UNIVERSIDAD YACAMBU
METODOLOGIA PARA LA TOMA DE DECISIONES
Programación Lineal
Ing. César Bermúdez
En nuestro medio muchas cosas se piensan de la Programación Lineal. Para muchos es una parte integral de las matemáticas que debe ser estudiada por los alumnos pero sin que encuentren aplicación alguna en el mundo real; para otros simplemente es una forma de aplicar modelos de optimización para empresas netamente productivas y para otras personas es un tema que solo interesa a los ingenieros de sistemas y matemáticos.
Sin embargo, la Investigación de operaciones o “Science managment”, conocida en nuestro medio como la Programación Lineal e Investigación Operativa ha evolucionado en su aplicación en los últimos años, pero aún no nos hemos dado cuenta de ello y eso hace que este tema no cobre la importancia que realmente merece.
De esta forma la importancia de la Programación Lineal no solo radica en el procedimiento matemático, sino en la herramienta financiera que sirve de soporte para la toma de decisiones en cualquier organización.
Adicionalmente, vale la pena resaltar que, para el Administrador de Empresas, el Economista, el contador, el Gerente, el financiero, y para el empresario en general, es vital manejar adecuadamente esta herramienta que es aplicable a todas las áreas que componen una organización empresarial y que permiten la asignación eficiente de los recursos, además de la ayuda que presta para globalizar la información.
La Programación Lineal busca la asignación eficiente de los recursos asignados, que permite maximizar las utilidades y minimizar los costos.
Por lo tanto, Programación Lineal comprende la planificación de actividades, es decir un resultado que alcance la meta en la mejor forma teniendo en cuenta las restricciones propias de cada actividad.
En definitiva, se llama Programación Lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente: optimizar (maximizar ó minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables sujeta a una serie de restricciones, expresada por inecuaciones lineales.
Programación Lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible.
La mejor manera de usar los recursos escasos se logra utilizando un modelo del sistema llamado Modelo de Programación Lineal.
El Modelo de Programación Lineal es un modelo matemático con variables de decisión,
coeficientes y/o parámetros, restricciones y una Función Objetivo.
Es determinístico porque todos los datos relevantes utilizados, son conocidos. Es lineal porque las restricciones y el objetivo son funciones lineales. La contribución de cada variable al valor total del objetivo y al lado derecho de cada restricción es proporcional al valor de la variable. Es aditivo porque los términos de sus restricciones y objetivo pueden sumarse (o restarse). La contribución de cada variable es independiente del valor de las otras variables. Es divisible porque las variables de decisión pueden aceptar valores fraccionales. En caso de no aceptar valores fraccionales, sería preferible usar Programación Lineal Entera.
La Formulación y Construcción del Modelo Lineal implica: a) Definir claramente las variables de decisión y expresarlas simbólicamente o convencionalmente. b) Definir claramente la Función Objetivo y las restricciones y expresarlas matemáticamente como funciones lineales.
Debe cuidarse que los elementos componentes del modelo sean expresados para el mismo
período de tiempo.
Se debe estipular que las variables de decisión sean mayores o iguales a cero. Esto acerca el
modelo a la realidad. En los programas de computadora para resolver modelos lineales, ya está incluida esta condición y no hace falta incorporarla manualmente.
La Función Objetivo del Modelo Lineal es la formulación matemática de una meta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda. Es una función lineal a ser maximizada o minimizada y tiene la siguiente forma general:
Optimizar
C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 +...................+ CnXn
Xj, simboliza matemáticamente a las variables de decisión. Son los valores numéricos que se determinan con la solución del modelo y representan o están relacionadas con una actividad o acción a tomar. Son los únicos valores desconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier cantidad, desde 1 hasta n variables. Es decir, j varía desde 1 hasta n.
Cj, matemáticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la Función Objetivo. Son
datos relevantes, insumos incontrolables ya conocidos. En la Función Objetivo representan la cantidad con la cual contribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el objetivo.
Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funciones lineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor de las variables de decisión a valores
permisibles. Representan recursos, condiciones o requerimientos establecidos. Las restricciones del Modelo Lineal general tienen la forma siguiente:
a11 X1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + a14 X 4 + .................. + a1n Xn ³ £ = b1
a21 X1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + a24 X 4 + .................. + a2n Xn ³ £ = b2
a31 X1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 + a34 X 4 + .................. + a3n Xn ³ £ = b3
. . . . . .
. . . . . .
am1 X1 + a m2 X 2 + a m3 X 3 + am4 X 4 +...............+ amn Xn ³ £ = bm
aij, matemáticamente simboliza el coeficiente, en la restricción i, de las variable j.
El subíndice i indica el recurso, requerimiento o condición cuya limitación se está expresando; j indica la variable correspondiente.
Cuando la limitación es de un recurso i, estos coeficientes representan la cantidad del recurso total limitado i, que es utilizada en cada unidad de la variable j. Cuando la limitación es de un requerimiento o condición i, representan la cantidad del requerimiento o condición ilimitada, que aporta cada unidad de la variable j, al requerimiento o condición total establecida. Son, por ello, valores unitarios, al igual que los coeficientes de las variables en la Función Objetivo.
bi, matemáticamente constituye el lado derecho de la restricción i. Representa la cantidad total disponible del recurso limitado i, o la cantidad total de un requerimiento o condición i establecida. Puede existir cualquier cantidad de restricciones por lo tanto i puede variar desde 1 hasta m.
Xj ³ 0 es una restricción de no negatividad de las j variables, la cual se le considera siempre
presente como una condición natural en el Modelo Lineal General.
Método de Resolución de Problemas.
EJEMPLO.
Aplicaciones de la Programación Lineal utilizando Excel
Página en la cual se describe la Programación Lineal y un ejemplo usando una hoja de cálculo de Excel.
Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, Bolívares 700, cada unidad; B, Bolívares 3.500; C, Bolívares 7.000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima.
Con base en la teoría señalada en el aparte 5, sección A; para formular y construir el modelo, se tiene lo siguiente:
a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente. En la computadora y dependiendo del programa que utilice, dispondrá de un mayor espacio diseñado para escritura que puede utilizar para nombrarlas convencionalmente.
X1: unidades a producir de producto A
X2: unidades a producir de producto B Estos son insumos controlables
X3: unidades a producir de producto C
b)Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal.
Objetivo: Maximizar ingresos de venta
10 Max 700 Bs. X1 Unid de A + 3.500 X2 + 7.000 X3 Unid de A
Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades físicas uno de sus términos. Este término presenta la información específica de lo que contiene y permite confirmar la esencia física de lo que se está sumando y también que ello es consecuente con lo que se está obteniendo en el total de la ecuación; en este caso, ingreso en Bolívares.
c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales.
Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo.
1 hora de trabajo X1(unid. de producto A) + 2 X2 + 3 X3 100 horas de trabajo
Unidad de A
Restricción 2: Horas de acabado disponibles en este período:
2X1 + 3 hora de acabado X2 (unid. de producto B) + 1 X3 200 horas de acabado
Unidad de B
Restricción 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima:
3X1 + 2.5 X2 + 4 unid. de Materia prima X3 (unid. de producto B) 600 Unidades de Materia prima
Unidad de B
De esta forma las restricciones están expresadas en unidades físicas. Se destaca en cada una de ellas alguno de sus términos, con indicación de lo que representa. Esto confirma que lo que se está sumando es consecuente con lo que se está obteniendo del lado derecho de la ecuación. Finalmente, incorporando la restricción de no-negatividad de las variables de decisión, se resume así el modelo:
Max 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3
Sujeto a:
1X1 + 2 X2 + 3 X3 <=100
2X1 + 3 X2 + 1 X3 <=200
3X1 + 2.5 X2 + 4 X3 <=600
X1, X2, X3 > 0
Infografía
Aplicaciones de la Programación Lineal
Artículo en donde se describe el Proceso de la Toma de Desiciones. Entre los punto tratados se contempla el tiempo.
Que es la Programación Lineal
Artículo que se refiere a la Toma de Decisiones en el ambito personal.
Programación Lineal
Artículo en el cual se explica a detalle la programación lineal.
Programación Lineal
Artículo en el cual se explica la programación lineal de manera básica y una serie de conceptos.
Investigación de Operaciones en Acción
Artículo en el cual se resume uno de los problemas más famosos de optimización.
Programación Lineal Bidimensional
Página en la cual se describe la programación lineal de manera gráfica.