7  Экспериментальные исследования в мире идей
как поиск средств для описания физической реальности

7.1  Эксперименты с теоремой Пифагора и оператором Лапласа

Обратимся в качестве объекта-идеи к теореме Пифагора. Её кажущаяся простота и элементарность не должны скрыть от нас того фундаментального значения, которое несёт в себе это столь привычное для нас открытие древних авторов. С помощью алгебраической символики её записывают в форме

где: a и b действительные числа как длины катетов прямоугольного треугольника, заданного тремя точками в евклидовом пространстве; c – длина гипотенузы этого треугольника. При её геометрическом доказательстве пользуются другой формой записи

где Ssq_k есть площадь квадрата, построенного на соответствующей стороне прямоугольного треугольника. Воспользуемся известным алгебраическим свойством равенства двух величин и умножим левую и правую части (2) на общий множитель 4π, в результате чего, получим новое равенство-теорему

где Ssp_k интерпретируем как площадь сферической поверхности радиуса k в трёхмерном евклидовом пространстве E₃. Равенство (3) может быть интерпретировано как теорема о соотношении площадей сферических поверхностей, построенных на сторонах прямоугольного треугольника как радиусах соответствующих сфер.

Равенства-теоремы (2) и (3), имеющие одинаковую алгебраическую структуру, существенно различаются своей геометрической интерпретацией. Действие теоремы (3), которую по-прежнему будем называть теоремой Пифагора и обозначать через P_sp, разворачивается в 3-пространстве Евклида Е₃. Для стандартной теоремы Пифагора P_sq в форме (2) и сопутствующей ей P₂, отображённой формулой (1), достаточно евклидовой плоскости Е₂, заданной тремя точками-вершинами прямоугольного треугольника.

Полагаю, нет необходимости останавливаться на доказательстве или разъяснении того бесспорного факта, что без безусловной справедливости теоремы Пифагора евклидово пространство вообще невозможно (немыслимо), будь то плоскость Е₂ или наше обычное пространство E₃. Сформулируем программное предположение о том, что евклидовость, трёхмерность и пифагоровость нашего пространства Е₃ тесно взаимосвязаны и опираются на фундаментальные, определяющие свойства и роль меры-площади Ssp в этом пространстве.

По видимому, впервые Кантом было замечено, что законы обратных квадратов для гравитационной и электрических сил связаны с 3-мерностью нашего пространства. Он писал: «Трёхмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют друг на друга таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния». [19,c.56] Эта новаторская мысль, видимо, впервые связывала свойства пространства с конкретным физическим законом. Не исключено, что читатель и сам, изучая физику, обращал внимание на, казалось бы, странные совпадения в ряде физических законов. [20,c.40]

Законы силового взаимодействия двух «точечных зарядов» могут быть записаны в единой форме

где: F^d₁₂ – величина ньютоновой силы d-взаимодействия двух зарядов q^d₁ и q^d₂; Ssp₁₂ – площадь сферической поверхности с центром в точке расположения одного из d-зарядов, оказывающего силовое воздействие на другой d-заряд, лежащий на этой сферической поверхности с площадью Ssp₁₂. Для закона тяготения Ньютона d-зарядом служит масса тела; для закона Кулона в электростатике – обычный электрический заряд; в магнитостатике – магнитный заряд. Соответствующие мировые константы d-взаимодействий в явном виде в законе (4) отсутствуют, равно как и числовой универсальный множитель, поскольку они могут быть внесены непосредственно в определение единицы измерения d-заряда – q^d.

Всё это следствие 3-мерности нашего пространства. Этот результат легко вывести из 3-мерных уравнений Лапласа для потенциалов соответствующих полей. [20,c.41]

Например, теорема Пифагора и закон всемирного тяготения Ньютона взаимосвязаны, поскольку они оба подчиняются одному и тому же фундаментальному физическому понятию – потенциалу. Но для каждого, кто знаком с теорией гравитации Эйнштейна, не подлежит сомнению, что оба эти закона, столь различные внешне и считавшиеся ранее столь далёкими, один из которых стал известен ещё в древности и был одной из первых теорем, изучаемых в школе, а другой описывает взаимодействие масс, не только однотипны по своей природе, но и являются лишь частью одного и того же общего закона.

Вряд ли можно привести более поразительный пример принципиальной однотипности геометрических и физических факторов. [31]

Основная страница – http://www.ltn.lv/~elefzaze/ html/php вёрстка: Александр А. Зазерский ©1998–2004  Александр С. Зазерский