Centro Per Il Potenziamento Cognitivo
Indice della presentazione:
L'importanza dei frattali: un modello per la complessità
I frattali e la fisiologia umana
I frattali e il nostro sito: i perché di una metafora
Appendice:
Sono formule matematiche, che possono essere tradotte in immagini o musiche bellissime e artistiche.
Sono state trovate tra la fine degli anni '60 e gli inizi degli anni '70 dal matematico di origine polacca Benoît B. Mandelbrot e permettono la rappresentazione della complessità dei fenomeni naturali, quali, per esempio, le coste marine, il fiocco di neve, la felce, i coralli, la forma delle montagne, la forma del cervello, le diramazioni dendritiche, i terremoti.
L'organizzazione frattale sembra essere infatti la forma nella quale la natura si auto-organizza.
Nel suo ultimo libro scrive Mandelbrot: "Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, il fulmine non si propaga in linea retta e raramente i fenomeni naturali hanno un andamento lineare: per questo sono sempre stato attratto dai fenomeni complessi, le cose semplici non mi piacciono".
La matematica dei frattali descrive con precisione oggetti frastagliati e complessi, che in natura, come scrive Mandelbrot, sono ben più frequenti di cerchi, triangoli, quadrati, cubi, sfere e di tutte le altre figure della geometria euclidea.
I frattali sono dunque figure irregolari, caratterizzate dal ripetersi di uno stesso motivo, su scala sempre più ridotta. Una porzione di questo motivo - ingrandita - non perde dettaglio, ma si arricchisce di nuovi particolari.
Tra le proprietà che possono avere vanno ricordate almeno queste:
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Autosomiglianza (o Autosimilarità): significa che in un frattale la parte è simile al tutto.
Come già detto, si trova la stessa figura (e la stessa formula matematica) procedendo verso scale di grandezza differenti, più piccole o più grandi.
Per esempio il ramo di un albero richiama l'immagine dell'albero a cui appartiene; un tratto di costa marina richiama l'immagine dell'intera costa, così come quella di un singolo scoglio. Anche la felce e il fiocco di neve sono frattali di questo tipo.
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Effetto farfalla (o Attrattore strano): significa che un frattale è caratterizzato dalla ricorsività, così che a seguito di minime variazioni si verificano rimarcabili evoluzioni. Il nome deriva dal fatto che la rappresentazione grafica di tale proprietà ricorda le ali di una farfalla.
L'IMPORTANZA
DEI FRATTALI: UN MODELLO PER LA COMPLESSITÀ 
Come si è visto, la geometria frattale permette una descrizione matematica dei fenomeni naturali, i quali possono sembrare molto irregolari e difficilmente esprimibili attraverso un modello. La natura è rappresentata molto più adeguatamente dalla geometria frattale piuttosto che da quella classica, euclidea.
Ma perché la natura si auto-organizza secondo il modello frattale?
Probabilmente perché questo modello è più funzionale alla sopravvivenza della natura stessa: migliora l'efficienza del sistema (dell'insieme strutturato degli elementi). I frattali realizzerebbero quindi l'ottimizzazione del sistema nel processo evolutivo.
Per lo stesso motivo l'organizzazione frattale si riscontra anche in altri fenomeni spontanei: è elaborata spontaneamente nei sistemi sociali ed economici e anche, come è stato studiato recentemente, nell'organizzazione delle connessioni di Internet.
Un esempio può servire a chiarire questo aspetto. Consideriamo le catene alimentari. Esse avrebbero una struttura frattale. Studiata da Guido Cardarelli, questa struttura sarebbe costituita dai legami tra le specie che hanno rapporti di predazione e sarebbe universale: presenta le medesime proprietà statistiche in tutto il mondo. Dal punto di vista evoluzionistico tale struttura è giustificata in quanto la rete dei rapporti di predazione riesce a nutrire tutte le specie, anche se è presente un limite in questa ottimizzazione, data dalla competizione tra le specie per la sopravvivenza, di cui parla Darwin.
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FRATTALI E LA FISIOLOGIA UMANA
Analogamente, molte strutture del corpo umano riproducono un'organizzazione di tipo frattale.
E' interessante notare come tale struttura abbia una giustificazione funzionale: anche in questo caso la natura si organizza in tal modo per ottimizzare il sistema.
Per esempio, il sistema vascolare e il sistema respiratorio sono organizzati secondo un modello descrivibile dalla geometria frattale. E la ramificazione del sistema respiratorio secondo il modello frattale permette una più ampia esposizione del sangue all'ossigeno e quindi una maggiore disponibilità di questo per i polmoni.
I frattali sono modelli di rappresentazione della natura non solo dal punto di vista strutturale, ma anche funzionale. Questo è dimostrato anche dalla costruzione delle reti neurali artificiali, reti che riproducono la struttura dei neuroni, la loro organizzazione e le diverse modalità del loro funzionamento, e sono rappresentabili attraverso frattali.
Troviamo questi modelli nella forma del cervello e li troviamo anche nelle attività mentali.
Essi ricorrono anche nelle produzioni artistiche, come la musica.
Fractus in latino significa spezzato, rotto. Il termine è stato usato per la prima volta dal matematico polacco Benoît B. Mandelbrot (nato nel 1924) per designare figure geometriche irregolari. Lo studio di queste figure matura nel '900, ma si riallaccia a interrogativi che dall'800 in poi alcuni filosofi e fisici si erano posti, dopo l'elaborazione della teoria del caos di Poincaré.
Con Poincarè la realtà non viene più descritta in termini deterministici e lineari (una minima variazione della situazione iniziale determina una piccola variazione nella situazione finale), ma probabilistici (un minimo cambiamento della situazione iniziale provoca notevoli cambiamenti nella situazione finale).
La scoperta delle formule matematiche dei frattali si devono a Gaston Julia (1893-1978). Gli insiemi di Mandelbrot rappresentano la somma degli insiemi di Julia.
Dal punto di vista geometrico il modello più importante è costruito da Von Koch, che descrive l'autosimilarità dei frattali. L'aspetto fisico-dinamico è stato studiato da Lorenz, che ha costruito il modello chiamato Attrattore Strano.
Negli anni '80 Mandelbrot fa delle interessanti scoperte sull'applicazione dei frattali alla dispersione di materiali. Il suo libro più famoso, "The fractal geometry of nature" fu pubblicato nell'82.
Le ultime ricerche hanno applicato la matematica frattale allo studio delle reti di Internet, della fisica dei materiali e del cosmo.
Si è osservato come la struttura delle connessioni di Internet sia frattale e come essa garantisca la robustezza del sistema nel caso di rotture spontanee di qualcuno dei suoi elementi, mentre sia molto debole di fronte ad attacchi limitati, ma mirati.
Nello studio del cosmo si è applicata tale matematica in particolare alle ricerche sulla distribuzione delle galassie nell'universo e delle stelle all'interno delle galassie. Questi studi hanno trovato che anche nelle profondità cosmiche ci sono strutture che si ripetono su scale molto diverse. Tali ricerche sono oggetto di discussione tra gli scienziati, perché coinvolgono il problema dell'origine dell'universo.
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FRATTALI E IL NOSTRO SITO: I PERCHÉ DI UNA METAFORA
Tutte le immagini usate in queste pagine sono frattali.
Li abbiamo adottati come metafora del sito per vari motivi: motivi generali, che hanno a che fare con un certo modo di guardare il mondo, e motivi più specifici, basati su interessanti analogie tra le caratteristiche dei frattali e quelle della metodologia metacognitiva proposta da Feuerstein.
I motivi generali
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La matematica dei frattali rappresenta una delle più interessanti sfide cognitive in atto, consistente nel tentativo di conoscere il mondo in modo rigoroso e metodico, senza sacrificarne la complessità.
Un approccio certamente fecondo anche nello studio dei processi mentali e d'apprendimento.
Un approccio che si può rintracciare nell'impianto generale del metodo Feuerstein.
Esso scinde infatti l'atto mentale in fasi (input - elaborazione - output) e poi indaga tutte le singole funzioni cognitive mobilitate da ciascuna fase, e i modi in cui esse possono influenzare il prodotto finale, senza però mai dimenticare i legami strutturali che le legano, tali per cui la modificazione che si produce in una di esse si ripercuote - in modo più o meno accentuato - su tutte le altre.
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I frattali nascono da funzioni matematiche, ma possono essere belli come opere d'arte, e anche in questo senso rappresentano la complessità, di contro alla tendenza alla scissione della vita in ambiti e settori distinti: da una parte l'arte, dall'altra la conoscenza; da una parte la fantasia e l'immaginazione, dall'altra l'intelletto, il metodo. Invece, la conoscenza e l'apprendimento possono essere belli, esteticamente belli, e - come l'arte - sono il risultato di creatività e rigore, costanza ed entusiasmo.
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I frattali ci sembrano ben trasmettere l'idea - entusiasmante - dell'espandersi (all'infinito) delle possibilità della mente umana (attraverso la creazione di sempre nuove occasioni per sollecitare le potenzialità che abbiamo in noi). L'attività conoscitiva travalica i confini predeterminati, è rappresentabile da figure che rimandano a funzioni matematiche, ma che sono anche molte belle dal punto di vista estetico: i numeri diventano colori, il linguaggio della scienza muta in quello della fantasia.
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I frattali si prestano a divenire metafora di un approccio formativo, quale quello del metodo Feuerstein, che, pur puntando prevalentemente alla dimensione cognitiva, non dimentica la complessità dell'essere umano: vi sono nessi strutturali tra le diverse dimensioni della vita e aprire nuove e stimolanti prospettive in una di esse - come, per esempio, in quella cognitiva - non significa certo esaltarla "a danno" delle altre, ma riaccendere entusiasmo e liberare nuove energie, che divengono disponibili per innescare ulteriori processi, in altre dimensioni - come, per esempio, in quella affettiva.
I motivi più specifici
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I frattali rappresentano il funzionamento e la struttura della mente, e corrispondono anche - a nostro parere, almeno - alla concezione del potenziamento delle funzioni cognitive che sottende il Programma di Arricchimento Strumentale di Feuerstein.
Come le formule frattali, caratterizzate dall'autosimilarità, le funzioni cognitive di cui ci rendiamo consapevoli (affrontando un problema, risolvendo un esercizio, confrontando le strategie che adottiamo in una certa situazione con quelle che altre persone adottano o che noi stessi adottiamo in altre situazioni) ci permettono, da una parte, di comprendere sempre più analiticamente la realtà in settori progressivamente più delimitati, specifici, procedendo in profondità; dall'altra, di raggiungere una visone più sintetica, d'insieme, della realtà stessa, procedendo verso settori sempre più generali e astratti.
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Analogamente alla costruzione dei frattali, in cui - a partire da formule matematiche e da loro minime variazioni - si creano immagini o melodie belle e originali, le attività proposta nel metodo Feuerstein presentano ripetizioni e variazioni: mirano a consolidare determinati processi mentali di base, facendoli diventare una sorta di abitudine, senza però diventare mai meccaniche e ripetitive.
Una lezione PAS dovrebbe infatti costituire una continua sfida all'elasticità mentale di chi la segue (e di chi la conduce), un invito al "gioco" che permetta la creazione di "ponti" tra lo specifico dell'attività che si va compiendo e altre, disparate realtà.
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Il Programma di Arricchimento Strumentale del metodo Feuerstein conferisce una grande importanza ai microcambiamenti cognitivi, in quanto ha come presupposto l'idea che piccole modificazioni della situazione iniziale possano innescare - almeno se strutturali - trasformazioni a catena che producono grandi cambiamenti nella situazione finale. L'idea è comune alla geometria frattale, che permette un'interpretazione della realtà in termini non lineari, ma probabilistici e che si sviluppa sulla base della teoria del Caos.
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Il frattale - così come il mediatore del metodo Feuerstein - rappresenta una guida, un amico fidato, che permette nella nostra mente la comunicazione del mondo che percepiamo con i nostri sensi o intuitivamente con quello che possiamo per il momento solo immaginare, o perché infinitamente più grande o perché infinitamente più piccolo del nostro.
La citazione da Gibran inserita qui a fianco è stata scelta proprio perché in questi passi il poeta parla delle diverse dimensioni in cui vive la nostra mente, dei legami stretti tra di esse esistenti, e invita a esplorarle e a valorizzarle tutte. Il testo rimanda all'immensità frattale della nostra mente, ma anche alle infinite possibilità di conoscenza presenti in ognuno di noi.
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La vostra anima è sovente un campo di battaglia, dove il giudizio e la ragione fanno guerra all'appetito e alla passione[…] se voi stessi non siete i mediatori e gli amanti di ogni vostro elemento.
La ragione e la passione sono il timone e la vela di quel navigante che è l'anima vostra. Se il timone o la vela si spezzano, sbandati, andrete alla deriva e resterete fermi in mezzo al mare. Poi che se la ragione domina da sola, è una forza che imprigiona; e la passione, se incustodita, è una fiamma che brucia e si distrugge.
Perciò la vostra anima esalti la ragione fino alla passione, affinché essa canti, e con la ragione diriga la passione, affinché questa viva in resurrezione quotidiana, e sorga come la fenice dalle ceneri[…]
Il vostro cuore conosce in silenzio i segreti dei giorni e delle notti. Ma l'orecchio è assetato dell'eco di quello che sa il vostro cuore. Vorrei esprimere ciò che avete sempre pensato. Vorreste toccare con mano il nudo fisico dei sogni.
Ed è bene lo sappiate:
La sorgente chiusa nell'anima vostra dovrà scaturire un giorno, e mormorare verso il mare;
E ai vostri occhi si svelerà il tesoro della vostra immensità.
Ma con la bilancia peserete questo tesoro ignoto.
E non sondate con l'asta o lo scandaglio le vostre profondità sapienti.
Poi che il vostro Io è un infinito e sconfinato mare.
Non dite "Ho trovato la verità", ma piuttosto, "Ho trovato una verità".
Non dite, "Ho trovato il sentiero dell'anima", dite piuttosto, "Sul mio sentiero ho incontrato l'anima in cammino".
Poi che l'anima cammina su tutti i sentieri. L'anima non va su di una linea, e non cresce come una canna.
L'anima si svolge in mille petali come un fiore di loto [...]
Nessuno può insegnarvi nulla, se non ciò che in dormiveglia giace nell'erba della vostra conoscenza.
Il maestro che cammina all'ombra del tempio, tra i discepoli, non dà la sua scienza, ma il suo amore e la sua fede.
E se egli è saggio non vi invita a entrare nella casa della sua scienza, ma vi conduce alla soglia della vostra mente"
Kahlil Gibran,
Il profeta
Segnaliamo qui alcuni siti che si occupano in maniera approfondita di frattali e permettono di scaricare sia immagini già elaborate che programmi atti alla creazione ed elaborazione di frattali:
Sito che contiene non solo una spiegazione molto approfondita sulla geometria frattale, arricchita da molti esempi e belle immagini di vari tipi di frattali, ma anche una efficace guida all'html e curiosità matematiche.
La grafica è accattivante e le spiegazioni chiare ed esaurienti.
E' presente inoltre una Galleria di immagini frattali delle varie tipologie ricca e suggestiva.
Sito in inglese completo e ricchissimo di informazioni.
Ampie sezioni sono dedicate alla storia e alle varie tipologie di frattali, alla musica, ai software scaricabili liberamente, agli ultimi articoli pubblicati sull'argomento.
E' presente una Galleria di immagini per le varie tipologie.
Attraverso il sito è possibile discutere con appassionati partecipando alla Chat.
Sito in inglese molto aggiornato sulle novità presenti sul web e sui nuovi programmi per costruire frattali.
In questo sito si può scaricare la versione 20.0 di Fractint, uno tra i migliori programmi per costruire frattali.
Sito in cui viene spiegato in modo sintetico e chiaro la geometria frattale con molti esempi e immagini.
Le pagine, in inglese, spiegano in modo sintetico e divulgativo la geometria frattale e danno notizie su Gaston Julia, Madebroot. Vi sono anche semplici esempi di come si costruiscono i vari tipi di frattali.
Sito dell'Università di St. Andrews, in cui si trova una bibliografia aggiornata sulle più recenti ricerche riguardanti la matematica.
Sito dedicato ai frattali nell'arte, con molte immagini e link in cui si possono scaricare software per costruire frattali.
Sito divulgativo di introduzione ai frattali.
Sito italiano di introduzione alle reti neurali.
Sito italiano dedicato alle reti neurali e alla logica Fuzzy.
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Per i programmi atti alla creazione ed elaborazione di frattali, si vedano in particolare questi collegamenti:
Mandelbrot Benoit,
Nel mondo dei frattali,
Di Renzo Editore, 2001.
Mandelbrot Benoit,
Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione,
Einaudi, 1987.
Mandelbrot Benoit,
La geometria della natura,
2a ed., Theoria, 1990 (81 p.). Traduzione di
The Fractal Geometry of Nature.
Peitgen Heinz-Otto e Richter Peter H.,
La bellezza dei frattali: immagini di sistemi dinamici complessi,
Bollati Boringhieri, 1989.
Trasmissione di Radio3Scienza
"Che forma del cavolo!"
di Mauro Pagan: interviste a
Benoit Mandelbrot, docente di scienze matematiche all'università di Yale;
Alessandro Vespignani,
docente di fisica teorica all'Université Paris-sud;
Guido Caldarelli, fisico dell'Istituto dei sistemi complessi del
Cnr di Roma.