BAB 3 PENGGUNAAN PEMBEZAAN

BAB 3 PENGGUNAAN PEMBEZAAN

3.1 NILAI HAMPIRAN DAN RALAT

Diberi

                                                                                    (3.1)

 

Perhatikan bahawa  tidak sekali-kali sama dengan f¢(x), tetapi apabila dx cukup kecil, nilai bagi merupakan penghampiran bagi f¢(x), dan ditulis sebagai

                                                                                                      

atau

                                                                                       (3.2)

atau

                                                                                                       (3.3)

 

dengan df (x)= f (x+dx) - f (x)

 

Rumus (3.2) dan (3.3) boleh digunakan untuk mencari nilai hampiran f (x+dx) dengan menggunakan nilai tepat f (x), f¢ (x) dan dx iaitu tokokan kecil f (x) yang dihasilkan daripada tokokan kecil x.

  Contoh

3.2 KADAR PERUBAHAN

Jika y suatu fungsi x, maka merupakan kadar perubahan y terhadap x. Sebagai contoh jika r mewakili jejari dalam meter dan t mewakili masa dalam saat, r ialah fungsi t, maka  mewakili kadar perubahan jejari terhadap masa.

 

Nilai  yang positif mewakili kadar perubahan menokok bagi y terhadap x manakala nilai  yang negatif mewakili kadar perubahan menyusut bagi y terhadap x.

 

3.2.1 Kadar Perubahan Malar

Misalkan jejari r sm bagi sebuah bulatan pada masa t saat diberi oleh r = 12 - 2t, dengan 0 £ t £ 6. Oleh itu kadar perubahan r terhadap t,  = - 2 iaitu suatu nilai malar.  = - 2  ini dikenali juga sebagai kadar perubahan malar. Ini bermakna untuk sebarang nilai t, 0 £ t £ 6,  adalah tetap sama. Seterusnya untuk kadar perubahan malar,

                                               

 

3.2.2 Kadar Perubahan Terkait

Jika udara diisikan ke dalam sebuah belon berbentuk sfera, jejari belon tersebut akan menokok. Semakin udara diisi, semakin besarlah belon itu dan semakin menokoklah jejarinya. Seterusnya isipadu belon V juga menokok. Jejari  dan isipadu belon ini menokok pada kadar yang tertentu dan kadar perubahan ini pada masa t masing-masing ialah  dan . Rumus isipadu sfera pula boleh ditulis sebagai .

 

Rumus ini menunjukkan terdapat kaitan antara jejari dengan isipadu. Seterusnya pasti wujud kaitan antara kadar perubahan jejari terhadap masa,  dengan kadar perubahan isipadu terhadap masa . Masalah yang melibatkan kadar perubahan beberapa kuantiti yang berkaitan ini dinamakan masalah kadar perubahan terkait. Pada amnya masalah-masalah mengenai kadar perubahan yang melibatkan masa sebagai satu pembolehubah boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah pembezaan fungsi gubahan iaitu

                                               

  Contoh

3.3 GERAKAN PADA SUATU GARIS LURUS

Apabila sebutir zarah bergerak maka kedudukannya akan berubah. Ini bererti zarah beranjak dari kedudukan asal dan akan melibatkan jarak dan arah. Arah bagi gerakan di sepanjang paksi-x positif ditandakan positif, manakala di sepanjang paksi-x negatif ditandakan negaif. Oleh itu anjakan merupakan suatu kuantiti vektor dengan jarak diukur dari suatu titik atau asalan. Ketika zarah bergerak di sepanjang paksi-x, jika anjakan x ditentukan pada setiap ketika bagi masa t, maka anjakan ini dapat dituliskan sebagai suatu fungsi yang boleh dibezakan terhadap masa,

                                                x = x(t)       dengan t = 0

 

halaju, v bagi sebutir zarah ialah kadar perubahan anjakan x(t) terhadap masa, oleh itu halaju merupakan terbitan pertama bagi anjakanterhadap masa t, iaitu

                                               

 

halaju seketika ialah halaju zarah pada sebarang ketika bagi masa, dan tanda (positif atau negatif) bagi halaju ini menunjukkan arah untuk gerakan di sepanjang suatu garis lurus. Gerakan ke kanan adalah positif dan ke kiri adalah negatif.

 

Apabila halaju bagi sebuah jasad yang bergerak dalam magnitud atau arah atau kedua-duanya, jasad itu dikatakan memecut. Pecutan bagi sebutir zarah ialah kadar perubahan halaju v terhadap masa t dan ditulis sebagai

                                               

 

oleh itu pecutan merupakan terbitan kedua bagi anjakan terhadap masa t, iaitu

                                               

  Contoh

3.4 KECERUNAN LENGKUNG PADA SUATU TITIK

Kecerunan lengkung di sebarang titik ditakrifkan sebagai kecerunan garis tangen pada lengkung di titik tersebut. Kecerunan garis tangen pada lengkung berubah dan dan boleh diperoleh dengan menggantikan koordinat titik itu ke dalam dy/dx.

 

3.4.1 Persamaan Garis Tangen Pada Lengkung

Persamaan garis tangen pada suatu lengkung y = f (x) di sebarang titik P ditakrifkan sebagai persamaan garis lurus PA yang hanya menyentuh lengkung di titik P. Untuk mendapatkan persamaan garis tangen pada lengkung di titik P, perlu dicari kecerunan bagi gairs tangen pada lengkung di titik tersebut.

 

3.4.2 Persamaan Garis Normal Pada Lengkung

persamaan garis normal pada suatu lengkung y = f(x) di sebarang titik P ditakrifkan sebagai persamaan garis lurus PB yang berserenjang dengan persamaan garis tangen PA. Jika kecerunan garis tangen pada lengkung y = f(x) ialah m, maka kecerunan garis normal ialah .

  Contoh

3.5 MAKSIMUM DAN MINIMUM

Andaikan y = f(x) ialah fungsi yang selanjar dan boleh dibezakan pada selang terbuka

a < x < b

            Jika f’(x) > 0, maka y = f(x) menokok pada selang a < x < b

            Jika f’(x) < 0, maka y = f(x) meyusut pada selang a < x

Apabila suatu fungsi menokok pada suatu selang , maka garis tangen kepada graf mempunyai kecerunan positif di mana-mana pada selang itu. Seterusnya, apabila fungsi menyusut pada suatu selang, maka garis tangen kapada kepada graf mempunyai kecerunan negatif di mana-mana pada selang itu. Terdapat kemungkinan suatu fungsi menokok pada selang dalam domainnya dan menyusut pada satu selang yang lain.

TAKRIF 3.1 (Titik Genting)

Titik [c , f(c) ] pada suatu fungsi f(x) dikatakan titik genting jiak berlaku f’(c) = 0 atau

f’(c) tidak wujud.

 

Perlu diketahui bahawa jika f’ (x) ialah fungsi kuadratik atau peringkat lebih tinggi, maka ada kemungkinan terdapat lebih daripada satu nilai genting.

UJIAN TERBITAN PERTAMA

Misalkan y = f(x) merupakan lengkung yang diberi.

1.         f’(x) = 0 atau tidak wujud, x ialah titik genting.

2.         titik genting ialah titik maksimum jika f’(x) berubah tanda dari pada positif kepada  negatif ketika x menokok melalui titik genting. Bentuk lengkung adalah cembung.

3.         titik genting ialah titik minimum jika f’(x) berubah tanda daripada negatif kepada positif ketika x menyusut melalui titik genting. Bentuk lengkung adalah cekung.

 

TAKRIF 3.2 (Nilai Maksimum-Minimum Mutlak)

Nilai Maksimum mutlak bagi suatu fungsi ialah titik di mana nilai terbesar bagi fungsi dicapai untuk seruluh domain fungsi tersebut. Sebaliknya nilai minimum mutlak bagi suatu fungsi ialah titik di mana nilai terkecil bagi fungsi dicapai untuk seluruh domain fungsi tersebut.

UJIAN TERBITAN KEDUA

Katakan lengkung y = f(x) mempunyai nilai genting di x = x0.

1.         jika f”(x0) < 0, graf berbentuk cembung dan f(x) mempunyai nilai maksimum di x = x0.

2.         jika f”(x0) > 0, graf  berbentuk cekung dan f(x) mempunyai nilai minimum di x = x0.

3.         jika f”(x0) = 0, atau tidak wujud, ujian terbitan kedua gagal dan ujian terbitan pertama mesti digunakan untk menentukan sifat graf di x = x0.

 

TAKRIF 3.4 (Titik Lengkok Balas)

Titik yang memisahkan bahagian cembung dengan bahagian cekung bagi suatu lengkung selanjar disebut titik lengkok balas.

 

TEOREM 3.1 (Titik Lengkok Balas Dan Perubahan Tanda f” (x0) )

Misalkan suatu lengkung ditakrifkan sebagai y = f(x). Jika f”(x0) = 0 atau f”(x0) tidak wujud dan jika terbitan f”(x) berubah tanda ketika melalui x = x0, maka titik (x0 , f(x0)) pada lengkung merupakan titik lengkok balas.

    Contoh

3.5.1 Nilai Maksimum Dan Minimum Dalam Suatu Selang

Didapati bahawa f(x) mempunyai nilai maksimum setempat dan nilai minimum setempat masing-masing di P dan Q iaitu nilai maksimum atau minimum di kejiranan titik-titik berkenaan sahaja. Ketika x menyusut dari P, nilai f(x) akan menjadi lebih kecil daripada nilai di Q. Sebaliknya ketika x menokokdari Q, nilai f(x) menjadi semakin besar daripada nilai di P. Tanpa mengetahui bentuk keseluruhan graf, kedudukan titik maksimum atau minimum mutlak tidak dapat ditentukan. Namun begitu dengan menghadkan domain boleh ditentukan titik maksimum ataupun minimum mutlak tersebut.

 

3.5.2 Penggunaan Maksimum Dan Minimum Mutlak

Teori maksimum dan minimum boleh digunakan dalam menentukan penyelesaian bagi masalah dalam geometri, mekanik , fizik, industri, kejuruteraan, dan sebagainya.

 

3.6 PETUA L’HOSPITAL

Daripada teorem had diketahui bahawa

                                               

dengan syarat . Jika

                                   

maka teorem had tidak boleh digunakan. Akan tetapi, had mungkin wujud bagi kes ini. Oleh itu akan dipertimbangkan kes-kes yang had wujud.

Bentuk-bentuk tak tentu yang mungkin bagi  ialah

a)      , apabila dan

b)      , apabila       i)     dan

ii) dan

 

Had bagi bentuk-bentuk tak tentu inilah yang akan dikaji dalam bahagian ini. Pengiraan had akan dilakukan dengan penggunaan Petua L’Hospital. Petua ini telah ditemukan oleh John Bernoulli untuk mengira had-had bagi pecahan yang mempunyai penyebut dan pembilang yang menghampiri sifar. Namun demikian, orang yang pertama memperkenalkan petua itu dalam sebuah buku kalkulus ialah seorang ahli matematik Perancis, Guillaume Francois Antoine De L’Hospital.

TAKRIF 3.5 (Petau L’Hospital)

Andaikan f(x) dan g(x) ialah fungsi yang boleh dibezakan dalam selang (a,b) yang mengandungi c kecuali (mungkin) pada titik c sendiri. Jika  mempunyai bentuk tak tentu atau pada c dan jika g’(x) ¹ 0 untuk x ¹ 0, maka

                                               

dengan syarat

                                                wujud     atau    

 

Contoh

  TUGASAN BKU KUiTTHO 2001. BVP. CHEE JUN WIE,   KOK JIAN LING,   LEE KOON MING

 

1