пол­ни­тель­ными сим­мет­ри­ями сво­ей кине­мати­ки. H-дви­же­ние в се­мей­стве собст­вен­ных (мгно­вен­но со­путст­вую­щих) си­стем от­счё­та мак­си­маль­но сим­мет­рич­но сре­ди про­из­воль­но ус­тро­ен­ных уско­рен­ных дви­же­ний – оно име­ет там по­сто­ян­ный, со­хра­няю­щий­ся вдоль все­го H-пути (как по вели­чине, так и по на­прав­ле­нию) еди­нич­ный 3-век­тор уско­ре­ния a0. Если пол­ное 4-дви­же­ние в на­боре собст­вен­ных ло­рен­це­вых си­стем от­счё­та, осу­щест­вля­емое по­сле­дова­тель­нос­тью бес­ко­неч­но ма­лых пре­обра­зова­ний Ло­рен­ца, сво­дит­ся к ги­пер­боли­чес­кому вра­ще­нию t-оси отно­си­тель­но r-осей, то – ев­кли­до­вых вра­ще­ний са­мих r-осей при та­ком пре­обра­зова­нии не про­исхо­дит. Про­стран­ствен­ные r-оси при сво­ём пре­обра­зова­нии под­вер­гают­ся стро­го па­рал­лель­ному пере­носу. Имен­но при та­ком дви­же­нии r-осей, осу­щест­вля­емом пре­обра­зова­ния­ми Ло­рен­ца, и про­исхо­дит па­рал­лель­ный пере­нос как са­мих про­стран­ствен­ных r-осей, так и со­хра­няю­щего­ся еди­нич­ного 3-век­тора нью­тоно­ва уско­ре­ния a0, раз­ло­жен­ного по этим осям.

Зафиксируем совершенно произвольно одну из этих мгновенно со­пут­ству­ющих ло­рен­це­вых си­стем от­счё­та K0 и опи­шем в ней H-дви­же­ние вдоль все­го H-пути. В этой си­сте­ме от­счё­та K0 в мо­мент её фик­са­ции s0=0 (за­мора­жива­ния её ско­рос­ти дви­же­ния) 4-век­торы U и W при­нима­ли зна­че­ния U0=(1,0) и W0=(0,a0). Пере­счи­ты­вая в K0 зна­че­ния U и W из всех дру­гих мгно­вен­но со­путст­вую­щих ло­рен­це­вых си­стем от­счё­та (со­вер­шая соот­вет­ству­ющие пре­обра­зова­ния Ло­рен­ца), полу­чим зна­че­ния этих 4-век­то­ров (chs,a0shs) и (shs,a0chs) в K0, соот­вет­ству­ющие мо­мен­ту соб­ствен­ного вре­мени s (или углу ги­рер­боли­чес­кого пово­ро­та). Про­стран­ствен­ная r-ком­по­нен­та этих 4-век­то­ров со­вер­шает стро­го одно­мер­ное дви­же­ние вдоль со­хра­няю­ще­гося на­прав­ле­ния a0. Для H-дви­же­ния ха­рак­тер­но, что полу­чен­ная толь­ко что кар­тина ги­пер­боли­чес­кого дви­же­ния в K0 со­вер­шен­но не зави­сит от её кон­крет­ного выбо­ра из соот­вет­ству­юще­го мно­жест­ва. Опи­са­ние H-дви­же­ния инва­ри­ант­но отно­си­тель­но выбо­ра кон­крет­ной си­сте­мы от­счё­та K0 из мно­жест­ва всех мгно­вен­но со­пут­ству­ющих (про­из­воль­но вы­бран­ной точ­ке H-пу­ти) ло­рен­це­вых си­стем от­счё­та.

Замечательно, что именно это особенно простое движение ста­ло тем са­мым уско­рен­ным дви­жени­ем ис­точ­ни­ков поля, кото­рое не по­рож­дает излу­че­ния. По­сколь­ку излу­че­ние есть со­став­ляю­щая поля с ка­чест­вен­но выде­лен­ной струк­ту­рой, ес­тест­вен­но сде­лать пред­поло­же­ние о су­щест­вова­нии неиз­вест­ной нам (кон­сер­ва­тив­ной) сим­мет­рии урав­не­ний Макс­вел­ла, при нару­ше­нии кото­рой и про­исхо­дит струк­тур­ная пере­строй­ка поля с обра­зова­нием ка­чест­вен­но но­вой со­став­ляю­щей – излу­че­ния.

Сферически симметричный набор H-движений New!

Запишем более подробно «общее» решение системы уравнений (7.H)&(7.M) для пары 4-век­то­ров U и W, отве­чаю­щих мо­мен­ту собст­вен­ного вре­мени s, в уже вы­бран­ной ра­нее фор­ме (8.U)&(8.W):

U = U0l/l0 + W0t/l0 = (l, lv),                   (14.U)
W = U0t/l0 + W0l/l0 = (t, tv + l2a),   p = t, (14.W)
U0 = (l0, l0v0),   W0 = (0, l02a0),   v0a0 = 0,   l04a02 = 1, (14.0)
l = l0chs,   t = l0shs,   l2 = l02 + t2,   t0 = p0 = 0, (14.l)

где: U0 и W0 – вершинные значения 4-векторов U и W; l и tt-ком­по­нен­ты 4-век­то­ров U и W; v0 и a0 – вер­шин­ные зна­че­ния 3-век­то­ров нью­тоно­вых ско­рос­ти v и уско­ре­ния a; l0 – вер­шин­ный ло­ренц-фак­тор или вер­шин­ное зна­че­ние t-ком­по­нен­ты 4-век­тора U0; вер­шин­ные зна­че­ния t-ком­по­нент 4-век­то­ров R0 и W0 вы­бра­ны рав­ными нулю (t0=p0=0).

Выбор нулевых значений для вершинных t-компонент (t0=p0=0) у вер­шин­ных 4-век­то­ров R0 и W0 сра­зу при­во­дит как к ра­вен­ству t=p (пол­ному отож­дест­вле­нию зна­че­ний t-ком­по­нент 4-век­то­ров R и W), так и к орто­го­наль­нос­ти вер­шин­ных 3-век­тор­ных нью­тоно­вых ско­рос­ти v0 и уско­ре­ния a0. По­след­нее свя­зано с нали­чием ра­вен­ства p0=l04v0a0. Необ­ходи­мость тако­го выбо­ра обус­лов­лена стрем­лени­ем полу­чить стро­го сфе­ри­чес­ки сим­мет­рич­ные H-дви­же­ния для суб­то­ков элек­тро­на. Для обес­пече­ния та­кой сим­мет­рии стро­го необ­ходи­мо вы­пол­не­ние усло­вия p0=0, вле­ку­щего за со­бой v0a0=0 (и, – нао­бо­рот). Вы­бор t0=0 не прин­ципи­ален, но при­во­дит к упро­ще­нию запи­си фор­мул.

Если r-компоненты u и w 4-векторов U и W, отло­жен­ные из об­щей точ­ки O, вы­чер­чива­ют при сво­ём дви­же­нии ги­пер­болы в об­щей плос­кос­ти uOw, то r-ком­по­нен­ты u±w изо­троп­ных 4-век­то­ров U±W вы­чер­чива­ют асим­пто­ты этих ги­пер­бол, пере­сека­ющи­еся в точ­ке O. Угол на­кло­на асим­птот ±α к w-оси сим­мет­рии w-ги­пер­бол, опи­сыва­емых при дви­же­нии w, свя­зан с вер­шин­ным ло­ренц-фак­то­ром l0 соот­ноше­нием l0cosα=1. На w-оси ле­жит a0. Соот­ветст­вен­но, – на u-оси сим­мет­рии u-ги­пер­бол, опи­сыва­емых при дви­же­нии u, – ле­жит v0. Как вер­шин­ные 3-век­торы v0 и a0, так и сами u- и w-оси (ев­кли­дово) орто­го­наль­ны. Раз­ложе­ние r-ком­по­нент U и W по нью­тоно­вым 3-век­то­рам вер­шин­ных ско­рос­ти v0 и уско­ре­ния a0 (по u- и w-осям) име­ет вид:

u = lv0 + l0ta0,    v0 = v0i,      (15.u)
w = tv0 + l0la0,    a0 = m j/l02, (15.w)

где: i и j – единичные векторы (орты) на u- и w-осях. Раз­ложе­ния нью­тоно­вых 3-век­то­ров ско­рос­ти v и уско­ре­ния a при­нима­ют вид:

v = v0 + l0ta0/l = v0i m tj/l0l, (16.v)
a =       l03a0/l3 =      m l0j/l3. (16.a)

В H-кинематике предпочтительна точка зрения, в соответствии с кото­рой, – фун­да­мен­таль­ной (ос­нов­ной, опре­деля­ющей, ис­ход­ной, пер­вич­ной, базо­вой) вели­чи­ной явля­ется имен­но пара 4-век­то­ров (U,W), то­гда как 4-ради­ус-век­тор R вто­ри­чен и мо­жет быть вос­ста­нов­лен на их ос­нове с учё­том соот­ветст­вую­щих усло­вий. Фор­маль­ный ста­тус R в H-ки­нема­тике подо­бен роли 4-век­тор­ного по­тен­циа­ла (φ,A) в элек­тро­дина­мике.

В силу тождества H-кинематики rr0=ww0 для восстанов­ле­ния r-ком­по­нен­ты R до­ста­точ­но вы­брать её 3-про­стран­ствен­ное вер­шин­ное на­прав­ле­ние. С ус­лови­ем сфе­ри­чес­кой сим­мет­рии со­вмес­тимо толь­ко её вер­шин­ное на­прав­ле­ние по w-оси r0=r0j. Вос­ста­нов­лен­ное та­ким спо­со­бом раз­ложе­ние r-ком­по­нен­ты R по u- и w-осям окон­ча­тель­но при­нима­ет вид:

r = tv0i + (r0 ± 1 m l/l0)j. (17.r)

Как сама процедура восстановления 3-вектора r, так и его раз­ложе­ние (17.r) сви­де­тель­ству­ют о том, что r при сво­ём дви­же­нии про­чер­чива­ет ги­пер­болу. Как сама эта r-ги­пер­бола, так и её асим­пто­ты полу­ча­ются про­стран­ствен­ным сдви­гом w-ги­пер­болы и её асим­птот на по­сто­ян­ный 3-век­тор r0w0.

Для определения положения асимптот r-гипербол полезно дополни­тель­но к их углу на­кло­на к w-оси ±α опре­де­лить при­цель­ный пара­метр o, рав­ный (крат­чай­шему) рас­сто­янию асим­птот от точ­ки O. При­цель­ный пара­метр o свя­зан с вер­шин­ными пара­мет­рами v0 и r0 соот­ноше­нием:

o = v0(r0 ± 1). (18.o)

С помощью символов «±» и «m» описаны величины сра­зу двух ка­чест­вен­но раз­ли­чаю­щих­ся сфе­ри­чес­ки сим­мет­рич­ных под­се­мей­ств H-дви­же­ний, име­ющих про­тиво­по­лож­но на­прав­лен­ные нью­тоно­вы ус­коре­ния a. Стро­го гово­ря, необ­ходи­мо либо пи­сать две груп­пы фор­мул, либо у всех вели­чин при­писы­вать ин­декс «±». Пред­пола­гает­ся, что чита­тель, при необ­ходи­мос­ти, все­гда смо­жет это про­де­лать. Пол­ный сфе­ри­чес­ки сим­мет­рич­ный на­бор реше­ний си­сте­мы урав­не­ний (7.H)&(7.M) мо­жет быть полу­чен из опи­сан­ных выше про­стран­ствен­ными вра­щени­ями во­круг u-, w- и z-осей. Третья про­стран­ствен­ная z-ось отло­жена из точ­ки O пер­пен­дику­ляр­но плос­кос­ти uOw в соот­вет­ству­ющем на­прав­ле­нии.

 Последние изменения: 16 июля 2005EN Вернуться к оглавлению

Сферически симметричный набор Z-движений*

Для траекторий движения (17.r) имеет место следующее соотно­шение между лоренц-фак­то­ром l(t) и рас­стоя­нием до цен­тра сим­мет­рии r(t) про­из­воль­но вы­бран­ной точ­ки

r2 = (l m k)2 + (l02 – 1)(k2 – 1),   k := (r0 ± 1)/l0, (19*)

откуда видно, что лоренц-фактор l и связанная с ним величина ньюто­новой ско­рос­ти v не­изо­троп­ны и зави­сят от инди­виду­аль­ного пара­мет­ра тра­екто­рии. Если, воле­вым обра­зом, нало­жить связь меж­ду вер­шин­ными пара­мет­рами

l0 = r0 ± 1,    k = 1, (20*)

такая дополнительная симметризация сферически симметричной H-кинематики вле­чёт су­щест­вен­ное упро­ще­ние её струк­туры и, в част­нос­ти:

o = v0l0,    l = r ± 1. (21*)

Набор решений (17.r) после вырождения по одному из пара­метров (от­бора в соот­ветст­вии с сим­мет­рией (20*)), ста­но­вит­ся изо­троп­ным по vv (сле­дова­тель­но: – по l и uu) и одно­пара­мет­ри­чес­ким (за­вися­щим, на­при­мер, толь­ко от при­цель­ного пара­мет­ра o).

Определение 3*  Сферически симметричные H-движения, всюду изотропные по vv (ев­кли­до­вой нор­ме 3-век­тора v), бу­дем назы­вать Z-дви­жени­ями, а ки­нема­тику Z-дви­же­ний – Z-ки­нема­тикой.

При Z-движении величина сдвига W для получения 4-радиус-вектора Z со­впа­дает с вер­шин­ным ло­ренц-фак­то­ром (20*) вдоль оси OY

Z = W + (0, 0, l0, 0), (22*)

что есть результат Z-симметризации вектора R(n). Использование новой буквы Z для об­озна­че­ния 4-ра­диус-век­тора оп­рав­дано изме­нени­ем его при­ро­ды. «Про­странс­тво-вре­мя» вло­жен­ных друг в дру­га Z-, H-, G-, M-ки­нема­тик нуж­дает­ся в неза­виси­мом от реля­ти­вист­ской кине­мати­ки опре­деле­нии, что ста­нет воз­мож­ным в про­цес­се опре­деле­ния зако­на дви­же­ния. Оно дол­жно быть не прос­то удач­но подо­бран­ной сце­ной для пред­став­ле­ния (опи­са­ния) физи­чес­ких кол­ли­зий (со­бы­тий), но орга­нич­но впле­тён­ным в замк­ну­тую струк­туру суб­кван­то­вой тео­рии поля. Тем бо­лее, что экс­пор­тиро­вать на суб­кван­то­вый уро­вень изме­ри­тель­ные ли­ней­ки и часы не пред­став­ля­ется воз­мож­ным.

 Последние изменения: 30 марта 2005EN Вернуться к оглавлению

Цитируемая литература:
1. Паули В. Теория относительности: пер. с англ. – 2-е изд. M.: «Наука», 1983
2. Минковский Г.,
I   Das Relativitätsprinzip. Доклад математическому обществу в Гёттингене 5 ноября 1907 г. Напечатано в Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver., 1915, Bd 24, S. 372; Ann. d. Phys., 1915, Bd 47, S. 927;
II   Die Grundgleichungen für Elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. – Gött. Nachr., 1908, S. 53; Math. Ann., 1910, v. 68, p. 472, и отдельно: Leipzig, 1911;
III   Raum und Zeit. Доклад, прочитанный собранию естествоиспытателей в Кёльне 21 сентября 1908 г., напечатан в Phys. Ztschr., 1909, Bd 10, S. 104, и в сб.: Das Relativitätsprinzip. – Leipzig, 1913 (Русский перевод «Пространство и время», в сб.: Принцип относительности. – М. ОНТИ, 1935)
3. Борн М. Ann. d. Phys., 1909, Bd 30, S. 1 (Русский перевод «Теория недеформируемого электрона в релятивистской кинематике.» в сб.: Эйнштейновский сборник 1975 – 1976. M.: «Наука», 1978)
4. Sommerfeld A. Ann. d. Phys., 1910, Bd 33, S. 670; Bd 32, S. 749; 649
5. Абрагам M. Theorie d. Electrizität, 2, 1908, 2-e изд., с. 387
11. Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта ЭЙНШТЕЙНА. M.: «Наука», 1989
32. Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации, M.: «Мир», 1979
52. Voigt W. Goett. Nachr. – 1887. – S. 41.
 
Основная страница – http://www.ltn.lv/~elefzaze/
html/php вёрстка: Александр А. Зазерский
©1998–2005  Александр С. Зазерский