Estimação

Denise Aparecida Botter

Clélia Maria de Castro Toloi

Gilberto Alvarenga Paula

Objetivo: Estimar uma proporção p

Tipos de Estimação

•  
• Estimação pontual
•  
• Estimação intervalar

Exemplos

Considere

Suponha que foram entrevistados n=500 estudantes e que k=100 afirmaram que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês. Então, a estimativa pontual fica dada por

Ou seja, 20% dos estudantes afirmaram que foram ao teatro pelo menos uma vez.

onde:

e : erro ou margem de erro.

Afirma-se ainda que a estimativa intervalar tem coeficiente de confiança g = P(e ).

Formalmente,

que pode ser escrito na forma

Supondo que K ~ B(n,p) temos que para n grande) a variável aleatória tem distribuição N(0,1). Assim, para n grande

onde Z ~ N(0,1).

Chamando temos que P(e ) = P{ -z £ Z £ z }. Assim, podemos obter z conhecendo P(e ).

Podemos também mostrar que o tamanho amostral n dados z e a margem de erro e fica dado por

De forma similar podemos mostrar que o erro e é dado por

Note que dado P(e ) podemos obter facilmente z pela tabela normal através da relação

P(e ) = 2A(z)-1, z ³ 0

onde A(z) = P(Z £ z). Segue abaixo alguns exemplos

P(e ) = 0,954 Þ z=2,00

P(e ) = 0,950 Þ z=1,96

P(e ) = 0,900 Þ z=1,65

Exemplo da USP

Vamos supor que temos k=100 e n=500. Qual é a probabilidade da estimativa pontual estar a uma distância de no máximo 3% proporção verdadeira?

Dados no problema: n=500

e =0,03

Como p é desconhecido utilizamos a estimativa no lugar de p. Para obter P(e ) precisamos conhecer z que depende de e e de p.

Cálculo de z:

Logo, obtemos

Como vimos anteriormente o tamanho amostral que garante a confiabilidade P(e ) e erro e é dado por

que depende de p(1-p). Para eliminarmos p(1-p) da expressão acima, substituimos esse valor pelo seu máximo, que é . Assim, trabalha-se na prática com um n maior que o necessário

Exemplo da USP

Quantos estudantes precisamos consultar de modo que a estimativa pontual esteja no máximo a 2% da proporção verdadeira com uma probabilidade aproximada de 0,95 ?

Dados no problema: e =0,02

P(e )=0,95 Þ z=1,96

Então,

= 2401 estudantes

Pergunta: é possível reduzir o tamanho da amostra quando tem-se alguma informação a respeito de p?

Por exemplo, sabemos que

p não é superior a 0,30

p é pelo menos 0,80

p está entre 0,30 e 0,60

Resposta: depende da informação sobre p. Em alguns casos poderemos substituir a expressão p(1-p) que aparece na expressão de n por um valor menor que 0,25.

Vamos construir a Figura 7.1(p. 126 do texto). No eixo X (abcissa) temos os valores de p e no eixo Y (ordenada) temos os valores de p(1-p). Segue abaixo alguns valores:

Podemos notar pela figura o seguinte:

•  
• a função p(1-p) é uma parábola simétrica em torno de p=0,5;
•  
• o máximo de p(1-p) é alcançado quando p=0,5 sendo dado por 0,5x0,5=0,25.

Na fórmula de n substituimos p(1-p) pelo seu valor máximo. Se p varia no intervalo [0,1] então

Porém, se p é no máximo 0,30 (p£ 0,30) então o máximo de p(1-p) é dado por 0,3x0,7=0,21. Logo, reduzimos n para

Se p é pelo menos 0,80 (p³ 0,80) então o máximo de p(1-p) é dado por 0,8x0,2=0,16. Logo, temos

Por outro lado, se 0,30£ p£ 0,60 o máximo de p(1-p) é dado por 0,5x0,5=0,25 e portanto

não havendo nenhuma redução nesse caso.

Exemplo da USP

Temos a informação de que no máximo 30% dos alunos da USP foram ao teatro no último mês. Logo, temos que p£ 0,30 e como vimos anteriormente o máximo de p(1-p) nesse caso é dado por 0,21. Assim, precisamos consultar

= 2017 estudantes

Uma redução de 2401-2017=384 estudantes.

A estimativa intervalar para p tem a forma

onde

Na prática substituimos p por obtendo a estimativa intervalar

Exemplo da USP

Temos que e . Vamos obter uma estimativa intervalar de coeficiente g =0,95 para p. Logo P(e ) = 0,95 Þ z=1,96. Essa estimativa é dada por

=

=

[0,20-0,035; 0,20 +0,035] =

[0,165; 0,235]