En Matemáticas hay
infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen especial mención. El
Triángulo de Tartaglia no es un triángulo en el sentido geométrico de la
palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular
que se obtienen de una manera muy sencilla.
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20 |
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35 |
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21 |
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7 |
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56 |
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28 |
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126 |
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84 |
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36 |
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9 |
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252 |
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210 |
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120 |
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45 |
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10 |
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1 |
...
Como se puede observar,
en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, y
las demás filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número
intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo encima.
El Triángulo de
Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos
construir todas las filas que queramos. En el ejemplo de arriba hemos
desarrollado once filas. Por convenio, a la primera fila, que solo
contiene el 1, le llamaremos fila 0, a la segunda fila, fila 1, a la
tercera, fila 2, para que así coincida el nombre de la fila con el
número que viene detrás del primer 1 y antes del último 1, etc.
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fila 0 |
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fila 1 |
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fila 2 |
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3 |
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fila 3 |
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fila 4 |
1 |
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10 |
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10 |
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5 |
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1 |
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fila 5... |
El Triángulo de
Tartaglia está relacionado con el desarrollo de las potencias de un
binomio y con los números
combinatorios.
Si queremos desarrollar las potencias de
una suma, tenemos:
(a + b)2 = a2 + 2ab
+ b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2
+ b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2
+ 4ab3 + b4
etc...
Como se puede comprobar si nos fijamos en
los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b, son los
mismos números que los de la fila correspondiente del Triángulo. Así por
ejemplo: (a + b)4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3
+ b4 = 1a4 +
4a3b +
6a2b2 +
4ab3 +
1b4
Es fácil también darse cuenta de que a
aparece elevado a la potencia máxima y luego en cada sumando va
disminuyendo la potencia (en el último ejemplo, a4, a3,
a2, etc.), mientras que b no aparece en el primer término, sí
en el segundo, y luego va aumentando su potencia hasta acabar solo en el
último término.
Cada número que aparece en el Triángulo se puede calcular
independientemente del resto. Si queremos averiguar un número de la fila
20, por ejemplo, no es necesario calcular todas las filas anteriores.
Cada número en realidad es un número
combinatorio; para obtenerlos hay una fórmula un poco rara, donde
aparecen dos números uno encima de otro entre paréntesis y luego
aparecen números con signos de admiración, los
factoriales. La fórmula en
concreto es:
Veamos un ejemplo de cálculo para entender
la fórmula:
Hemos calculado el
número combinatorio 8 sobre 5 y nos ha dado 56. Si nos fijamos en el
Triángulo de Tartaglia de arriba del todo veremos que en la fila 8, en
el quinto lugar si no contamos el primer 1, tenemos 56.
Cada número del Triángulo es el resultado
de calcular el número combinatorio que corresponde a su fila y al lugar
que ocupa dentro de ella. El Triángulo se puede expresar también así:
Si por ejemplo queremos
calcular el término de la cúspide, cero sobre cero, podemos aplicar la
fórmula, teniendo en cuenta que el factorial de cero es por definición
igual a uno, 0! = 1.
De forma análoga se pueden ir calculando
todos los restantes números combinatorios y se puede comprobar que van
coincidiendo con los términos del Triángulo.
Con todo lo que hemos
explicado no será muy difícil comprender la fórmula general para el
cálculo del desarrollo de un binomio, llamada el
Binomio de Newton:
Para
terminar, queremos recordar al matemático italiano, del que procede el
nombre, Niccolò Fontana, apodado Tartaglia porque era
tartamudo. Vivió entre los años 1500 y 1557, nació en Brescia, Italia y
enseñó en varias universidades hasta establecerse en Florencia en 1542.
Resolvió la ecuación de tercer grado y escribió tratados sobre
artillería.
El Triángulo de Tartaglia tiene algunos aspectos interesantes que
trataremos en un próximo artículo. |