doDK un pasaje al mundo de las matemáticas

 

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El reto de Aquiles

(relato)

por Paulino Valderas

Se fue disipando la niebla, y el intrépido guerrero pudo contemplar por fin el lugar donde se encontraba. Con absoluta serenidad dirigió su mirada hacia los sabios ancianos, mientras estos no dejaban de manifestar la sorpresa en sus rostros. Aquiles apretó la lanza, sopesó el enorme escudo y sacudió suavemente el pesado casco. No había ningún guerrero enemigo a la vista, ninguna batalla lo rodeaba, no había señales de armas o de ejército.

Con esa capacidad que siempre había tenido, el poderoso Aquiles hizo conciencia con rapidez de dónde se encontraba. Un gran espacio llano, con el suelo seco, sin vegetación, y más allá las primeras casas de la gran ciudad, Atenas. Su tamaño había aumentado enormemente desde la última vez que la había visto y sobre la colina podía divisar un magnífico templo y una gigantesca estatua de Atenea, pero era capaz de reconocer la ciudad, no por la imagen que conservaba en la memoria, sino por una certeza intuitiva. Era el inicio de la primavera y se acercaba la hora del mediodía. Observó con más detenimiento a los nueve ancianos. También había un joven, y a su lado, en el suelo... una tortuga.

Agarró con firmeza la lanza, le dio la vuelta, y con un golpe súbito la clavó en el suelo, a su lado. El asta permaneció vibrando unos momentos. Dejó el escudo apoyado en la lanza y se quitó el casco, sosteniéndolo en su mano izquierda, junto a su corazón. Luego volvió a dirigir una mirada fiera e interrogante a los que le rodeaban.

El más anciano de todos, aquél cuya barba llegaba casi al vientre, se acercó con respeto y una sombra de temor en los ojos, y empezó a hablar, diciendo:

-Bienvenido entre nosotros, oh Aquiles, hijo de Peleo, y permite que me presente. Mi nombre es Parménides y soy natural de Elea. Si te encuentras aquí, ha sido gracias a las artes mágicas de nuestra compañera, la sacerdotisa Tesonia, que sirve devotamente en el templo de la Diosa Perséfone. Se nos ha permitido convocarte durante una hora en el mundo de los vivos para que nos resuelvas una cuestión de vital importancia para nuestro pensamiento.

-Antes de que prosigas, anciano -respondió Aquiles-, te ruego me digas en qué época me hallo, porque el lugar lo conozco, y veo, si no me engañan mis ojos, que nos encontramos junto a la ciudad de Atenas. Y también te ruego que me digas prontamente el motivo de mi convocatoria, por qué he tenido que abandonar los Campos Elíseos y el Reino de Hades, en el que me encontraba desde aquel lejano día en el que la bien dirigida flecha del troyano Paris atravesó mi talón. Porque yo siempre fui un guerrero, pero no veo señales de batalla, ni ejército, y sospecho que no me necesitáis para que os ayude y os dé la victoria frente a algún odiado enemigo.

-Estás en lo cierto, glorioso Aquiles, ya que gracias a la misericordia de los Dioses estamos ahora en paz con el resto de las ciudades griegas, y solo soportamos la amenaza del imperio de los persas, y hasta ahora hemos salido victoriosos en las batallas que nos han enfrentado. Han pasado casi mil años desde que fueron destruidos los poderosos muros de Troya, y el motivo que nos ha movido a llamar tu presencia se debe únicamente a una duda planteada por mi discípulo, compañero y compatriota Zenón, duda que conmueve todo nuestro pensamiento y nos hace tambalear en la comprensión del mundo que nos rodea. Tanta ha sido la polémica que Zenón ha causado entre los hombres más sabios de toda Grecia, que reuniéndonos aquí en la que ahora es la ciudad más importante de todas, faro de la cultura y el saber, hemos decidido resolver la cuestión, sea como sea. Y el problema que Zenón nos ha planteado te lo declarará él mismo, si así lo decide, porque todos estamos de acuerdo en que es osado en extremo, no sólo en sus razonamientos, sino en exigir la convocatoria de un guerrero mítico como tú, para que abandones la morada del otro mundo y compartas unos momentos con nosotros de regreso al mundo de los vivos.

En esto, Parménides se volvió y miró fijamente a uno de los hombres que permanecían apartados y en silencio. Este hombre de mediana edad y cabellos oscuros era Zenón de Elea, quien con la cara demudada y el paso vacilante, se acercó a Aquiles ante la expectación de los ancianos.

-En verdad he de confesar -dijo con voz temblorosa- que me ha abandonado gran parte del ánimo desafiante que tenía hasta estos momentos, y delante de la impresionante figura del guerrero más poderoso de cuantos han existido siento cómo me flaquean las piernas y toda la seguridad de la que antes gozaba se ha derretido como la escarcha bajo los rayos del sol.

-Tú que te llamas Zenón -exclamó Aquiles con voz severa y bronca-, te invito a que hables pronto y te expliques, y no me hagas perder más tiempo, porque es muy costoso hacerme venir desde las estancias de los muertos, y estas cosas no han de tomarse a la ligera. Y aún más, porque si no lo haces, corres el riesgo de hacerme estallar en cólera, y recuerda que la cólera de Aquiles fue de gran perjuicio para los griegos ante las murallas de la capital troyana, y muy mal les hubiera ido si no fuera por la muerte de mi amigo Patroclo, que me hizo buscar venganza en el insigne Héctor, el de mirada fiera. Así que, ¡habla! y lo que tenga que ser se hará.

-Superando mi temor y mi vergüenza, te explicaré mis afirmaciones, oh Aquiles de poderosos brazos -contestó Zenón-. Mi pensamiento es éste: que no existe el movimiento, y que todo lo que nos parece movimiento no es más que una ilusión. Me atrevo a afirmar que nada se mueve, aunque nos parezca lo contrario, porque puedo razonar que el movimiento es de todo punto imposible. Y cuando me presenté ante la asamblea de los sabios aquí en la capital ateniense, tuve el atrevimiento de afirmar que si se hiciera una competición entre el corredor más veloz de toda Grecia y una tortuga, si a la tortuga se le daba una ventaja inicial, entonces el corredor no podría alcanzarla nunca. Y la demostración lógica con la que apoyé mis afirmaciones fue la siguiente: supongamos que la tortuga camina a una velocidad diez veces inferior a la del corredor. Si al corredor se le coloca cien pasos detrás de la tortuga, para alcanzarla ha de atravesar esos cien pasos, pero en el tiempo en que lo hace, la tortuga ha avanzado diez pasos, y se encuentra todavía delante del corredor. Y cuando el corredor avanza esos diez pasos que aún le faltan, la tortuga ha avanzado un paso, y el corredor todavía no la puede alcanzar. Y cuando el corredor avanza el paso que le falta, la tortuga avanza un décimo de paso y aún se encuentra delante, y así sucesivamente. Ya que cuando el corredor atraviesa la distancia que le separa de la tortuga ésta aprovecha para avanzar, nunca va a poder alcanzarla, jamás lo logrará, porque antes tiene que atravesar un sinnúmero de etapas, infinitas, siempre detrás del animal, y por ser las etapas infinitas, por mucho que quiera, no logrará cubrirlas todas.

Por unos momentos Aquiles pareció perplejo, porque seguía con atención el razonamiento que le explicaban, y tras una pausa siguió diciendo Zenón:

-Tanta ha sido la polémica que se ha creado por lo que yo afirmaba, que los hombres sabios me han vituperado y desafiado, y en el acaloramiento de la discusión me atreví a afirmar que si a la tortuga se le daba ventaja ni el mismo Aquiles sería capaz de alcanzarla, porque es fama desde tiempos inmemoriales que tú fuiste el corredor más rápido además del mejor guerrero. Y tanto se porfió y tanto debatimos que al final nos pusimos de acuerdo en hacer la prueba y que tenía que ser el mismísimo Aquiles el que la realizara. Y así te hemos convocado para que aparezcas, glorioso hijo de Peleo, con la ayuda de Tesonia, mujer sabia y sacerdotisa de lo oculto, aquí presente.

Al decir esto, una mujer anciana vestida de oscuro agachó la cabeza como saludo al temible guerrero.

Un silencio tenso recorrió a todos cuando observaron la expresión de aquél que había regresado de entre los muertos. En su rostro se iba reflejando una ira creciente, y Parménides y Zenón, casi sin darse cuenta, dieron unos pasos atrás. Pero como cuando una nube negra y espesa se va desplazando y detrás de ella aparece el disco solar, la cara de Aquiles se fue distendiendo hasta mostrar una expresión de humor.

-¡Qué osado eres, oh, Zenón! -dijo con fuerza, reprimiendo la risa- Por lo que he entendido, me has traído aquí tan solo para que participe en una carrera, en una carrera con una tortuga. Osado, sí, osado como todos los hombres de esta época, que ya se están atreviendo a dudar hasta de la misma existencia de los Dioses. Has tenido suerte, porque la idea me ha hecho gracia, y he comprendido tu razonamiento. Acepto el reto. Correré la prueba, aunque solo sea por volver a sentir los músculos y los huesos moviéndose con libertad y con fuerza para desplazarme sobre el duro suelo del mundo de los vivos.

Todos los presentes respiraron tranquilos y se sonrieron mientras Aquiles depositaba en el suelo su casco y se acercaba a la tortuga y al joven que se encontraba a su lado. Le preguntó cómo se llamaba, y el joven le respondió que era Sócrates de Atenas.

-Bien, joven Sócrates -le dijo Aquiles-. Ayúdame a desatarme la coraza y las grebas, para que así, desprovisto del pesado bronce pueda correr más desembarazado y sea capaz de dar alcance a esa escurridiza tortuga de la que habla Zenón, pues por lo que hemos oído más que tortuga parece veloz leopardo o águila que se deja caer desde altos riscos, con velocidad infinita, para atrapar inexorablemente a su presa. No hemos de dar ventaja a tan endiablado animal, y aún es más, y es que podría ser que en el tiempo que llevo en los Campos Elíseos en compañía de mi amada Briseida puede que las tortugas hayan aprendido a correr como gacelas y me lleve una sorpresa y sea derrotado donde más segura creo tener la victoria.

Mucho se rió Sócrates mientras ayudaba a Aquiles, y cuando terminó fue él mismo el que se encargó de contar los cien pasos, llevando a la tranquila tortuga en brazos a través de la explanada, y la colocó suavemente en el suelo, y el héroe, vestido tan solo con una túnica corta y unas sandalias, efectuaba unos ejercicios de calentamiento. Mientras tanto, algunos ancianos, entre ellos Parménides y Zenón, caminaron hasta el final de la explanada, para contemplar de cerca la llegada de Aquiles.

Cuando todo estuvo preparado, se dio la señal de salida, y Aquiles partió como un rayo. Jamás antes se había visto correr tan rápido a un atleta, y jamás se volvería a ver. Sus pies parecían no tocar el suelo y apenas levantaban polvo. En ese mismo momento Sócrates liberó al quelonio y lo azuzó, animándole con gestos y gritos, y parecía que el animal lo entendía, porque desarrollando una velocidad inesperada comenzó a caminar a buen paso, casi a la velocidad a la que van los hombres y las mujeres cuando pasean por los jardines. Pero era evidente que en breves momentos Aquiles le iba a dar alcance, pues se acercaba con sus grandes zancadas a toda velocidad. En un instante el guerrero alcanzó al animal y pasó como una exhalación junto a él, dejándolo atrás, mientras Sócrates se entretenía en señalar el sitio justo en donde se había producido el adelantamiento.

El hijo de Peleo y Tetis disminuyó su carrera hasta pararse, y respirando con fuerza, se deleitó unos momentos en el esfuerzo, porque era una grata sensación volver a sentir los latidos del corazón y el fresco aire entrando en los pulmones. Los sabios se acercaron, y esperaron a que se recuperara de la carrera.

-Decidme qué os ha parecido, atenienses -exclamó Aquiles recuperando el aliento-, y si es verdad que he podido superar a la tortuga en mi carrera o no pude alcanzarla por culpa de la ventaja que le di inicialmente.

En esto se acercó Sócrates, portando en sus brazos al tranquilo animal, y se apresuró a contestarle al vencedor de Héctor:

-Por todos los Dioses, que ha quedado claro cómo sí es posible el movimiento y cómo Aquiles adelanta a la tortuga, porque yo mismo estaba en el lugar justo donde se produjo el adelantamiento, y lo he señalado con precisión. Y puedo decir que está a ciento once pasos y un poco más de la salida.

Y a las palabras que pronunció el joven Sócrates todos los ancianos dieron su aprobación. Después Parménides dijo:

-Gracias te damos, oh Peleida, de la demostración práctica que nos has hecho, y que derrumba los razonamientos de Zenón, porque hemos podido comprobar todos que no has tenido dificultad en superar a la tortuga, como ya sospechábamos, aunque no hemos logrado todavía vencer a Zenón con ayuda de razonamientos lógicos.

-Déjame decirte, anciano, que el aquí presente, Zenón, hace un razonamiento correcto -dijo Aquiles-. Su razonamiento es correcto, pero incompleto. Con la capacidad que me da el pertenecer a un mundo que ya no está regido por las leyes del tiempo, puedo predeciros que esto que aquí hemos demostrado será recordado en tiempos venideros, y que llegarán otros sabios capaces de completar el razonamiento de Zenón y de llegar a donde vosotros ahora no podéis. Porque de la misma forma que Aquiles ha sido capaz de alcanzar a la tortuga en la realidad, corriendo con ella, también será Aquiles capaz de alcanzarla en el mundo de la lógica, cuando llegue el momento.

En esto intervino Zenón, y dijo:

-Glorioso Aquiles, acepto la carrera que has realizado, y tu triunfo, pero no por eso dejo de pensar que tiene que haber algo de verdad en todo lo que he razonado, y permíteme que siga siendo osado y te pregunte directamente, ya que vienes de un lugar en el que reinan otras leyes y en donde lo pasado y lo futuro se entremezclan, cuál es el fallo de mi razonamiento, o, si hay algo de verdad en pensar que el movimiento es ilusorio.

-No es mi cometido entrar en el mundo del pensamiento lógico. Fui convocado por ser el mejor corredor de la historia de Grecia, y he corrido para vosotros. Y en cuanto a la ilusión, no sólo el movimiento es ilusorio, sino todo este mundo lo es, y lo que aquí os parece verdadero con toda certeza, muchas veces no lo es, y el ser humano a menudo se deja engañar por sus sentidos y por su lógica. Por eso os digo, a vosotros ancianos, que el mundo de la lógica tiene sus límites. ¿Y qué, si no, es más ilógico que sacar a un héroe del mundo de los muertos para traerlo aquí al mundo de los vivos? Pero siento que mi tiempo se acaba y he de regresarme.

Aquiles caminó acompañado por los sabios hasta donde había dejado su armadura, y de nuevo con la ayuda de Sócrates, se la colocó.

-Debo confesaros, atenienses -dijo el Peleida mirándolos a todos-, que me ha gustado estar entre vosotros, aunque solo sea por unos instantes.

Luego se dirigió al joven que le había estado ayudando discretamente, como un escudero a su caballero andante, y le dijo:

-A ti, joven Sócrates te vaticino que llegarás a ser un gran hombre, maestro de generaciones futuras, y que serás recordado por tus pensamientos, lo mismo que yo soy recordado por mis acciones. Ahora tengo que irme. Adiós, y que los Dioses os sean propicios.

En ese momento se formó una espesa niebla junto a él, y al verla se colocó el casco, agarró el escudo y la lanza e introduciéndose en la mágica bruma desapareció de la vista de los mortales. 

 

 

Explicación matemática

El relato que habéis leído es lo que se conoce como la paradoja de Aquiles y la tortuga, debida a Zenón de Elea. En la antigüedad se planteó dicha paradoja y nadie era capaz de demostrar que era falsa. Aquiles da a la tortuga una ventaja inicial de cien pasos. Cuando Aquiles atraviesa esos cien pasos, la tortuga da diez pasos y está aún por delante de Aquiles. Cuando Aquiles corre los diez pasos, la tortuga da un paso y se mantiene delante, y así sucesivamente.

Estamos dividiendo el movimiento de Aquiles y la tortuga en una sucesión infinita de etapas, cada una de ellas diez veces más corta que la anterior. Si Aquiles tardara en superar cada etapa la misma cantidad de tiempo, está claro que le sería imposible alcanzar la tortuga. Pero conforme el espacio entre Aquiles y la tortuga va disminuyendo, el tiempo en superar cada distancia también va disminuyendo, y al mismo ritmo, con lo que tenemos dos sucesiones, la del espacio y la del tiempo, que convergen rápidamente a un punto: el punto en el que Aquiles alcanza y supera a la tortuga.

Matemáticamente, para que Aquiles supere a la tortuga debe recorrer una sucesión de espacios: 100 pasos, 10 pasos, 1, 0'1, 0'01, etc. Para alcanzarla debe sumar la serie infinita:

100 + 10 + 1 + 0'1 + 0'01 + 0'001...

El resultado de dicha suma es el número decimal infinito periódico 111'11111... o también, expresado en forma de fracción, 1000/9.

Los antiguos griegos no conocían la idea de serie infinita, ni convergencia a un límite, con lo cual no eran capaces de contrarrestar el razonamiento de Zenón, aunque en la práctica fuera fácil demostrar que cuando alguien se desplaza a mayor velocidad que otro, aunque le dé ventaja, al final termina por alcanzarlo y superarlo.

Para saber más: hemos encontrado una página sobre Zenón 

 

Última actualización de esta página en la web: 12/10/2006 . Publicada por primera vez: 01/10/2003

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