| MATEMATICAS FINANCIERAS |
| INTERES Retorno básico para los ahorradores Una de las formas básicas de inversión es la cuenta de ahorros que se abre en un banco. A cambio de colocar en una cuenta de fondos ociosos, el ahorrador recibe intereses, estos son los ingresos del capital. INTERES SIMPLE: El ingreso obtenido por instrumentos como los Certificados de Deposito, los Bonos y otras modalidades de inversión que generan intereses, suele calcularse mediante el método de interés simple. Esto quiere decir que se pagan intereses solo sobre el saldo real durante el tiempo en el cual permanece en deposito. Si se deposita $100.- en una cuenta que paga el 6% de interés cada año y medio, luego de transcurrido ese tiempo habrá ganado $9.- en intereses( 1.5 x .06 x 100 ) Si al finalizar medio año de ese periodo hubiera retirado $50.- los intereses obtenidos luego de un año y medio habrían sido de $6.- ya que habría ganado intereses por $3.- sobre los $100.- mantenidos en la cuenta durante el primer medio año (1/2 x .06 x $100.- ) e intereses por otros $3.- sobre los $50.- que permanecieron en deposito el año restante ( 1 x .06 x 50.- ) De acuerdo con el método de interés simple la tasa de interés establecida es la tasa real de interés o retorno. En el ejemplo anterior la tasa real de interés seria de 6% debido a que la tasa de interés refleja la tasa a la cual se genera ingreso corriente, no obstante el tamaño del deposito, se trata de una medida muy útil para el calculo del ingreso corriente. INTERES COMPUESTO: Es el que se paga no-solo sobre el deposito inicial sino también sobre los intereses acumulados de un periodo a otro. Este es el método común aplicado por las instituciones de ahorro. FECHA DEPOSITO SALDO INTERES año SALDO (RETIRO) INICIAL 5% cada / semestre FINAL 1°/I/97 $1,000 $1,000.- 50 $1,050.- 1°/I/98 (300) 750 37.50 787.50 1°/I99 1,000 1,787.50 89.38 1,876.80 La Composición Continua, que es la llevada a cabo en los intervalos más breves posibles, da como resultado la máxima tasa de retorno que puede alcanzarse con una tasa de interés establecida. FECHA DEPOSITO SALDO INTERES semestre SALDO (RETIRO) INICIAL 5% cada / semestre FINAL 1° semestre/97 $1,000.- 1,000.- 25.- 1,025.- 2° semestre/97 ------- 1,025.- 25.63 1,050.63 1° semestre/98 (300) 750.63 18.77 769.40 2° semestre/98 ------- 769.40 19.24 788.64 1° semestre/99 1,000.- 1,788.64 44.72 1,833.36 2° semestre/99 ------- 1,833.36 45.83 1,879.19 VALOR FUTURO, es la cantidad a la que se aumentara un deposito corriente luego de cierto periodo en una inversión que pague interés compuesto. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD Una anualidad es una corriente de flujos de efectivo iguales que se hacen presentes a los mismos intervalos. VALOR PRESENTE: Una ampliación del valor futuro.- el valor presente es lo contrario del valor futuro. En lugar de medir el valor de una cantidad presente a una fecha futura, el valor presente determina el valor actual de una suma futura. Mediante la aplicación de las técnicas de valor presente, puede calcularse el valor actual de una suma que habrá de recibirse en una fecha futura. ¿Qué cantidad debe depositarse actualmente en una cuenta que pagara un interés de “X” porcentaje a fin de ser igual a determinada suma, la cual habrá de recibirse dentro de cierto numero de años? A la tasa de interés aplicado para determinar el valor presente se le conoce como tasa de descuento. VP x (1+ .08) = 1,000 VP= $1000 / (1 X .08 ) = $925.93 INTERES SIMPLE. ESTE ESTUDIO SE REDUCE A DISPONER Y MANIPULAR LOS ELEMENTOS NECESARIOS PARA TRASLADAR CANTIDADES QUE REPRESENTAN DINERO A TRAVES DEL TIEMPO SIN ALTERAR SU VALOR. PARA ESTE PROPÓSITO NOS VALEMOS DE ECUACIONES EQUIVALENTES PARA TRANSPORTAR CANTIDADES DE UNA FECHA A OTRA VISUALIZANDO ESTE PROCESO A TRAVES DE DIAGRAMAS DE TIEMPO. · INTERES: Es el pago por el uso del dinero ajeno. También es el dinero que produce un capital invertido. Se expresa con la letra; I · Capital Inicial o principal.- es la cantidad que se presta durante un tiempo determinado para producir un interés. Se representa con la letra P o C. También se le conoce como Valor presente. · Tasa de interés.- es la razón del interés devengado respecto al capital inicial, es decir es la cantidad que al multiplicarse por el capital inicial da como resultado el interés devengado en un periodo determinado. Se representa con la letra: i · Monto simple o valor acumulado de P.- Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial el interés obtenido en un lapso estipulado. También se le conoce como valor futuro o valor acumulado. Se representa con la letra: M · Tiempo o plazo.-Es el numero de periodos que permanece prestado o invertido el capital. Es el plazo transcurrido entre la fecha inicial y final de una operación financiera. Se identifica con la letra: t Se manejan 2 clases de interés: el simple y el compuesto. El interés Simple es cuando solo el capital gana intereses El interés Compuesto es cuando además del capital también los intereses ganan interés. A intervalos preestablecidos el interés vencido es agregado al capital por lo que también gana interés. Ejemplo.- se hace una inversión a plazo fijo de 28 días, al final de ese periodo se retira la inversión junto con los intereses se estará ganando un interés simple, pero sino se hace el retiro los intereses al termino del plazo se suman al capital y es interés compuesto. Consideremos que una persona consigue un préstamo por $100,000. - y al termino de un año paga $130,000. -. La diferencia entre estas dos cantidades son los intereses. La formula para calcular el interés simple es: I= M- P ; i = I/ P ; I = P i t 30,000= 130,000 – 100,000 ; 0.3 = 300,000 / 100,000 ; 300,000= (100,000x.3x1) I = P i t A partir de esta formula conociendo el valor de 3 de sus elementos podemos despejar el cuarto. P = I / i t ; i = I / P t ; t = I / P i Para capital inicial para tasa de interés para el tiempo El tiempo no solo es anual, también puede ser semestral bimestral mensual, etc. Si en el ejemplo anterior el préstamo se liquida a 6 meses, los intereses serán solo de $15,000.- expresándose así: I = (100,000) (0.3 ) (0.5) = 15,000 Si el mismo préstamo se liquida a 4 años: I = (100,000) (0.3) (4) = 120,000 Si el préstamo se liquida en un mes: 1 / 12 = 0.0833 I = (100,000) (0.3) (0.0833) = 2,499 I = (100,000) (0.3) / 12 = 2,500 EJERCICIOS. 1. Si al invertir $500.- Al termino de un año recibimos 4625.- Cuál será la tasa de interés anual? P = 500 i = ? i = I / Pt i = 125 / 500 (1) M = 625 T = 1 i = 0.25 = 25 % I = 125 2. Obtener la tasa de interés simple mensual si con $650,000 al cabo de un semestre se cancela una deuda de $ 500,000. i = ? M = 650,000 i = I / Pt i = 150,000 / 500,000 (6) P = 500,000 t = 6 meses i = .05 = 5% mensual I = 150,000 3. Si al invertir $25,000 al termino de 2 años recibimos $35,000 cual seria la tasa de interés simple anual i = ? P = 25,000 i = I / Pt i = 10,000 / 25,000 (2) T = 2 años M = 35,000 i = 0.02 = 20% anual I = 10,000 4. Obtener la tasa de interés simple mensual, si con $1´000,000 al cabo de un semestre se cancela una deuda de $900,000. I = 100,000 i = I / Pt i = 100,000 / 90,000 (6) M = 1 000,000 t = 6 meses i = 0.0185 = 1.85 mensual P = 900,000 5. ¿Que capital impuesto a una tasa de interés del 24 % annual produce intereses de $ 10,000 en 5 meses? P = ? P = I / it P = 10,000 / (.24) (.4166) i = 24 % annual P = 10,000 / .1 I = 10,000 P = 100,000 t = 5 meses 5 / 12 = .4166 6. Durante que tiempo ha estado invertido un capital de $25,000 que produjo un interés de $10,000 a la tasa del 25 % anual t = ? t = I / P i t = 10,000 / 25,000 (.25) P = 25,000 t = 1.6 años I = 10,000 i = 25 5 annual 7. Cual es el interés que produce un capital de $20,000 si se han invertido durante 4 años a una tasa del 12 % anual? I = ? I = (20,000) (.12) (4) = 9,600 P = 20,000 t = 4 años i = 12 % anual MONTO SIMPLE El monto es igual a la suma del capital mas el interés: M = P + I Por otra parte se tiene que : I 0 p t i ; sustituyendo este valor en la formula anterior tenemos que : M = P + P t i ; Por lo tanto : M = P (1 + t i ) Por medio de esta formula se puede obtener asimismo el capital inicial, el tiempo o la tasa de interés despejandose en cacada caso la incognita corespondiente. P = M (1+ t i ) M/P – 1 M/P – 1 t= I = i t Para aplicar las formulas anteriores es preciso que la tasa de interés y el tiempo se refieran a la misma unidad, es decir si el interés es anual el tiempo se tomara anualmente, si el tiempo esta expresado mensualmente hay que obtener el interés por mes. i = 12 % i = 6 % mensual t = 4 meses = .33 % t = 10 dias = .33 % 1. Cual es el monto que pagara una persona que obtiene un préstamo de $50,000 a una tasa del 31 % durante 3 años? M = ? P = 50,000 M = P (1+ t I ) i = 31% M = 50,000 ( 1 + 3 (.31) ) t = 3 M = 96,500 2. A que tasa de interés anual habra estado impuesto un capital de $50,000 que en 4 meses produjo un monto de $52,000? i = M /P –1 i = 52,000 / 50,000 –1 i = 0.04 i = .12 = 12% t 0.33 0.33 3. Que capital inicial produce un monto de $75,000 a la tasa de interés del 8.5% annual durante 4 meses? P = M 1+ t i P = 75,000 1 + (.33 ) ( .085 ) P = 75,000 1 + .028 P = 72,933.54 TAREA : ¿ QUE TASAS DE INTERES TIENEN LOS BANCOS ? 4. ¿ Cual es el interés que produce un capital de $15,000 en 4 años al 12% anual si el monto fue de $31,000.? I = M- P I = 31,000 – 15,000 = 16,000. 5. ¿ A que tasa de interés ha estado impuesto un capital de $3,000 , que en seis años produjo un monto de $ 5,000? t = I P i I = ? M = 5,000 P = 3,000 t = 3,000 22,000 (.055) t = 2.47 años i= 5.55 6. ¿ Cual es el interés que produce un capital de $ 25,523.55 en 4 meses al 12 % anual? I = P i t I = ? P = 25,523.55 t = 4 meses I = 25,523.55) (.12) (.3333) = 1,020.942 i = 12 % 7. Cual es el valor presente de $3,250 pagaderos dentro de 8 años , cuando la tasa de interés es del 4.5 % anual? M = 3,250. P = 3,250 1 + (.045) (8) i = .045 t = 8 P = 3,250 1.36 = 2,389-70 8. Un individuo compro un automovil usado por el cual pago $9,500 el 1° de enero y lo vende el 1° de junio del año siguiente en $16,000. aparte del uso que ya le dio, del seguro que pago y otros gastos que hizo, considerando solo los valores de compra y venta, fue conveniente como inversión la operación realizada, tomando en cuenta que la tasa de interés del mercado es del 55% i = .55 M = P (1 + I t ) t = 17 meses (1.4166) M = 9,500 ( 1 + (.55) (1.4166) ) M = 16,000 M = 9,500 ( 1.77913) P = 9,500 M = 16,901.735 P = 16,000 1 + (.55) (1.4166) P = 16,000 1.77913 = 8,993.15 RESPUESTA = NO INTERES SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO En algunos paises debido a la inflación, las tasas de interés no son valuadas en periodos largos como meses semestres años sino se valuan en dias. Se dice que el interés simple es exacto si el año se considera de 365 dias o 366 si es bisiesto y es ordinario o comercial si el año es considerado solo con 360 dias. Ejemplos: 1. Obtener el monto acumulado por un capital de $50,000 que se invierte a 45 dias con una tasa de interés simple de 38% anual suponiendo que es exacto. M = P (1 + I t ) P = 50,000 t = 45 dias M = 50,000 ( 1 + (.38 365 ) (45) ) i = 38% annual M = 52,342.46 M = ? Y suponiendo que es Ordinario: M = 50,000 ( 1 + (.38 360 ) (45) ) = 52,375. COMO SE VE EN LOS RESULTADOS ANTERIORES Y AUNQUE ES MINIMA LA DIFERENCIA ES MAS PRODUCTIVO LA INVERSIÓN CON INTERES SIMLE ORDINARIO QUE CON EL EXACTO. TAMBIEN ES CIERTO QUE EL MONTO SE PUDO HABER ENCONTRADO SUMANDO AL VALOR PRESENTE LOS INTERESES RESPECTIVOS: I = P i t TIEMPO REAL Y TIEMPO APROXIMADO Tambien el plazo puede ser medido de dos maneras: Con tiempo Real o exacto Y con tiempo aproximado El tiempo Real se calcula contando los dias naturales entre dos fechas de inicio y de terminación, sin incluir una de las dos. En el tiempo aproximado son considerados los 30 dias de cada uno. Ejemplo. · Obtengase el monto acumulado del 15 de junio al 10 de diciembre por un capital de $100,000 al 32 % anual calculado a: - interés simple exacto - interés simple ordinario - en tiempo real - en tiempo aproximado M = ¿ interés exacto, tiempo real: P = 100,000 M = 100,000 ( 1 + ( .32 365 ) ( 178)) i = 32% annual M = 115,605.47 interés ordinario, tiempo aproximado: M = 100,000 ( 1 + ( .32 360 ) (175) M = 115,555.55 · El 11 de julio se firmo un pagare por $1,700 con 38% de interés. ¿ En que fecha seran $150 los intereses? Tiempo exacto: t = 150 1,700 ( .38) ; t = .2321 ( 365) ; t = 84.75 = 85 dias = 3 de octubre Tiempo aproximado: t = .2321 (360) = 83.55 = 84 dias = 4 de octubre. DESCUENTO NORMALMENTE AL FIRMAR UN PAGARE, EL VALOR DEL MISMO INCLUYE LOS INTERESES. Dicha cantidad se llama valor nominal y es en realidad el valor acumulado del documento. Legalmente el beneficiario del documento lo puede negociar antes de la fecha de su vencimiento ofreciéndoselo a un tercero a un precio menor que la cantidad estipulada en el mismo, es decir con un descuento que puede ser: Descuento Real o Descuento Comercial. El 1° se calcula con base en el capital del valor nominal del documento en el momento en que se negocia utilizando la formula del interés simple. El descuento comercial se calcula tomando como base el valor futuro del capital recibido en préstamo. La cantidad que se descuenta ( D ) en un tiempo (t) y con base a una tasa de descuento (i) , se determina con la siguiente formula: D = t i M Ejercicios: 1. Calcule el descuento que se hace a un pagare de $500., seis meses antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple del 40% P = M - D M = 500 t = 6 meses D = (.5) (.40) (500) P = 500 - 100 i = 40 % D = $100 P = $400. 2. Obtener la tasa de descuento si 3 meses antes de su vencimiento un pagare con valor nominal de $1,750. se negocia y se vende en $1,540. i = D t M i = ? t = .25 (3meses) M = 1,750. i = 210 (.25) (1,750) P = 1,540. D = 210 i = 48 % 3. Cuanto recibe una persona por un documento de $2,000,000, cuatro meses antes del vencimiento y con un descuento del 39 % anual? M = 2 000,000. D = t i M C = M (1 – t I) t = .33 D = (.33) (.39) (2 000,000) C = 2 000,000(1-t i) i = 39% D = 260,000 C = 2 000,000 (1-.33)(.39)) P = M - D C = 2 000,000 (.87) C = 1,740,000. P = 2,000,000 – 260,000 = 1 740,000 4. Si esta misma persona recibe 41,700,000 por su documento 3 meses antes de su vencimiento, ¿cual es la tasa de vencimiento simple? t = .25 D = M – P D = 2 000,000 - 1 700,000 P = C = 1,700,000 D = 300,000 M= 2 000,000 i = D t M i = ? I = 300,000 .25 ( 2 000,000 ) = .6 = 60% RESOLUCION DE PROBLEMAS: 1. Se adquiere un lote de mercancías con valor de $3 500,000, se acuerda liquidar haciendo un pago de inmediato por $1,55. y un pago final 4 meses después. Acepta pagar 60 % de interés simple sobre su saldo. ¿Cuánto debera pagar dentro de 4 meses? 2. ¿ Que cantidad por concepto de interés simple mensual produce un capital de $4, 000. al 33 % anual? 3. Si una persona deposita hoy $5,000 a plazo fijo con 5.2% de interés mensual y no retira su deposito y reinvierte sus intereses. ¿ Cuanto tendra en su cuenta 3 meses después después si la tasa de interés no varia? 4. Una persona adquiere hoy un automóvil que cuesta $22,000. Si suponemos que el vehículo aumenta de valor en forma constante y a razon del 2% mensual. ¿Cual seria su valor después de 2 meses? 5. Una persona desea adquirir un inmueble dentro de dos años. Supone que el enganche que habra de pagar hacia esas fechas sera de $35,000. Si desea tener esa cantidad dentro de 2 años ¿ Que cantidad debe invertir ahora en su deposito de renta fija que rinde 2.9% de interés simple mensual.? 6. ¿Qué cantidad debe invertir una persona el dia de hoy al 2.8% de interés simple mensual para obtener $2,000 dentro de 2 meses? 7. Se desea saber cual es el valor actual de un pagare por $5,000 que vence el 15 de diciembre, si se considera un interés del 60 % anual simple y hoy es 11 de julio. 8. Para terminar de saldar una deuda se debe pagar $3,500 el 15 de mayo. ¿ Con que cantidad pagada hoy, 13 de enero, se liquidara la deuda si se considera un interés del 36% anual?. 9. Un mes después de que una persona obtuvo un préstamo, debe pagar exactamente $850. ¿Cuánto obtuvo en préstamo, si el pago que debe hacer incluye intereses al 40 % anual? 10. Usted desea saber cual es el valor actual de un pagare por $1,000 que vence dentro de 60 dias, si la tasa de interés es del 50% anual 11. Un gerente despide por problemas financieros de su empresa a una persona que cobra $2,000 mensuales de sueldo, pagándole su correspondiente indemnización por un saldo neto de $18,000 ¿ Que ingreso fijo mensual le representaria al ahora desempleado depositar el monto de su liquidación en una inversión que paga 36.5 % de interés simple anual? 12. ¿ Que cantidad de dinero necesita colocar una persona en una inversión de renta fija que paga 40% de interés simple anual y produce intereses mensuales por $450.? 13. ¿Cuánto debe de pagar por concepto de interés una persona que debe $1,200 si liquida 6 meses después y cobra intereses a razon dl 60% anual simple? 14. ¿Cuánto tendría que pagar mensualmente por concepto de intereses una persona que debe $7,500, si cobra 35% simple semestral? 15. Una persona tiene dos deudas: · Le debe $8,000 a un Banco que cobra 5.5% de interés mensual · Compro a credito un automóvil, pago un enganche y le queda un saldo de $7,500 que comenzara a pagar dentro de 8 meses, mientras tanto, debera pagar el 64% de interés simple anual durante ese lapso. ¿Cuánto pagara en los próximos 6 meses por concepto de intereses? 16. Los movimientos de la cuenta de credito de una persona en una empresa comercial son los siguientes: Saldo registrado el 14 de febrero................................$450. Cargo el 27 de febrero..................................................150 Abono el 31 de marzo..................................................400 Cargo el 15 de abril....................................................1,000 Cargo el 30 de abril......................................................100 Si el almacen cobra 54% anual ¿ Que cantidad se debe de pagar el 15 de mayo para saldar la deuda? 17. ¿ Cual es el saldo de una cuenta de credito, a la que se le carga 58% de interés simple anual, y que ha tenido los siguientes movimientos: 1° de marzo saldo...................................................$850 15 de marzo abono....................................................150 31 de marzo cargo.....................................................450 15 de mayo abono....................................................200 31 de mayo abono....................................................250 19. A las tasas vigentes actualmente ¿Qué cantidad recibiria usted por $1 000,000 a plazo fijo de: 28 dias; 91 dias; 180 dias. 20. ¿Qué cantidad se recibiria al final de una transacción por un pagare con rendimiento liquidable al vencimiento por $10,000 a un plazo de 3 meses, considerando las tasas vigentes? 21. Encuentrese el interés simple exacto y ordinario ; en tiempo Real y aproximado de un préstamo de $ 1,500 a 60 dias, con el 45% de interés anual simple. 22. ¿Qué forma de calcular el tiempo real u ordinario produce una mayor cantidad de intereses?. 23. De acuerdo con el tiempo ordinario. ¿ Cuanto dias transcurren del 15 de marzo al 18 de diciembre? 24. De acuerdo con el criterio real , ¿ Cuanto tiempo transcurre del 14 de mayo al 15 de noviembre? 25. ¿ A que tasa de interés simple anual $ 2,500 acumulan intereses por $500 en 6 meses.? 26. A que tasa de interés simple se duplica un capital en once meses? ( P = $1.00) 27. ¿ En que tiempo $2,000 se convierten en $2,500 al 54% de interés simple anual? 28. una persona presto $400. y 4 meses después cobro $440.¿ Que tasa anual de interés se pago? 29. Una persona obtiene un préstamo por $2,000 y paga después de 8 meses $2,400, ¿ Que tasa de interés mensual simple le cobraron? 30. Una bicicleta cuesta $800 . Un comprador paga $500 al contado y el resto a 60 dias, con un recargo de 5% sobre el precio inicial. ¿ Que tasa de interés anual simple le aplicaron? 31. ¿Cuál es la tasa de interés simple bimestral equivalente a una tasa del 66% anual? 32. ¿Cuál es la tasa simple anual equivalente a una tasa trimestral simple de 12.5%? 33. ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un pagare contratado el 15 de junio a un plazo de 120 dias? 34. una persona reembolsa $205.08 por un pagare de $185. firmado el 10 de mayo con un 38% de interés simple anual. ¿ Cuando lo pagp? 35. Una persona adquiere una licuadora que cuesta $150 el 14 de agosto y la paga el 26 de noviembre con un abono de $170.52. ¿Qué tasa de interés simple anual exacto pago? 36. El 15 de febrero se firmo un pagare por $1,500 con 52% de interés simple anual. ¿Emn que fecha seran $400 los intereses? 1. P = 3,500 – 1,500 = 2,000 M = P (1 + t i ) M = ? M = 2,000 (1 + (.3333) (.60)) t = 4 meses = .3333 M = 2,399.96 i = 60% 2. P = 4,000 I = P i t I = 4,000 (.0833) (.33) t = un mes = .0833 I = 110 i = 33% anual 3. P = 5,000 M = P (1 + t i ) M = ? M = 5,000 (1 + (3) (.052)) t = 3 meses M = 5,780 i = 5.2% mensual 4. P = 22,000 M = P (1 + t i ) M = ? M = 22,000 (1 +(2) (.02)) t = 2 meses M = 22,880 i = 2%mensual 5. P = ? M = P (1 + t i ) P = M (1 + t i ) M = 35,000 P = 35,000 (1 + (24) (.029) ) t = 24 meses = 2 años i = 2.9%mensual P = 20,636.79 6. P = ? M = P (1 + t i ) P = M (1 + t i ) M = 2,000 P = 2,000 (1 + (2) (.028) ) t = 2 meses i = 2.8%mensual P = 1,893.93 7. P = ? M = P (1 + t i ) P = M (1 + t i ) M = 5,000 P = 5,000 (1 + (.0016) (157) ) i = 60%anual = .60 / 365 = .0016 P = 3,996.16 tiempo real exacto .60 / 360 = .0016 t = del 11 de julio al 15 de diciembre P = 5,000 (1 + (.0016) (154) ) 20 19 31 30 P = 4,011.55 tiempo ordinario. 30 30 31 30 30 30 15 15 157 dias 154 dias 8. P = ? M = P (1 + t i ) P = M (1 + t i ) M = 3,500 P = 3,500 (1 + (122) (.0009) ) i = 36%anual = .36 / 365 = .0009 P = 3,153.72 tiempo real exacto .36 / 360 = .001 t = del 13 de enero al 15 de mayo P = 3,500 (1 + (122) (.001) ) 18 17 28 30 P = 3,119.42 tiempo ordinario. 31 30 30 30 15 15 122 dias 122 dias 9. P = ? P = M (1 + t i ) M = 850 P = 850 (1 + (.0833) (.40) ) t = 1 mes = .0833 i = 40 % anual P = 822.59 10. P = ? P = M (1 + t i ) M = 1000 P = 1000 (1 + (.1666) (.50) ) t = 2 mes = 0.1666 P = 1000 ( 1 + (2) (.0416)) i = 50 % annual 0 .0416 P = 923.10 P = 923.19 11.- P = 18,000 I = P i t I = ? I = 18,000 (.365) (.0833) t = un mes = .0833 I = 547.28 i = 36.5% anual 12.- P = ? I = P i t ; P = I / I t I = 450 P = 450 / (.40)(.0833) t = un mes = .0833 P = 13,513.51 i = 40% anual 13.- P = 1,200 I = P i t I = ? I = 1,200 (.5) (.60) t = 6 meses = .5 I = 360 i = 60% anual 14.- P = 7,500 I = P i t I = ? I = 7,500 (.0833) (.35) t = un mes = .0833 I = 218.66 i = 36.5% anual 15a).- P = 8,000 I = P i t I = ? I = 8,000 (.055) (6) t = 6 meses = .05 I = 2,640 i = 5.5% mensual 15b).- P = 7,500 I = ? I = 7,500 (0.0533) (6) = 2,398.5 i =64% annual = 5.3333 %mensual t = 6 meses 2,640 + 2,398.5 = 5, 038.5 16.- 54% t saldo debe haber saldo D i 14 de febrero al 26 de febrero 13 dias 450 450 (.54 /365) = 8.65 27 “ 30 de marzo 32 “ 450 150 600 “ = 28.41 31 de marzo al 14 de abril 15 “ 600 400 200 “ = 4.44 15 de abril al 29 de abril 15 “ 200 1000 1200 “ = 26.63 30 de abril al 14 de mayo 15 “ 1200 100 1300 “ = 28.85 96.98 1,300.- 1,396.98 17. i = 54% 54/365 = .001589 saldo inicial cargos abonos saldo final periodo tasa diaria intereses 850 850 1° marzo al 14 marzo 14 .001589 18.90 850 150 700 15 de marzo al 30 marzo 16 “ 17.79 700 450 1150 31 marzo al 14 mayo 45 “ 82.23 1150 200 950 15 mayo al 30 mayo 16 “ 24.15 950 250 700 31 mayo 1 “ 1.11 144.18 700. 844.18 19. P = 1 000,000 M = 1 000,000 (11.25) = 11 250,000 t = 28 dias 11.25 91 dias 12.30 M = 1 000,000 (12.30 ) = 12 300,000 7 dias 11.00 M = 1 000,000 (11.00) = 11 000,000 20. P = 10,000 t = 3 meses M = 10,000 (16.90) = 169,000 I = 16.90 21.- I = ? P = 1 500 I = 1 500 ( .45 365 ) ( 60 ) = 110.96 REAL t = 60 dias i = 45 % anual I = 1 500 ( .45 / 360 ) (60) = 112.5 APROX. 22.- ORDINARIO. 23.- Tiempo ordinario 15 de mar al 18 de dic. Mar.-15 Abr.-30 May 30 Jun.-30 Jul.-30 Agos.-30 272 dias Sep.- 30 Oct.- 30 Nov.- 30 Dic.- 17 24.- Tiempo real 14 mayo- 15 nov. Mayo 18, jun 30, jul 31, ago 31, sep. 30, oct. 31, nov. 14 = 185 dias 25.- i = ? P = 2 500 i = I / P t i = 500 / 2500 (6/ 12 ) = 0.4 = 40 % I = 500 t = 6 meses 26.- I = ? i = P = 1 i = I / P t = 1 / 1 (.91) = 1.09 = 109% t = 11 meses = 11/12 = .91 27.- t = ? t = I / P I P = 2,000 M = 2,500 t = 500 / 2000 (.54) i = 54%annual t = .4629 = 169 dias I = 500 28.- i = ? P = 400 i = I / P t M = 440 i = 40 / 400 (.3333) = .30 = 30% I = 40 t = 4 meses 4 / 12 = .3333 29.- i = ? P = 2 000 i = I / P t M = 2 400 i = 400 / 2000 (8) = .025 = 2.5% I = 400 t = 8 meses 30,. i = 66% anual .66/ 6 = .11 = 11% i = 11% bimestral 31.- i = 12.5% anual 12.5 (4) = 150% i = ? 32.- del 15 de junio= vencimiento = 13 de octubre jun.-16 jul 31 ago 31 sep 30 oct. 12 120 dias 35.- M = 205.08 t = M/P -1 i P = 185 i = 38%annual t = 205.08 / 185 –1 .38 / 365 = .1085 / .0010 = 108.5 t = ? t = 109 dias hoy = 22 mayo , jun 30; jul31, ago 26. = lo pago el 27 de agosto 36.- M = 170 .52 P = 150 i = M / P –1 t i = 170.52 / 150 - 1 104 t = 105 dias 14 de ago al 26 nov. i = .1368 / 104 = .0013 = 48% anual ago 18 sep 30 oct 31 nov 26 104 dias 37.- P = 1 500 i = 52% annual t = I / P i I = 400 t = 400 / 1 500 (.52 / 365) = 187 dias 15 de febrero vencimiento feb. 14 mar 31 abr 30 may 31 jun 30 jul 31 ago 20 187 dias ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES. Es frecuente que en las operaciones financieras existan 2 o mas operaciones diferentes que deban replantearse para exoresarlas en una operación unica. En su forma mas simple podria considerarse que la formula del monto de interés simple es una ecuación de valores equivalentes, es decir, el monto es equivalente a un capital colocado a una determinada tasa y durante un tiempo. Para determinar la equivalencia de distintas operaciones 8 contrataciones de deuda y pagos) es necesario encontrar el valor de las diferentes operaciones en una sola fecha para que sea posible compararlas, debido a que el valor del dinero es diferente en diferentes tiempos de acuerdo a como se plantean operaciones. La fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las distintas operaciones se conoce como fecha focal escogiéndose por conveniencia el monto en que se realiza el pago final para saldar todas las operaciones · Ejercicio: El 1° de enero una persona firma un pagare por $120,000 a 90 dias al 45% anual, 30 dias después contrae una deuda por $100,000 para pagarla 2 meses después sin intereses. Dos meses después de la primera fecha acuerda con un acreedor pagar $150,000 en ese momento y para saldar el resto de la deuda hacer un pago final 3 meses después de la ultima fecha con interés del50 %. Determinar el pago final convenido. En primer lugar , conviene identificar que son 4 las operaciones implicadas, dos de contratación de deuda y 2 de pago. Por otro lado observese que el valor total de las operaciones de adeudo debe ser igual al valor total de las operaciones de pago. Operaciones de contratación de deuda: I P = 120,000 i = 45% annual t = 90 dias = 3 / 12 = .25 II (30 dias despues) P = 100,000 i = o% t = 2 meses Operaciones de pago: a) pago 150,000 (2 meses después) i = 50% b) pago final (?) 5 meses después de la primera fecha. 0 1 2 3 4 5 120,000 100,000 150,000 I.- .- M = ? P = 120,000 M = P ( 1+ t I ) t = 90 dias = 3/ 12 = .25 M = 120,000 ( 1 + (.25) (.45) i = 45% annual M = 133,500 Para determinar la equivalencia es necesario encontrar el valor de las diferentes operaciones en la fecha focal. Fecha focal = 5 meses Plazo considerado = 3 meses Plazo por considerar = 2 meses M = ? P = 133,500 M = 133,500 ( 1+ (.1666) (.5) t = 2 / 12 i = 50% M = 144,625 0 1 2 3 4 5 45% 50% 120,000 133,500 144,625 II.- P = 100,000 i = 0% M = 100,000 t = 2 meses P = 100,000 i = 5’% M = 100,000 ( 1 + (.1667) (.5) t = 2 / 12 M = 108,333.33 0 1 2 3 4 5 100,000 100,000 108,333.33 0% 50% 30 dias despues se contratan $100,000 a 2 meses sin intereses, significa que al inicio del Segundo mes se contrata esta cantidad a pagar en 60 dias sin cargo financiero, o lo que es lo mismo , al inicio del tercer mes. Sin embargo al no liquidarse en la fecha pactada y siendo la tasa de liquidación convenida el 50% es necesario actualizar su valor por los dos meses restantes a la fecha focal. El valor de las dos deudas contraidas a distintos plazos y tasas de interés tienen un valor a la fecha focal de $144,625 mas $108,333.33 igual a $252,958.33 a) Tambien los pagos efectuados es necesario que se calcule su valor a la fecha focal. M = ? P = 150,000 i = 50% t = 3 / 12 = .25 0 1 2 3 4 5 50% 150,000 108,750 I + II = a + b 144,625 + 108,333.33 = 168,750 + b 252,958.33 = 168,750 + b b = 252, 958.33 – 168,750 b = 84,208.33 84,208.33 0 1 2 3 4 5 Fecha focal = 7 meses I.- M (a 3 meses) = 133,500 M = 133,500 ( 1 + (4/ 12 ) (.50) M = 155,750 50% 0 1 2 3 4 5 6 II.- M (a 2 meses) = 100,000 M = 100,000 ( 1 + ( 4 / 12 ) (.50) ) M = 116,666.66 a).- M = 150,000 ( 1+ ( 5 / 12 ) (.50) = 181,250. I + II = a) + b) = 155,750 + 116.666.66 = 181,250 + b B = 91,166.66 Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $ 200,000. con 40% de interés simple y que vence dentro de 4 meses. Ademas debe pagar otra deuda de $150,000. contraida hace dos meses con 35% de interés simple y que vence dentro de 2 meses. Considerando un interés de 42% ¿ Que pago debera hacerse hoy para saldar sus deudas si se compromete a pagar $100,000 dentro de seis meses. Fecha focal = hoy DEUDAS: I.- P = 200,000 II.- P = 150,000 i = 40% i = 35% t = 12 meses = un año t = 4 meses = 4 / 12 = .3333 PAGOS: A .- = hoy B.- 100,000 en seis meses I = 42% 200,000 150,000 100,000 hoy -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 . . . . . . . . . . 40% 35% 42% I.- M =200,000 ( 1 + (1) (.40) ) = 280,000 II.- M = 150,000 ( 1+ (.3333) (.35) ) = 167,500 Calculo en fecha focal : P = M 1 + t i P = 280,000 / 1 + (4/ 12) (.42) P 0167,500 1 + (2 / 12) (.42) P = 245,614 .03 P = 156,542.05 hoy -8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 150000 hoy 167500 200,000 40% 280,000 245,614 .03 156,542.05 I + II = 245,614.03 + 156,542.05 = 402,156.08 b) M = 100,000 t= 6 meses = 6 / 12 i= 42% P = 100,000 1 + (.5) (.42) P = 82,644.62 a) ? I + II = a + b 402,156.08 = a + 82,644.62 a = 319,511.46 1. Una persona debe pagar un pagaré como sigue.: $2,500.00 en tres meses y 8,500.00 en 6 meses (incluye intereses.¿qué cantidad deberá pagar hoy para saldar sus deudas, si se considera una tasa del 62% anual simple. I .- P = 2,500 1 + 3 / 12 (.62) II.- P = 8,500 1 +(6 / 12 )(.62) P = 2,164.50 P = 6,488.50 I + II = 8,653.- * como deuda que se adquiere en un dia determinado de $2,500 a pagar en 3 meses de $8,500 a pagar en 6, ya que no incluye intereses, la cantidad a pagar hoy es solo la suma de las deudas = $11,000. 2. Una persona adeuda $5,000.00 y debe pagarlos dentro de 8 meses. Si hace un pago de 3,000.00 dentro de dos meses ¿cuánto deberá pagar al cabo de los 8 meses si se considera la operación al 30% anual y la fecha focal es dentro de 8 meses? 2,250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5,000 3,000 6,000 30% I a) f f I .- P = 5000 M = 5,000 ( 1 + (8 / 12 ) (.30) i= 30% M =6,000 t= 8 meses a) P = 3,000 M = 3,000 ( 1 + (6 / 12 )(.30) ) i= 30% M = 3,450 + b t= 6 meses b ) = ? I = a + b 6,000 =3,450 + b b =2,550 3. Una persona presta el 14 de julio $3,500.00 a 5 meses y medio al 40% anual simple. También presta 4 meses después otros $2,000.00 con 54% de interés y vencimiento a 3 meses . si considera para la equivalencia una tasa del 55% ¿qué cantidad recibida por esta persona el 14 de diciembre liquidaria estos prestamos .? 0 1 2 3 4 5 6 7 2,270 14 jul 2000 54% 3,500 40% I .- P = 3,500 II.- P = 2,000 i= 40% t= 5.5 meses i= 54% M = 3,500 ( 1 + (5.5 / 12 ) (.40) t = 3 meses M = 4,141.67 M = 2,000 ( 1 + ( 3 / 12 ) (.54) M = 2,270 P = 4,141.67 / 1 + (.5 / 12 ) (.55) P = 2,270 / 1 + (2 / 12 ) (.55) P = 4,048.88 P = 2,079 .39 I + II = = 4,048.88 + 2,079 .39 = 6,128.27 4. Suponiendo que se cobra 5.5%mensual sobre los prestamos que hace, sobre prendas pignoradas ¿cuánto tendría que pagar dentro de 3 meses lapersona que empeñó hace un mes un televisor por el que le prestaron $ 800.00 y que el día de hoy empeña un reloj por el que le prestan $750.00 +1 0 1 2 3 800 750 I II a = ? 5.5%mensual 5.5mensual I.- P = 800 II.- P = 750 i = 5.5 mensual i = 5.5 % mensual t= 4 meses t = 3 meses M = 800 ( 1 + (.055) (4) M = 750 ( 1 + (.055) (3) M = 976. M = 873.75 I + II = a 976 + 873.75 = a a = 1,849.75 5. Una persona firma 3 pagarés : (a) uno por $400.00 para pagarlo en 4 meses con el 45$ anual (b) otro por $195.00 para pagarlo en 9 meses al 60% anual (c) el tercero por $ 350.00 para pagarlo en 5 meses sin intereses si al cabo de tres meses decide liquidar los tres documentos pagando $450.00 en ese momento y haciendo un pago final 6 meses después ¿cuál sería el importe de éste pago, si la operación de equivalencia se calcula con intereses del 61% anual . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 400 450 I II 350 III 45% 0% 60% 195 b = ? (61% anual) I) .- P = 400 M = 400 ( 1 + (4 / 12) (.45) ) i= 45% M = 460 t= 4 meses M = 460 ( 1 + (5 / 12 ) (.61) = 576.91 II).- P = 195 i= 60% M = 195 ( 1 + ( 9 / 12) ) ( .60)) t= 9meses M = 282.75 III).- P = 350 M = 350 M = 350 ( 1 + (4 / 12 ) (.61) ) i= 0 % M = 421.17 a) P = 450 M = 450( 1 + (6 /12 ) (.61) ..M = 587.25 i= 61% t= 6 meses I + II + III = a + b 576.91 + 282.75 + 421.17 = 587.25 + b b = 693,58 INTERES COMPUESTO GENERALIDADES En los problemas de interés simple , el capital que generan los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo . En cada intervalo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre el cuál se calcularán los intereses en el siguiente intervalo (capitalización de los intereses) , se dice que el interés es compuesto. En este caso el capital aumenta cada final de período, por adición de los intereses vencidos a la tasa convenida . 0 1 2 3 4 500 25 26.25 27.56 525 551.25 En períodos cortos se utiliza generalmente el interés simple. En períodos largos se utiliza casi exclusivamente el interés compuesto. PERIODO DE CAPITALIZACIÓN. El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral. Mensual,. Etc. Dicho período se denomina período de capitalización,. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión . EJEMPLO .- ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que paga el 5% de interés capitalizable trimestralmente . La frecuencia de conversión es igual a 4 . el período d capitalización es trimestral . TASA DE INTERES COMPUESTO. La tasa de interés se expresa en forma anual indicando su período de capitalización, por ejemplo 17% anual capitalizable mensualmente; 30% anual capitalizable semestralmente . Etc. Si el interés se expresa sin mención alguna respecto a su capitalización , se entiende que ésta ocurre anualmente . El período de capitalización y la tasa de interés compuesto siempre deberán ser equivalentes. El monto en el interés simple crece en forma aritmética, sus incrementos son constantes . El monto en el interés compuesto crece en forma geométrica . t M = P ( ( 1+ i ) ) EJERCICIOS: 1.Cuál es la tasa de interés por periodo de : a) 60 % anual capitalizable mensualmente................................................5 % .........12 b) 36% semestral capitalizable trimestralmente........................................18%..........4 c) 12% trimestral .....................................................................................12%..........4 (d) 15% anual ................................................................................15%..........1 (e) 18% anual capitalizable semestralmente....................................9%...........2 (f) 18% anual capitalizable mensualmente....................................1.5%.........12 (g) 6.5% mensual ...........................................................................6.5%.........12 2. Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos anteriores La frecuencia de conversión es 12. 3..- depositan $500.00 en un banco a una tasa de 48% anual capitalizable mensualmente. ¿cuál sería el monto acumulado en dos años. 24 i= 48% anual M = 500 ( 1 + .04) 4 % mensual M = 1,281.65 P = 500 t= 2 años = 24 meses 4.- se obtiene un préstamo bancario de $ 15.000.00 a plazo de un año y con interés del 52% anual convertible trimestralmente. ¿Cuál es el monto que deberia liquidarse? i= 52% anual = 13 trimestral 4 P= 15,000 M = 15,000 ( 1 + .13) t= 1año = 4 trimestres M = 24,457.10 5.- se decide liquidar el préstamo anterior en forma anticipada habiendo transcurrido 7.5 meses ¿cuál es la cantidad que debe pagarse . 2.5 i = 52% anual M = 15,000 ( 1 + .13) 13%trimestral P = 15,000 M = 20,360.45 t= 7.5 meses = 2.5 trimestre CALCULO DEL MONTO COMPUESTO El monto compuesto es el resultado que se obtiene al incrementar al capital original el interés compuesto . se recuerda que la definición de período debe ser la misma para el interés y para el tiempo. Para calcular la tasa de interés mensual se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversión . interés = tasa de interés anual Frecuencia de conversion Para determinar el tiempo se multiplica el lapso en años por la frecuencia de conversión Tiempo = lapso en años x frecuencia de conversion VALOR ACTUAL A INTERES COMPUESTO. El valor actual es el valor en un momento determinado en una cantidad que se recibirá o pagará en un tiempo posterior. Estamos en presencia de un problema de valor presente cuando se conoce el monto que debe pagarse o que se desea reunir y se quiere determinar el capital que es necesario invertir en el momento presente a una tasa de interés determinada . Se despeja el capital de la fórmula del monto quedando como sigue: Vp vf N n VF = VP ( 1 + i ) VP = VF ( 1 + I ) EJEMPLOS: 1.- Cuanto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $ 15,000.00 dentro de tres años y la tasa de interés es del 35% anual convertible semestralmente.? VP = ? VF =M = 15,000 n= 3 años i= 35% anual convertible semestralmente VP = 15,000 ( 1 + .175) 6 = = 5,699.85 i= .35 / 2 = .175 n = 3 x 2 = 6 semestres 2.- Una persona desea adquirir una casa con valor de $750.000.00 .le pidieron que entregue 50% de anticipo y el resto en un plazo de año y medio, al término de la construcción y entrega del inmueble ¿cuánto dinero debe depositar en el banco en este momento para garantizar la liquidación de su adeudo, si la tasa de interés vigente es del 45% anual capitalizable mensualmente? 18 VP = ? VP = 375,000 / (1 + .0375) VF = 375,000 n= 1.5 años x 12 = 18 meses VP = 193,305.01 i= 45 % anual / 12 = .0375 3.- Una compañía planea realizar una inversión de $100,000.00 para producir un artículo que espera le genere ingresos de $180,000.00 dentro de dos años. Si se considera una inflación promedio del 20% anual ¿conviene la inversión ? VP = 100,000 VF = 100,000 ( 1 + .20)2 n= 2 años VF = 144,000 obtiene $180,000 en lugar de $144,000 al i= 20 % anual invertir $100,000. VF = 180,000 VP = 180,000 / (1 + .20) 2 n= 2 años VP = 125,000. invierte $100,000 en lugar de $125,000 i= 20$ anual para obtener $180,000. 2 i= M - 1 = 180000 / 100000 = 34.16% P ¡SI CONVIENE LA INVERSIÓN! 4.- Una compañía minera ha descubierto una veta y debe decidir la conveniencia de su explotación . para su explotación es necesario realizar una inversión de $350,000.00 .se estima que la veta producirá solamente durante tres años y de acuerdo al precio vigente del metal los ingresos serían los siguientes: primer año $100,000.00 segundo año $200,000.00 tercer año $300,000.00. Considerando que la inflación para los próximos tres años es del 40% , ¿resulta rentable la inversión 0 1 2 3 350,000 100,000 200,000 300,000 VP = 100,000 / (1 + .4) 1 = 71,428.57 VP = 200,000 / (1 + .4) 2 = 102,040.81 =282,798.82 no conviene = 350,000 VP = 300,000 / (1 + .4) 3 = 109,329.44 TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA Tasa nominal de intereses.- Es la tasa de interés anual que rige durante el lapso que dura la operación . Tasa efectiva anuaL corresponde a la tasa de interés efectivamente pagada cuando el interés se capitaliza en periodos menores a un año; semestralmente, trimestralmente ,etc. TASA de interés Equivalente.- Se dice de la tasa de interés con diferentes periodos de capitalización, que producen el mismo interés compuesto al cabo de un año Ejemplos: 1) ¿ Cual es la tasa efectiva de interés que se recibe de un deposito bancario de $1,000 pactado al 18% de interés anual convertible mensualmente?. t VP = 1000 VF = VP (1 + i) 12 i = 48% anual VF = 1000= (1 + .48 / 12 ) t = 1 año VF = 1,601.03 I = M – P I = VP – VF I = 1,601.03 – 1,000 = 601.03 Tasa efectiva = intereses ganados / VP = 601.03 / 1000 = 60.10% 60.10% es equivalente a 40 % anual capitalizable mensualmente. Nota.- La tasa efectiva es de 60,10% anual. La tasa equivalente del 40% capitalizable mensualmente es igual al 60.10%anual. Tasa equivalente: m C ( 1 + i) = C (1 + j / M ) m = frecuencia de capitalización j = tasa de interés. Se dividen ambos miembros de la ecuación para eliminar, queda asi: m ( 1 + i ) = ( 1 + j / m ) i = ( 1 + j / m )m – 1 tasa efectiva. M 12 Con el ejemplo anterior: i = ( 1 + j / m ) i = ( 1 + .48 / 12 ) -1 ; i = 60.10% 2) . ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $5,000 que se pacto al 55% anual convertible trimestralmente? m VP = 5,000 i = ( 1 + j / m ) j = 55% anual / 4 4 t = 1 año = 4 trimestres i = ( 1 + .55 / 4 ) -1 I = 67.41 % VF = VP ( 1 + I ) t I = VF - VP VF = 5,000 ( 1 + .1375 ) 4 I = 8,370.96 - 5000 VF = 8,370 .96 I = 3,370.96 i f = 3,370.96 / 5 000 = .6741 3) Determinar la tasa nominal convertible trimestralmente que produce un rendimiento del 40% anual. Despejar j i = ( 1 + j / m ) m-1 i + 1 = ( 1 + j / m ) m m I + 1 -1 = j / m m ( m i + 1 -1 = j / m m m ( 1 + I - 1 ) = j m j = m I + 1 - 1 ) sustituyendo. 4 J = 4 ( .4 + 1 - 1 J = .3510 J = 35.10% anual capitalizable trimestralmente equivalente al 40% anual. 4) ¿Cuál es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa del 48% anual convertible trimestralmente? Puesto que ambas tasas son convertibles en periodos distintos deben igualarse a su plazo anual. j = x / 12 j = 48% / 4 a) Una tasa nominal j convertible mensualmente es igual a una tasa efectiva. i = ( 1 + j / m ) m I = ( 1 + j /12 ) 12 b) Una tasa nominal de 48% convertible trimestralmente es igual a una tasa anual efectiva. Igualando ambas tasas efectivas : (1 + j / 12 )12 = ( 1 + .48 / 4 ) 4 las dos expresadas a un año analizando: ( 1 + j / 12 ) 12 / 12 = ( 1 + .48 / 4 ) 4 / 12 ( 1 + j / 12 ) = ( 1 + .48 / 4 ) 1 / 3 12 ( ( 1 + .48 / 4 ) 1 /3 -1 ) j = 46.20 % convertible trimestralmente ANUALIDADES Las anualidades son una serie de pagos iguales que se hacen a intervalos fijos a lo largo de un numero especifico de periodos. Por ejemplo: $100 al final de cada uno de los tres años siguientes es una anualidad de 3 años. Valor Futuro de Anualidades Ordinarias o diferidas.- Es la anualidad cuyos pagos (PMT) ocurren al final de cada periodo y en la que cada pago se sujeta a un proceso de composición hasta el final del periodo n , y la suma de los pagos compuestos es el valor futuro de la anualidad. Este es el tipo de anualidad mas comun. VFAo = PMT ( ( 1 + i ) n - 1 i ) Valor Futuro de Anualidades Pagaderas.- Es la anualidad cuyos pagos ocurren al inicio de cada periodo , por lo tanto cada pago se sujeta a un periodo de composición por un año adicional. VFAp = PMT (( 1 + i ) n - 1 i ) ( 1 + i) 1.- utilizando el metodo de la linea del tiempo y la formula correspondiente . calcule el valor futuro de una anualidad de 3 años con pagos periodicos iguales al final de cada periodo de $500 cada uno al 18% de interés anual. PMT = 500 i = 18% anual n = 3 años 0 1 2 3 500 500 500 VFAo = 500 ( ( 1+ .18 ) 3 -1 .18 ) = 1,786.2 PMT = VFAo PMT = 1,786.2 ( ( 1 + i ) n -1 ) ( 1 + .18 )3 - 1 ) PMT = 500 i .18 2.- Calcule el valor futuro de una anualidad de 4 años con pagos periodicos al inicio de cada periodo de $750 cada uno al 22 % anual PMT = 750 i = 22% anual n = 4 años VFAp = PMT ( ( 1 + i )n – 1 i) ( 1 + i) VFAp = 750 ( ( 1 + .22 )4 – 1 .22) ( 1 + .22) VFAp = 5,054.68 PMT = VFAp ( ( 1 + i )n - 1 .22 ) ( 1 + i ) PMT = 5,054.68 ( ( 1 + .22 )4 - 1 .22 ) ( 1 + .22 ) PMT = 750 3.- Si consideramos que hoy es 13 de octubre de 2001 y se desean hacer pagos iguales cada aniversario a partir del año 2002, hasta el 2006 con el propósito de acumular $5,000. ¿Qué tan grandes deberan ser estos pagos si la tasa de interés es del 30% anual? 0 1 2 3 4 5 2000 2001 2002 2003 2004 2005 $5,000 PMT = VFAo PMT = 5 000 ( ( 1 + i ) 5 -1 ) ( 1 + .30 )5 - 1 ) PMT = 552.90 i .30 VFAo = 5 000 ; i = 30% annual ; n = 5 4.- Calcule el efecto en los ejercicios anteriores si los pagos se efectuaron al inicio de cada uno de los periodos de pago . PMT = 500 i = 18% anual n = 3 años 0 1 2 3 500 500 500 VFAp = 500 ( ( 1+ .18 ) 3 -1 .18 ) (1 + .18) = 2,107.71 las anualidades no siempre se refieren a periodos anuales de pago, por ejemplo: a) los pagos mensuales de renta b) el cobro semanal o quincenal de sueldos c) los abonos mensuales a una tarjeta de credito d) los pagos de primas de polizas de seguros, e) etc. Se conoce como intervalo o periodos de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y el final del ultimo. Renta o Pago .- es el nombre que se le da al pago periodico que se hace. Tambien hay ocaciones en las que las anualidades no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos en intervalos iguales. Estas anualidades se denominan corrientes desiguales del flujo de efectivo. CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES: a) tiempo: ciertos y contingentes b) intereses: simples y generales c) Pagos : ordinarios y anticipados d) Iniciación: inmediatos y diferidos. 1.-Que cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $100,000.00 al finalizar cada mes al 36% anual convertible mensualmente VFAo = M = ? PMT = 100,000 ; i = 36% anual ; n = 6 meses M = PMT ( 1 + i ) n – 1 i M = 10000 ( 1 + .36 / 12 ) 6 – 1 .36 / 12 M = 646,840.98 2.- Cuál es el monto de $ 2000,00 semestrales depositados durante 4 y medio años en un banco que paga el 28% anual capitalizable semestralmente PMT = 2 000 i = 28% anual- semestralmente ; n = 4.5 años = 9 semestres M 2 000 (1 + .28 / 2) 9 - 1 .28 / 2 M = 32,170.69 3.- Se depositan $100.00 al mes de haber nacido su hijo y continúa haciendo depósitos mensuales por esa cantidad hasta que su hijo cumple 18 años, para que en ese día le entregue lo acumulado como herencia. Si durante los primeros 6 años la cuenta para 36% anual convertible mensualmente y durante los ultimos 12 años pagó el 2% mensualmente¡ ¿cuánto recibió su hijo como herencia? PMT 100 ; n = 6 años x12 = 72 meses ; i = 36 % anual- semestralmente M = 100 ( 1 + .36 / 12 )72 - 1 .36 / 12 = 24,666.72 144 PMT 100 ; n = 12 años x12 = 144 meses ; i = 2 % mensual M= 24,666.72 ( 1 + .02 ) = 427,106.45 M = 100 ( 1 + .02 ) 144 - 1 = 81,575.44 .02 _________ 508,681.89 4.- cuál es el valor actual de una renta bimestral de $450.00 depositados al final de cada uno de 7 trimestres si la tasa de interés es del 9% trimestral PMT = 450 ; n = 7 trimestres ; i = 9% trimestral VPAo = PMT ( 1 / i - 1 / i ( 1 + i ) n VPAo = 450 ( 1 / .09 - 1 / .09 ( 1 + .09 ) 7 VPAo = 450 ( 11.11 - 6.0781) VPAo = 2,264.35 5.- Cúal es el valor efectivo de una anualidad de $ 1000.00 al final de cada 3 meses durante 5 años suponiendo un interés anual del 26% convertible trimestralmente . PMT = 1 000 ; n = 5 años = 20 trimestres ; i = 26% 26 / 4 = 6.51 VPAo = PMT ( 1 / i - 1 / i ( 1 + i ) n VPAo = 1000 ( 1 / .065 - 1 / .065 ( 1 + .065 )20 VPAo = 1000 (15.38 - 4.36) VPA0 = 11,020. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA . El cálculo del valor presente de una anualidad sirve para conocer que tan grande deberá ser el pago de la suma acumulada el día de hoy para que sea equivalente al valor futuro de una anualidad . VPAo = PMT 1 / i - 1 / i ( 1 + i ) n 6.- Que es más conveniente para comprar un automóvil, pagar 26,000.00 de contado o $13,000.00 de enganche y $1300.00 al final de cada uno de los 12 meses siguientes si el interés se calcula a razón del 42% convertible mensualmente PMT = 1 300 ; n = 12 meses ; i= 42% anual 42 / 12 = .035 mensual VPAo = 1 300 1 / .035 - 1 / .035 ( 1 + .035 )12 VPAo = 1 300 (28.57 - 1 890) VPAo = 12 , 571.- + 13,000 = 25,571 vs. 26,000 7,. – Encuentrese el importe pagado en valor actual por un aparato electrónico por el que se dio un anticipo de $1400.00 , se hicieron pagos mensuales iguales vencidos por $160.00 y un último pago el día 31 del octavo mes por $230.00. Se considera un interés del 27% anual con capitalización mensual,. PMT = 160 ; n = 7 meses ; i = 27% anual = .0225 mensual VPAo = 160 1 / .0225 - 1 / .0225 ( 1 + .0225 )7 VPAo = 160 ( 44.44 - 38.03) VPAo = 1,025.6 n = 8 meses VP = VF / (1 + I )n = 230 i = .025 (1 + .0225) 8 VF = 230 VP = 193.33 1 400 + 1 025.6 + 193.33 = 2,618.93 RENTA ES EL PAGO PERIÓDICO QUE SE REALIZA CON intervalos iguales Ejemplo: 1—Una persona adquiere hoy a crédito una máquina de coser que cuesta $ 975.00 y se conviene en pagarla en 4 mensualidades vencidas ¿cuánto tendrá que pagar cada mes si le cobran el 3.5% mensual? VFAo = 975 ; n = 4 meses ; i = .035 VFAo = PMT ( 1 + i ) n - 1 i PMT = VFA ( 1 + I )n - 1 I PMT = 975 PMT = 231.32 ( 1 + .035 ) 4 -1 .035 2.- Cuanto se tiene que invertir al final de cada mes durante los próximos 5 años en un fondo que paga el 33% anual convertible mensualmente con el objeto de acumular $ 100,00.00 al realizarse el último pago . VFA = 100,000 ; n = 84 meses ; i= 33% anual- mensualmente = .0275 mensual PMT = VFAo (1 + i ) n – 1 i PMT = 100,000 (1 + .0275 ) 84n – 1 .0275 PMT = 313.75 3.- Una persona debe pagar $3000.00 al final de cada año . ¿cuánto tendrá que pagar al final de cada año para sustituir el pago anual, si se considera un interés del 25% anual convertible mensualmente . PMT = VFAo 3000 PMT = 222.64 ( 1 + i )n - 1 (1 + .02083 )12 - 1 I .02083 Plazo.- es el tiempo de una anualidad y se calcula por medio del número de períodos de pago (n) ejemplo: 1.- cuantos pagos de 94.76 el final de cada mes tendía que hacer el comprador de un horno de micro ondas que cuesta $850.00 si da $350.00 de enganche y acepta pagar el 45.6% de interés capitalizable mensualmente ? PMT = 94.76 VPAo = PMT ( 1 / I – 1 / I(1+I)n VPAo = 850 - 350 = 500 500 = 94.76 ( 1 / .038 – 1 / .038(1+ .038) n t = 45.6% / .038 VPAo x I PMT = ( 1- 1 / 1+I )n 500 x .038 = ( 1 – 1 / (1+.038 )n 94.76 1 .200506542 = 1 - (1.038)n .200506542 -1 = - 1 (1.038)n 1 = 1 - .200506542 (1.038)n 1 = .799493458 (1.038)n (1.038)n = 1 / .799493458 (1.038)n = 1.250792 n log. 1.038 = log. 1.250792 n = log1.250792 / log.1.038 n = 6 ¿cuántos pagos bimestrales vencidos de $ 145.00 se tendrían que hacer para saldar una deuda pagadera hoy de $ 800.00 si el primer pago se realiza dentro de dos meses y el interés es del 11% bimestral . PMT = 145 ; VPAo = 800 ; i = 11 % bimestral ; n = ‘ bimestral VPAo = PMT ( 1 / I – 1 / I(1+I)n 800 = 145 ( 1 / .11 - 1 / .11(1+.11)n 800 x .11 / 145 = 1 – 1 / (1- .11 )n .606896551 =1 - 1 / (1.11)n 1/ (1.11)n = 1 - .606896551 1/ (1.11)n = .393103448 (1.11 )n = 1 / .393103448 (1.11)n = 2.543859651 n log. 1.11 = log. 2.543859651 n = log 2.543859651 / log. 1.11 n = 9 ANUALIDADES ANTICIPADAS. Simples.- porque el período de pago coincide con el de capitalización Ciertas .- porque se conoce la fecha de los períodos . Anticipadas.- porque el pago se efectúa el inicio de cada período . Inmediatas.-porque el período de pago se inicia al cerrarse la operación . MONTO Y VALOR ACUTAL. EJERCICIOS:} 1.- un obrero deposita en una cuenta de ahorros $ 50.00 al inicio de cada mes, si la cuenta paga el 2.3 % de interés mensual ¿cuánto habrá ahorrado durante el primer año? PMT 50 ; i = 2.3 % mensual ; t = 12 meses VF = ? VF = PMT ( ( 1+ i )n –1 / i ) ( 1+i ) VF = 50 ( (1+ .023)12 –1 / .023 ) (1+ .023) VF = 697 .72 2.- encontrar el monto de seis pagos semestrales anticipados de $1450.00 cada uno si el interés e3l dell 27% anual convertible semestralmente. PMT = 1 450 ; i = .27 / 2 = .135 ; n =6 ; VF = ? VF = 1450 ( ( 1+.135)6 –1 / .135 = 13 871.11 3.-Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $750.00 de renta por anticipado. Como desea liberarse del compromiso mensual decide proponer una renta anual equivalente y también anticipada si se c alculan los intereses al 37.44 % anual convertible mensualmente ¿de cuanto debería ser la renta anual . PMT = 750 ; i = .3744 / 12 = .0312 ; n=12 meses ; VP =? VP = PMT ( 1-(1+i ) –n ) (1+i) VP = 750 ( 1- ( 1 + .0312 )-12 / .0312 ) (1+.0312) VP = 764357 5. El 12 de enero un deudor acuerda pagar mediante 8 pagos mensuales de $350.00 haciendo el primero el 12 de julio del mismo año- . si después de realizar el quinto pago deja de hacer los siguientes, ¿ que pago único deberá hacer al vencer el último pago pactado originalmente para saldar la deuda si el interés se calcula al 43.96% con capitalización mensual .? PMT = 350 ; i = 4396 / 12 = .0366 ; n= ? 12/01 12/02 12/03 12/04 12/05 12/06 12/07 12/08 12/09 12/10 12/11 12/12 12/01 12/02 350 350 350 350 350 350 350 350 1° 2° 3° 4° 5° VFAo = PMT x (1+ i)n / i VFAo = .350 x ( 1+ .366 )8 –1 / .0366 VFAo = 3 186.17 (original) VFAo = .350 X (1+ .0366 )5 –1 / .0366 VFAo = 1882.87 ( 1 + .366)3 VFAo = 2 097.26 periodo que falta 3 meses. 3,186.17 - 2,097.26 = 1,088.91 ANUALIDADES GENERALES. Las anualidades generales son aquellas en las que el período de pago no coincide con el período de capitalización se clasifican en ciertas, anticipadas, vencidas e inmediatas. La forma más sencilla de resolver este tipo de anualidad4es es modificarlas para que se ajusten al caso simple[período de capitalización y de pagos iguales] y luego utilizar las formulas para encontrar los valores deseados. Existen dos maneras principales de convertir anualidades generales en anualidades simples: (a) encontrando la tasa de interés equivalente. (b) encontrando la renta equivalente) hay dos casos de anualidades generales. 1.- el período de pago es más largo que el período de capitalización. ejemplo : encontrar el monto de un conjunto de 4 pagos al final de cada trimestre de $ 50.00 cada uno si el interés es del 36% anual convertible mensualmente. M = ? 0 1 2 3 4 PMT = 50 50 50 50 50 i= .36 / 12 = .03 mensual n = 4 trimestres (a) tasa de interés equivalente.- encontrar la tasa trimestral efectiva equivalente a una tasa mensual efectiva del 3% considerando tres períodos de interés por período de pago . i’ = ( 1+i )p –1 i’ = (1 +.03 )3 –1 i’ = .092727 con la tasa efectiva trimestral la anualidad general se convierte en simple. M = PMT ( 1+.092727)4 -1 / i M = 50 ( 1+ .092727) 4 –1 / .092727 = 229.58 (b) renta equivalente de $50.00 trimestrales considerando $50.00 como su valor futuro (período de capitalización mensual ) PMT = VF (i) / (1+i)n -1 VF = PMT ( 1+i )n -1 / i ; PMT=50 (.03) / (1+1.03)3 -1 VF = 16,1765 ( 1+.03 )12 -1 / .03 PMT = 16.1765 VF = 229.5773 2.- el período de capitalización es más largo que el período de pago . ejemplo , encontrar el monto de un conjunto de 10 depositos mensuales de $250.00 cada uno si el interés que se gana es del 30% convertible semestralmete . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PMT$250 cada semestre capitalización a) Encontrar tasa mensual efectiva equivalente a una tasa semestral efectiva del 15% i’ = (1+ i )p -1 i’ = (1 + .15 )1/6 –1 i’ = .023567 = 2.3567 % mensual VF = PMT (1+I )n –1 / I = 250 (1+.023567 ) 10 -1 / .023567 VF = 2 782.40 b) VF = PMT ( 1+I )n -1 / i = 250 (1+.023567 )6 -1 / .023567 = 1 591.20 VF = 1 591.20 ( 1+ .15 ) 10 / 6 -1 / .15 = 2 782.49 Un pago semestral que equivale a 6 pagos mensuales. ANUALIDADES GENERALES ANTICIPADAS . 1.- Cual es el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $250.00 si el interés es del 42% capitalizable cada cuatro meses 2.- que depósito anticipado quincenal se debe hacer durante 5 bimestres para acumular $3900.00 quince dias después de realizar el último deoósito si el dinero produce el 24% capitalizable cada mes , ANUALIDADES GENERALES DIFERIDAS. L ANUALIDADES DIFERIDAS EN este tipo de anualidad el inicio de los cobros o depósitos se pospone para un período posterior al de la formalización de la operación . Las anualidades diferidas pueden ser simples y ciertas Ejemplo: 1.- en noviembre una tienda ofrece al público un plan de ventas de compre ahora y pague después . con este plan deseamos adquirir un escritorio que se recibe el primero de noviembre y que se debe pagar mediante 12 mensualidades de $180.00 a partir del primero de enero del año siguiente. Si s4e considera el interés al 33% anual convertible mensualmente ¿cuál es el valor de contado del mueble? 2.- cuál es el valor actual de una renta semestral de $6,000.00 durante siete años si el primer pago semestral se realiza dentro de tres años y el interés es del 17% semestral? 3.- calculese el valor actual de 9 pagos bimestrales de $ 500.00 con interés del 5.28% bimestral anticipado . 4.- en una tienda se vende una bicicleta por $800.00 al contado o mediante 5 abonos mensuales anticipados. Si el interés es del 32.24% convertible mensualmente calculese el pago 5.- una persona debe pagar $ 9,000.00 dentro de dos años y para reunir esta cantidad decide hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% bimestral ¿ de cuanto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primer pago. Al cumplir 21 años una persona deposita $ 5,000.00 en una cuenta de inversión que produce el 33.5% capitalizable mensualmente . si desea comenzar a hacer retiros trimestralmente de $ 1500.00 el día de su cumpleaños 25 , que edad tendría al realizar el último retiro de 4 500.00 3 meses después de haber hecho el último retiro completo. AMORTIZACIONES Y FONDES DE AMORTIZACIÓN Amortizar significa saldar gradualmete una deuda mediante una serie de pagos generalmente iguales a intervalos iguales . El importe del préstamo se considera como el valor presente de una anualidad (PMT) Desconocida por años a cierta tasa de interés y durante cierto tiempo conocido y donde el valor futuro es cero . Fondo de amortización. Es lo copntrario de la amortización, en este caso se habla de una deuda a pagar a futuro para lo cuál se acumulan los pagos periódicos en un fondo con objeto de tener en es fecha futura la cantidad necesaria . Tablas de amortizacoión.- los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses y a reducir el importe de la deuda. La tabla de amortización muestra lo que sucede a los pagos, los intereses, la deuda, la mortización del préstamo y el saldo por pagar |
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