5.3 К Субквантовому Закону Движения

5.3  К Субквантовому Закону Движения

 

Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что при­рода пред­став­ляет со­бой ре­али­за­цию про­стей­ших мате­мати­чес­ки мыс­ли­мых эле­мен­тов. Я убеж­дён, что по­сред­ством чис­то мате­мати­чес­ких кон­струк­ций мы мо­жем най­ти те поня­тия и зако­но­мер­ные свя­зи меж­ду ними, кото­рые да­дут нам ключ к пони­ма­нию явле­ний при­роды. Опыт мо­жет под­ска­зать нам соот­ветст­вую­щие мате­мати­чес­кие кон­струк­ции физи­ки. Но на­сто­ящее твор­чес­кое нача­ло при­суще имен­но мате­мати­ке. Поэ­тому я счи­таю в из­вест­ном смыс­ле оп­рав­дан­ной веру древ­них в то, что чис­тое мыш­ле­ние в со­сто­янии по­стиг­нуть ре­аль­ность.

Альберт Эйнштейн

В рамках релятивистской парадигмы закон движения в векторном поле A:=(φ,A) в то­чеч­ном при­бли­же­нии мо­жет быть полу­чен с по­мощью вари­аци­он­ного прин­ципа из функ­ции Ла­гран­жа L с ли­ней­ными по полю инва­ри­ант­ными сла­гае­мыми

Ll = – (gA + m + eAU), (1.Ll)

где: U=(l,lv) – 4-скорость; l – лоренц-фактор (отношение диф­фе­рен­циа­лов dt/ds); A – поло­жи­тель­ное зна­че­ние квад­рат­ного кор­ня из ло­рен­це­вой нор­мы АА 4-по­тен­циа­ла поля; g, m, e – кон­стан­ты. Обыч­но ис­поль­зуют­ся сле­дую­щие, экви­ва­лент­ные (1.Ll), фор­мы запи­си ла­гран­жи­ана

Ldt = – (gAds + mds + eAdR), (1.Ldt)
    L = – (gA/l + m/l + e(φAv)). (1.L)

Развитие фундаментальной физики идёт в русле усилий по замене неполевого сла­гае­мого с эмпи­ри­чес­кой мас­сой по­коя на пер­вое (сла­гае­мое) или дру­гой инва­ри­ант­ный ска­ляр, полу­чае­мый из ком­по­нент одно­го или не­сколь­ких по­лей. Веха­ми на этом пути ста­ли ска­ляр­ное дав­ле­ние Пуан­каре и по­пыт­ки ре­али­за­ции поле­вой про­грам­мы элек­тро­маг­нит­ной мас­сы элек­тро­на. Особ­ня­ком в этом ряду сто­ят нели­ней­ные об­обще­ния элек­тро­дина­мики и тео­рии с не­сколь­кими поля­ми.

Судьбоносным для физики XX века стало разочарование Эйнштейна в предмете его пер­вой боль­шой люб­ви – в урав­нени­ях Макс­вел­ла, – из-за их види­мой (ка­жу­щей­ся) не­спо­соб­нос­ти на тот мо­мент (1905–1907) опи­сать элек­трон и кван­ты све­та и од­ним ма­хом удов­лет­во­рить мак­сима­лист­ские ожи­да­ния. Но­вый вы­бор пал на гра­вита­цию, но уже без­раз­дель­но и до по­след­него вздо­ха. Ге­ний Эйн­штей­на непо­сти­жи­мым обра­зом увле­кал за со­бой одно­го за дру­гим. Не усто­ял и Гёт­тин­ген… Ана­лизи­руя этот фено­мен, труд­но удер­жать­ся от поис­ков неко­то­рой сто­рон­ней силы. Боль­но уж глад­ко ложи­лось одно к дру­гому… Все­го за одно деся­тиле­тие сло­жи­лось прак­ти­чес­ки пре­обла­даю­щее убеж­де­ние (ве­ра) в от­вет­ствен­ность гра­вита­ции (гео­мет­рии в ма­лом, неот­дели­мой от неё) за фун­да­мен­таль­ную при­роду час­тиц и их мас­сы. И всё это – не­взи­рая на от­сутст­вие даже тео­рети­чес­ких тому под­твер­жде­ний и отли­чие кон­стант элек­тро­маг­нит­ного и гра­вита­цион­ного вза­имо­дейст­вий на со­рок по­ряд­ков в осво­ен­ном физи­ками диа­па­зоне рас­стоя­ний. Та­кое было под силу (по пле­чу) толь­ко Ге­нию Эйн­штей­на!

Макс Абрагам при описании инертности джоулева тепла в релятивистской термо­дина­мике [1,п.35,с.155], осу­щест­вил пере­ход к реля­ти­вист­ско­му зако­ну дви­же­ния с пере­мен­ной мас­сой по­коя:

d(mU) = KAds,        dm = KAUds (2)

(формулы (294) и (295) [1]). Там же Паули напоминает о дискуссии по этому пово­ду меж­ду Абра­га­мом и Норд­стрё­мом и при­во­дит ссыл­ки на их пу­бли­ка­ции по этой теме. Веро­ятно, она и под­тол­кну­ла Норд­стрё­ма к со­зда­нию сво­его пер­вого вари­анта ска­ляр­ной тео­рии гра­вита­ции (1912), в кото­рой m зави­сит от ска­ляр­ного по­тен­циа­ла гра­вита­цион­ного поля.

Переход от закона Ньютона (mdv=Fdt) к релятивистскому (mdU=Kds) за­ко­ну дви­же­ния ис­поль­зует но­вые ло­ренц-инва­ри­ант­ные поня­тия вре­мени ds, 4-ско­рос­ти U

mdU := m(dl, d(lv)) = (Fv, F)dt (3)

и 4-силы Минковского (M-силы)

K := (kv, k) := (lFv, lF),    KU = 0. (4)

При этом справедливо уравнение смешанного (по трансформационным свойствам) типа

mldv = (F – (Fv)v)dt, (5)

давшее повод для не очень удачного определения, так называемой, релятивистской мас­сы ml. Урав­не­ние Абра­гама–Норд­стрё­ма (2) мо­жет быть запи­сано в фор­ме

mdU = (KA – (KAU)U)ds, (6)

напоминающей уравнение (5). AN-сила и масса покоя в моделях Абрагама и Нордстрёма име­ют оди­нако­вую струк­туру:

KA = KN = K + (0, gradm),      dm = – (gradm)vdt. (7)

Различаются они физической интерпретацией переменной составляющей в массе покоя. У Абра­гама – это ска­ляр­ное поле джоу­лева теп­ла, а у Норд­стрё­ма – ска­ляр­ное поле гра­вита­ции. Воз­ни­кает за­гад­ка. Поче­му век­тор­ное поле A, пред­став­лен­ное M-си­лой, не поро­жда­ет пере­мен­ной со­став­ляю­щей в m, то­гда как ска­ляр­ное поле дает как до­пол­ни­тель­ное сла­гае­мое в AN-силу, так и в мас­су по­коя? Поче­му ска­ляр­ное поле ло­рен­це­вой нор­мы AA век­тор­ного поля A не про­явля­ет себя в m, если тако­вым свойс­твом обла­дает до­пол­ни­тель­ное ска­ляр­ное поле?

Самое простое и красивое решение для субтоков уже подготовлено и лежит на по­верх­нос­ти.

Дополнительное скалярное поле тождественно равно скалярному полю ло­рен­це­вой нор­мы век­тор­ного поля Фара­дея–Макс­вел­ла.

Для модели Абрагама такое решение почти не достижимо. С моделью Нордстрёма – уже бли­же (теп­лее), если от­влечь­ся от её пер­вона­чаль­ной цели – опи­са­ния поля гра­вита­ции. Но в соот­ветст­вии с тези­сом Дира­ка (в его рас­ши­рен­ном про­чте­нии) – каж­дая Кра­си­вая мате­мати­чес­кая мо­дель (струк­тура) не­пре­мен­но рабо­тает на Миро­зда­ние и рано или позд­но нам бу­дет дано это уви­деть.

Выполнив подготовительную работу по поиску гигантов, на плечи которых можно под­нять­ся для луч­шего об­озре­ния от­кры­ваю­щей­ся пер­спек­тивы и средств до­сти­же­ния по­став­лен­ной цели, вер­нём­ся на не зара­стаю­щую тро­пу поле­вой про­грам­мы Фара­дея–Макс­вел­ла.

В K0, принятой ранее (5.2) для описания векторов Z-ки­нема­тики, то есть – в си­сте­ме по­коя цен­тра сим­мет­рии элек­тро­на, его поле заве­домо име­ет (в ка­либ­ров­ке Ло­рен­ца) сфе­ри­чес­ки сим­мет­рич­ную струк­туру: A=(φ(r),0). Под­ста­нов­кой век­то­ров Z-ки­нема­тики в урав­не­ние дви­же­ния бес­ко­неч­но мало­го «то­чеч­но­го» суб­заря­да δq:=±|δq|:

d(φ0U) = (±l(Ev, E) – (0, gradφ0))ds, (8)
E := – gradφ,     φ0 := |φ|,     ± := δq/|δq|, (8.0)

связанное с лагранжианом

Ll = – |δq|(φ0 ± φl) = – (|δq|φ0 + δqφl), (9)

убеждаемся в их справедливости в том случае, когда на скалярный потенциал поля элек­тро­на нало­жено усло­вие

rφ = –1. (10)

Для проверки могут быть полезны следующие соотношения Z-кинематики:

W = (t, r) – (0, l(rvt)/r),      lvr = tr. (11)

• Отсутствуют свободные параметры (эмпирические константы)!
• Константа неполевой массы тождественно равна нулю и её место в законе дви­же­ния на­сле­дует ин­вари­ант­ное ска­ляр­ное поле!
• В качестве условия совместности получено кулоново поле электрона с еди­нич­ным эф­фек­тив­ным заря­дом!
• Получено ровно два набора Z-движений искомых источников поля электрона, чис­ло кото­рых со­впа­дает с чис­лом зна­ков заря­да суб­то­ков!

Всё это – далеко не полный перечень удивительно красивых результатов, которые ле­жат на по­верх­нос­ти (в осно­ва­нии вери­фика­ции) на­рож­даю­щей­ся суб­кван­то­вой тео­рии поля.

Величина |δq|φ0 выполняет роль полевой массы по­коя бес­ко­неч­но мало­го «то­чеч­но­го» суб­заря­да δq при Z-дви­же­нии в куло­но­вом поле элек­тро­на φ. Это со­гла­сует­ся с со­хра­нени­ем 3-век­тора мо­мен­та им­пуль­са вдоль Z-пути

[δpr] = |δq|lφ0[vr] = (0, 0, |δq|o),    o = v0l0 = tgα, (12)

равного векторному произведению 3-импульса |δq|φ0u на r. Этот дина­ми­чес­кий инва­ри­ант, рав­но как и за­кон дви­же­ния, запи­сан в K0. Преж­де чем за­нять­ся их транс­фор­маци­онны­ми свойст­вами, сде­лаем от­ступ­ле­ние, имею­щее под­гото­ви­тель­ный ха­рак­тер.

Корнелиус Ланцош в [6,гл.IX,п.9,с.369] напоминает о существовании соответствия меж­ду кано­ни­чес­кими пре­обра­зова­ниями ана­лити­чес­кой меха­ники и пре­обра­зова­ниями Ло­рен­ца: – «Урав­не­ния (9.9.14) [дви­же­ния элек­тро­на

mdU = e(E,H)Uds ] (13)

допускают интересную геометрическую интерпретацию. В гл.VII,п.8, пока­зано, что дви­же­ние фазо­вой жид­кос­ти мож­но рас­смат­ри­вать как не­пре­рыв­ное вы­пол­не­ние бес­ко­неч­но ма­лых кано­ни­чес­ких пре­обра­зова­ний. Со­сре­дото­чим вни­ма­ние на век­торе ско­рос­ти U и запи­шем урав­не­ние (9.9.14) в виде

mU(s+δs) = mU(s) + e(E,H)(s)U(s)δs. (14)

Расписав подробно эти четыре уравнения, мы видим, что они полностью со­впа­дают с урав­нени­ями (9.4.58), зада­ющи­ми бес­ко­неч­но ма­лое пре­обра­зова­ние Ло­рен­ца. При этом элек­три­чес­кий век­тор Е игра­ет роль а, а маг­нит­ный век­тор Hроль b. Сле­дова­тель­но, дви­же­ние век­тора ско­рос­ти элек­тро­на во внеш­нем элек­тро­маг­нит­ном поле мож­но рас­смат­ри­вать как не­пре­рыв­ную по­сле­дова­тель­ность бес­ко­неч­но ма­лых пре­обра­зова­ний Ло­рен­ца, при­чём ком­по­нен­ты это­го пре­обра­зова­ния зада­ются элек­тро­маг­нит­ным тен­зо­ром (E,H)

Для H-движений функцию действия S можно записать в следующих формах:

DS = Ll = – (A ± AU) = (15.1)
          = – (B ± BW). (15.2)

Здесь A:=B – положительные значения квадратного корня из величин:

A2 = AA,    B2 = – BB. (15.3)

Дуальный к A вектор поля B задан условиями дуальности:

AA = – BB,    AB = 0 (15.4)

В первой строке (15.1) подготовлен субквантовый аналог принципа наименьшего дейст­вия; во вто­рой (15.2) – прин­ципа наи­мень­шего при­нуж­де­ния Гаус­са.

Появление дуальной пары векторов поля (A,B) вместо одного пред­опре­деле­но нали­чием соот­ветст­вую­щей сим­мет­рии пары фун­да­мен­таль­ных век­то­ров H-ки­нема­тики (U,W), опи­сыва­ющих дви­же­ние ис­точ­ни­ков поля. Эво­лю­цию пары век­то­ров (U(s),W(s)) (со­от­ветст­вен­но – (A(s),B(s))) вдоль H-пути мож­но опи­сать (ин­тер­пре­тиро­вать) как не­пре­рыв­ную по­сле­дова­тель­ность спе­ци­аль­ных (од­нопа­ра­мет­ри­чес­ких) пре­обра­зова­ний Ло­рен­ца L(0,s) или ги­пер­боли­чес­ких (ду­аль­ных) пово­ро­тов, дейст­вую­щих на про­из­воль­но вы­бран­ную «на­чаль­ную точ­ку» (U(0),W(0)) (со­от­ветст­вен­но – пару век­то­ров поля (A(0),B(0)) в этой «точ­ке») это­го H-пути.

В этой процедуре можно усмотреть аналогию с определением (порождением) токов сме­ще­ния при запи­си урав­не­ний поля Макс­вел­лом. Ре­зуль­та­том сим­мет­риза­ции опи­са­ния поля с по­мощью ду­аль­ной пары век­то­ров (A,B) ста­нет изме­не­ние (сим­мет­риза­ция) запи­си урав­не­ний поля и усло­вий его ка­либ­ров­ки. В урав­нени­ях поля поя­вят­ся до­пол­ни­тель­ные сла­гае­мые, кото­рые до сих пор пыта­лись ин­тер­пре­тиро­вать в тер­ми­нах «то­ков» маг­нит­ных моно­полей. Эта ес­тест­вен­ная сим­мет­риза­ция поля и его урав­не­ний стро­го необ­ходи­ма для при­веде­ния в соот­ветст­вие с ги­пер­боли­чес­кой (ду­аль­ной) сим­мет­рией H-ки­нема­тики дви­же­ния ис­точ­ни­ков поля. Сим­мет­рии урав­не­ний Макс­вел­ла дик­туют необ­ходи­мость до­пол­ни­тель­ной их сим­мет­риза­ции ради воз­мож­нос­ти кор­рект­ного опи­са­ния (су­щест­вова­ния) элек­тро­на в тео­рии поля!

 Последние изменения: 29 марта 2005EN Вернуться к оглавлению

Цитируемая литература:
1. Паули В. Теория относительности: пер. с англ. – 2-е изд. M.: «Наука», 1983
6. Ланцош К. Вариационные принципы механики. M.: «Мир», 1965
 
Основная страница – http://www.ltn.lv/~elefzaze/
html/php вёрстка: Александр А. Зазерский
©1998–2005  Александр С. Зазерский