El Triángulo de Tartaglia

doDK un pasaje al mundo de las matemáticas

 

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El Triángulo de Tartaglia

por Paulino Valderas

En Matemáticas hay infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen especial mención. El Triángulo de Tartaglia no es un triángulo en el sentido geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de una manera muy sencilla.

 
                    1                    
                  1   1                  
                1   2   1                
              1   3   3   1              
            1   4   6   4   1            
          1   5   10   10   5   1          
        1   6   15   20   15   6   1        
      1   7   21   35   35   21   7   1      
    1   8   28   56   70   56   28   8   1    
  1   9   36   84   126   126   84   36   9   1  
1   10   45   120   210   252   210   120   45   10   1

...

Como se puede observar, en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, y las demás filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo encima.

El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos construir todas las filas que queramos. En el ejemplo de arriba hemos desarrollado once filas. Por convenio, a la primera fila, que solo contiene el 1, le llamaremos fila 0, a la segunda fila, fila 1, a la tercera, fila 2, para que así coincida el nombre de la fila con el número que viene detrás del primer 1 y antes del último 1, etc.

          1             fila 0
        1   1           fila 1
      1   2   1         fila 2
    1   3   3   1       fila 3
  1   4   6   4   1     fila 4
1   5   10   10   5   1         fila 5...

El Triángulo de Tartaglia está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.

Si queremos desarrollar las potencias de una suma, tenemos:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

etc...

Como se puede comprobar si nos fijamos en los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b, son los mismos números que los de la fila correspondiente del Triángulo. Así por ejemplo:

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

Es fácil también darse cuenta de que a aparece elevado a la potencia máxima y luego en cada sumando va disminuyendo la potencia (en el último ejemplo, a4, a3, a2, etc.), mientras que b no aparece en el primer término, sí en el segundo, y luego va aumentando su potencia hasta acabar solo en el último término.

Cada número que aparece en el Triángulo se puede calcular independientemente del resto. Si queremos averiguar un número de la fila 20, por ejemplo, no es necesario calcular todas las filas anteriores. Cada número en realidad es un número combinatorio; para obtenerlos hay una fórmula un poco rara, donde aparecen dos números uno encima de otro entre paréntesis y luego aparecen números con signos de admiración, los factoriales. La fórmula en concreto es:

Veamos un ejemplo de cálculo para entender la fórmula:

Hemos calculado el número combinatorio 8 sobre 5 y nos ha dado 56. Si nos fijamos en el Triángulo de Tartaglia de arriba del todo veremos que en la fila 8, en el quinto lugar si no contamos el primer 1, tenemos 56.

Cada número del Triángulo es el resultado de calcular el número combinatorio que corresponde a su fila y al lugar que ocupa dentro de ella. El Triángulo se puede expresar también así:

 

...

Si por ejemplo queremos calcular el término de la cúspide, cero sobre cero, podemos aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que el factorial de cero es por definición igual a uno, 0! = 1.

De forma análoga se pueden ir calculando todos los restantes números combinatorios y se puede comprobar que van coincidiendo con los términos del Triángulo.

Con todo lo que hemos explicado no será muy difícil comprender la fórmula general para el cálculo del desarrollo de un binomio, llamada el Binomio de Newton:

Para terminar, queremos recordar al matemático italiano, del que procede el nombre, Niccolò Fontana, apodado Tartaglia porque era tartamudo. Vivió entre los años 1500 y 1557, nació en Brescia, Italia y enseñó en varias universidades hasta establecerse en Florencia en 1542. Resolvió la ecuación de tercer grado y escribió tratados sobre artillería.

El Triángulo de Tartaglia tiene algunos aspectos interesantes que trataremos en un próximo artículo.

 

Última actualización de esta página en la web: 12/10/2006 . Publicada por primera vez: 01/10/2003

Créditos y Colaboraciones

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