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O QUE SÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO

As medidas de dispersão medem a consistência de uma distribuição de frequências. Por consistência, podemos entender o grau de variabilidade das ocorrências da distribuição em relação a uma medida de posição com tendência central (por exemplo, a média aritmética simples ou ponderada e a mediana).

Quando estudamos as medidas de posição, aprendemos que ao representarmos todo um conjunto de números por apenas um (por exemplo, a média deles), estávamos resumindo a informação. No entanto, ao mesmo tempo estávamos perdendo detalhes daquela informação que foi resumida.

As medidas de dispersão são uma forma de sabermos se a informação perdida é significativa ou não. Desta maneira, ao resumirmos um conjunto de números por sua medida de posição, devemos apresentar ao mesmo tempo a medida de dispersão.

Quando resumimos um conjunto de números de qualquer tamanho em apenas dois números, isto é, a medida de posição seguida de uma medida de dispersão, conseguimos resumir o conjunto numérico inicial e ao mesmo tempo preservar suas características estatísticas.

Para entender melhor a definição acima, considere o seguinte exemplo:

EXEMPLO 01

As medidas das frequências cardíacas de dois pacientes internados em um hospital, tomadas em intervalos de 8 horas num determinado dia são:

paciente 1 - 72, 76 e 74, = 74 pulsos por minuto;

paciente 2 - 72, 91 e 59 , = 74 pulsos por minuto;

Qual paciente aparenta estar em melhores condições de saúde?

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No exemplo acima, os dois pacientes têm a mesma frequência cardíaca média. No entanto, suas condições de saúde parecem ser bastante diversas.

As medidas de dispersão são números que serão associados ao grau de dispersão do conjunto de dados com que vamos lidar. As seguintes medidas de dispersão serão estudadas:

Amplitude total;

Desvio médio;

Desvio padrão;

Variância

PRIMEIRA MEDIDA DE DISPERSÃO:

AMPLITUDE TOTAL

A amplitude total de um conjunto de dados é o maior valor menos o menor valor deste conjunto.

4.1

Calcule a amplitude das frequências cardíacas dos dois pacientes do exemplo dados acima. A amplitude pode ser associada ao estado de saúde de cada um?

4.2

Calcule a amplitude dos seguintes conjuntos de dados:

conjunto 1 - 5, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20;

conjunto 2 - 5, 5, 5, 5, 20, 20, 20, 20;

conjunto 3 - 5, 7, 9, 12, 15, 17, 19, 20;

A amplitude é um bom parâmetro de comparação entre a dispersão destes três conjuntos de dados?

SEGUNDA MEDIDA DE DISPERSÃO:

DESVIO MÉDIO

O desvio médio ou média dos desvios individuais é igual à média aritmética dos valores absolutos dos desvios, tomados em relação a uma das medidas de posição com tendência central : média ou mediana.

Dado um conjunto numérico x₁, x₂, x₃, ..., x_n, com média e mediana , podemos calcular as diferenças:

(x₁ - ); (x₂ - ); (x₃ - ); ...; (x_n - )

(x₁ - ); (x₂ - ); (x₃ - ); ...; (x_n - )

A média destes valores seria uma boa medida da dispersão do conjunto numérico em relação à média. No entanto, como alguns valores serão positivos e outros negativos, sua somatória será nula:

S (x - ) = 0

Para evitar este problema, eliminamos a influência dos sinais negativos somando os valores absolutos daquelas diferenças ( ½ (x - )½ ou ½ (x - )½ ). Desta forma, podemos calcular o desvio médio (D_m) , conforme as fórmulas abaixo

desvio médio em relação à média ( )

D_m = ( 01 )

desvio médio em relação à mediana ( )

D_m = ( 02 )

CÁLCULO DO DESVIO MÉDIO

PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Caso os dados estejam agrupados em uma tabela de distribuição de frequências, as equações ( 01 ) e ( 02 ) são reescritas da seguinte maneira:

D_m = ( 03 )

D_m = ( 04 )

onde :

K = número de classes da distribuição;

f = frequência da classe.

4.3

Calcular os desvio médios em relação à média e em relação à mediana dos conjuntos de números abaixo:

conjunto A - { 10, 12, 13, 20, 25, 34, 45 }

conjunto B - { -4, -3, -2, 3, 5 }

4.4

Calcular o desvio médio pela média e pela mediana na tabela de distribuição de frequências abaixo:

TERCEIRA MEDIDA DE DISPERSÃO:

DESVIO PADRÃO

CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO PARA AMOSTRAS

O desvio padrão de amostras é calculado através da seguinte fórmula:

s = ( 05 )

Para o caso de dados agrupados, utiliza-se a equação:

s = ( 06 )

CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO PARA POPULAÇÕES

O desvio padrão da população é definido como :

s = ( 07 )

onde o símbolo s é a letra grega sigma minúscula.

Para dados agrupados, temos:

s = ( 08 )

4.5

Determinar o desvio padrão dos seguintes conjuntos numéricos:

a - 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5;

b - 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18;

c - 3, 6, 2, 1, 7, 5;

d - 3.2, 4.6, 2.8, 5.2, 4.4

4.6

Tome o conjunto c do exercício 4.5 e some a cada um dos valores o número 5. Calcule o desvio padrão do novo conjunto. Compare o resultado com o do exercício 4.5.

4.7

Tome o conjunto c do exercício 4.5, multiplique cada um dos valores por 2 e depois some 5 a cada um deles. Calcule o desvio padrão do novo conjunto e compare com os resultados dos exercícios 4.5 e 4.6.

4.8

A tabela abaixo apresenta os resultados de uma pesquisa sobre a altura de 100 estudantes. Calcule o desvio médio e desvio padrão dos dados na tabela.

VARIÂNCIA

VARIÂNCIA DA AMOSTRA

A variância da amostra é definida como o quadrado do desvio padrão da amostra. Assim:

s² = ( 09 )

Para dados agrupados :

s² = ( 10 )

VARIÂNCIA DA POPULAÇÃO

A variância da população é definida como:

s ² = ( 11 )

E para dados agrupados:

s ² = ( 12 )

PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA.

Propriedade 1

Somando-se ou subtraindo-se um valor constante X₀ a cada elemento de um conjunto de números, a variância não se altera.

Propriedade 2

Multiplicando-se ou dividindo-se cada elemento de um conjunto de números por um valor constante c, a variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante c.

4.9

Em seis domingos consecutivos, um serviço de atendimento a carros quebrados recebeu o seguinte número de pedidos: 9, 7, 11, 10, 13 e 7. Calcule a média, a variância e o desvio padrão do conjunto.

4.10

As notas de 20 estudantes após uma prova de estatística foram:

Encontre a média e o desvio padrão das notas.

4.11

Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral:

4.12

Calcular a média, variância e desvio padrão da distribuição de frequências abaixo:

4.13

Os dados abaixo são as pressões arteriais máximas de 50 adultos medidos durante um dia, numa campanha de controle de pressão.

a - Construa uma tabela de frequências, com intervalos de classe de comprimento 5;

b - Construa o histograma desta distribuição de frequências;

c - Calcule a média e o desvio padrão a partir dos dados não agrupados;

d - Calcule a média e o desvio padrão a partir dos dados agrupados;

e - Calcule o valor dos três quartis a partir dos dados agrupados.