Una aproximación
a la Didáctica en el Proceso del Aprendizaje de las Matemáticas
Resumen
Introducción
Análisis
de la Problemática
La escuela
La Secundaria
Propuesta
Estructuralismo
Mecanicismo
Empirismo
Realismo
Conclusiones
Para empezar es necesario hacer referencia a aquella
frase pronunciada por Santo Tomás de Aquino que dice: “Si un hombre puede
enseñar a otro Hombre”, se debe analizar la vigencia de este cuestionamiento a
la luz de las teorías actuales, es necesario hacer una revisión del concepto
mismo de enseñanza porque no refleja la esencia del proceso, en la actualidad
si consideramos la teoría de Vigotsky
en la que el ser humano es un ser eminentemente social y su contribución a la
cultura se da desde su misma condición de ser social. Por otro lado la teoría
de Piaget nos muestra que el proceso de aprendizaje sigue el mismo camino del
proceso de desarrollo de la naturaleza y la sociedad, es decir, es un proceso
dialéctico, en la que las contradicciones son las que determinan el desarrollo
del conocimiento del individuo; las contradicciones entre lo que se sabe y no
se sabe es la situación conflictiva que se presenta cuando los conocimientos
que posee el sujeto no es suficiente para afrontar nuevos problemas, por
consiguiente la reacomodación del sistema de conocimientos que posee el
individuo es una necesidad del desarrollo intelectual. Finalmente si se habla
del aprendizaje significativo se esta haciendo referencia al sistema de
conocimientos del individuo, es decir, que el aprendizaje debe ser
significativo para uno mismo
Hechas las consideraciones si
estamos interesados en el desarrollo independiente del ser humano este debe ser
el sujeto activo de su propio aprendizaje, por tanto el papel que le
corresponde desempeñar al sistema educativo es la apoyar el desarrollo del
individuo, el sistema educativo comprende al profesor, los programas, la
administración, los objetivos y los métodos. De la misma forma que se ayuda a
un niño a caminar en forma independiente, el rol que el sistema educativo debe
desempeñar es el de ayudar al estudiante a aprender por si mismo, de esta
manera se esta contribuyendo a formar el pensamiento crítico y divergente.
La problemática en el
aprendizaje de las matemáticas, es un problema del sistema educativo, es
necesario aclarar que el aprendizaje de otras ciencias no es mejor que el
aprendizaje de las matemáticas. Aparentemente la utilidad de esta ciencia
carece de sustento cuando se habla de derecho como carrera universitaria, sin
embargo, un aprendizaje mal orientado en matemáticas influye en la calidad del
profesional, cualquiera sea su área de conocimiento.
El rechazo de las matemáticas
por parte de los nuevos universitarios es un problema muy complejo y las fallas
en el proceso se arrastran desde la escuela, se puede notar que existe una
sucesión de errores de: concepción, metodología y orientación, cabe aclarar que el núcleo familiar también recicla
el problema del rechazo a las matemáticas, es muy común escuchar frases como: “
La matemática es muy difícil de aprender”, “sólo los mas capaces están en
condiciones de dominarla”, “la matemática es una ciencia exacta, por tanto es
rígida y hay que tener mucha dedicación e inteligencia para calcular”, y así,
se puede observar una serie de expresiones que fomentan el rechazo y que están
enraizadas en la cultura misma de ahí que sobran razones para no esperar una
aceptación masiva de las matemáticas por parte de los estudiantes.
Es necesario en términos
generales precisar los orígenes del “bajo rendimiento” en matemáticas, cabe
aclarar que el bajo rendimiento no es sólo en matemáticas por la influencia que
esta tiene en las demás materias estas no están en mejor situación, solo que en
el caso específico de las matemáticas el problema es más notorio.
En primer término se debe
destacar que los primeros pasos que se da en la escuela en cuanto a las
matemáticas en general se estimula el miedo al castigo y no así la motivación
por aprender, si observamos el papel
del profesor, por lo general existe un desconocimiento de las orientaciones
sobre el aprendizaje de matemáticas, es decir el profesor desconoce la existencia
de corrientes como el estructuralismo, el empirismo, el mecanicismo y el
realismo, por tanto se orienta por la imitación o por lo que considera que es
mejor y lo mejor siempre resulta lo que sus profesores practicaban, si bien
desconocen la existencia de las corrientes metodológicas terminan aplicando la
peor de ellas: el mecanicismo, a todos consta por propia experiencia que hay
que empezar aprendiendo la tabla de multiplicación de memoria sin haber
entendido el concepto de multiplicación, nada les costaba explicar que la
multiplicación es equivalente a la suma, este es solo un ejemplo. Las
matemáticas se comparan con una carrera de obstáculos en la que la misma
partida es un obstáculo. La metodología esta mal orientada o simplemente no
existe, los profesores de matemáticas por lo general son los más temidos porque exigen rigor y exactitud en los
resultados, pareciera que las matemáticas se reducen a hacer cálculos. El
siguiente obstáculo es aprender los pasos para hacer las multiplicaciones
primero de una cifra después de dos de tres, etc. Es una tortura para el
estudiante realizar hojas y hojas de ejercicios de multiplicación y división,
es una excelente aplicación del mecanicismo según esta la práctica es la única
forma de aprender; es lo que creen muchos profesores de primaria, el estudiante
ya es capaz de realizar multiplicaciones hasta de 4 cifras pero no entiende aún
el concepto de multiplicación y división. No se aprovecha el carácter
instrumental de las matemáticas para desarrollar la creatividad y las
estructuras del conocimiento, es natural que cuando no existe una metodología
coherente se genere un rechazo inducido hacia las matemáticas.
Otro problema es la
utilización inadecuada de los libros de texto, la reforma educativa entre sus
previsiones dota de material didáctico a las escuelas, sin embargo, de manera
inexplicable los profesores se sienten tentados a utilizar textos como
“Santillana” y otros que aparte de ser costosos su valor educativo es de dudosa
efectividad. Es necesario hacer un análisis sobre las estrategias y
motivaciones de los profesores para optar por alternativas que lejos de
facilitar al estudiante su aprendizaje cumplen un objetivo que es justamente el
que perjudica el desarrollo del estudiante, habrá que hacer mención a la poca
atención que se da desde niveles de gobierno para mejorar y dignificar la labor
docente, los salarios de miseria obligan a los más débiles a buscar
alternativas de ingresos vía comisiones con las editoriales que necesitan
vender sus textos, es una situación lamentable que el daño se produzca por
factores ajenos a la actividad educativa como es la corrupción. A propósito de
la pertinencia de aplicar libros de texto habrá que estudiar sobre su
efectividad, muchos de ellos por no decir todos en lugar de ayudar perjudican,
ni siquiera el lenguaje empleado es el adecuado, si nuestro objetivo es
incentivar la lectura no debemos poner obstáculos a las motivaciones de los
estudiantes para desarrollar su independencia cognoscitiva.
Los problemas que se dan en
la educación primaria no cambian en lo fundamental cuando se pasa a secundaria,
el estudiante debe memorizar formulas para resolver ecuaciones de segundo grado
por ejemplo, otro tormento para el estudiante es hacer ejercicios sobre expresiones
algebraicas como ser factorizaciones, simplificaciones, multiplicaciones, etc,
además, se debe aprender de memoria los diez casos de factorización, y los
casos particulares, hasta aquí se ha estado trabajando con variables pero el
estudiante no entiende lo que es una variable y menos lo que es una función,
otra vez se repiten los errores de la educación primaria, al estudiante no se
le ayuda a desarrollar su capacidad creativa ni sus estructuras meta
cognitivas, el mecanicismo es nuevamente el método por excelencia, lo mas fácil
es mandar a memorizar formulas que obtenerlos a partir de un razonamiento
lógico, los problemas no tienen relación alguna con el contexto en el que el
estudiante se desarrolla por tanto, lejos de motivarlo cumple el objetivo diametralmente
opuesto. El aprendizaje deja de ser significativo, y no se crean las
condiciones para generar contradicciones en el sistema de conocimientos,
también el aprendizaje no es significativo para el estudiante.
La experiencia demuestra que
la tendencia generalizada al momento de elegir una carrera es la carga de
materias relacionadas con las matemáticas existentes en el plan de estudios
como factor determinante, en la mayoría de los casos el estudiante aprendió a
odiar las matemáticas sin haberla conocido, de ahí que no conoce sus propias
potencialidades y tiene una autoestima muy devaluada en relación a su
capacidad; un obstáculo que se debe superar, los años que se paso entre la
primaria y secundaria prácticamente no sirven de nada porque es necesario
empezar a repasar las matemáticas desde sus conceptos mas elementales, en la
mayoría de las Universidades, como es natural los cursos de refrescamiento
también adolecen de las fallas que se arrastran desde la educación primaria y secundaria.
Un primer problema en el
aprendizaje de matemáticas en la universidad es que las materias no tienen la
nomenclatura adecuada, por ejemplo se denomina calculo I, calculo II, III, IV,
en lugar de denominar funciones de variable real, derivadas e integrales,
ecuaciones diferenciales, variable compleja, etc. la denominación se convierte
en un estimulante para motivar al estudiante cuando este domina la terminología
de lo que esta estudiando.
Las matemáticas como un
sistema de conocimientos bien estructurado tiene su propio lenguaje que ha sido
desarrollado a lo largo de la historia, a diferencia de otras ciencias el
lenguaje matemático tiene el propósito de caracterizar los hechos y las reglas
de razonamiento con precisión alejando así las ambivalencias propias del
lenguaje natural. A propósito del carácter instrumental del lenguaje natural
planteado por Vigotsky en la formación de las estructuras cognoscitivas del
sujeto, es necesario considerar el mismo como un producto de la cultura, un
producto social en constante evolución, de ahí que para Vigotsky la educación
es una actividad social en el que se crean entornos alrededor del sujeto que
pueden ayudar o pueden perjudicar su aprendizaje, los entornos referidos por
Vigotsky como la ZDP (zonas de desarrollo proximales) no se reducen al papel de
la escuela en la formación educativa, si no que existen entornos como la misma
sociedad con sus estereotipos, los medios de información, el entorno familiar,
también hay entornos que se circunscriben al propio desarrollo del sujeto en
cuanto al relacionamiento de sus conocimientos actuales, los conocimientos que
le falta estructurar y los conocimientos que esta tratando de sistematizar,
otro entorno que no deja de ser menos importante es el contexto histórico en
los que el conocimiento se desarrolla. El lenguaje tiene una utilidad
instrumental porque es un conjunto de símbolos dotados de reglas de
construcción y su aplicación en la comunicación genera lo que se llama la
interpretación semántica, es decir que cuando se intenta comunicar alguna idea
se forma un vínculo del emisor y el receptor por medio de un canal; el canal no
es mas que una secuencia de símbolos dotados de alguna estructura (una frase,
un discurso, etc). El proceso de
comunicación se desarrolla partiendo del emisor que codifica la idea en una
secuencia de símbolos, el receptor capta una la secuencia de símbolos y
decodifica de manera que la idea que el emisor necesita transmitir se reproduce
en el receptor, este proceso tiene una analogía con el proceso de transmisión
de datos en redes de computadoras si entendemos que el lenguaje de las máquinas
consta de dos símbolos (1,0) la computadora que hace el papel de emisor
convierte los datos, imágenes, sonidos, etc en una secuencia de dígitos
binarios, los cuales al llegar al receptor sufren el proceso de decodificación
para reproducir los datos, imágenes, sonidos, etc. Esta claro que la
transmisión de ideas es un proceso complejo en relación a la transmisión de
información como sucede entre computadoras. La explicación que da Vigotsky de
los procesos del pensamiento y la memoria se basan en el lenguaje como
instrumento asociativo y son independientes de este en la formación de las
estructuras internas del sujeto cognoscente.
El uso adecuado del lenguaje
es uno de los afluentes para el aprendizaje de las matemáticas, desde el
principio de su formación del estudiante no pudo captar que el lenguaje es tan
importante como el pensar, el entorno no le permitió diferenciar la
comunicación natural de la comunicación matemática. Los símbolos y las
estructuras de símbolos que se utilizan en matemáticas tienen su origen y
finalidad en la historia de ahí la importancia de su estudio para comprender
mejor las matemáticas. El entendimiento de los problemas pasa necesariamente
por una adecuada utilización del lenguaje matemático.
Otro problema en el
aprendizaje de las matemáticas en la Universidad es la falta de aplicación de
técnicas grupales para aprovechar el entorno del aula y del contacto con otros
sujetos que tienen los mismos objetivos y motivaciones, el aferrarse al método
de la clase magistral como único medio de transmisión de conocimiento impide al
estudiante desarrollar sus habilidades comunicacionales, es por tal razón que tenemos estudiantes que le tienen miedo
a exponer sus ideas por temor a hacer el ridículo. Nótese que el aprendizaje
por medio de la clase magistral tendría que considerar a un estudiante dotado
de una carga motivacional importante para situar al estudiante en su rol de
sujeto activo de su propio aprendizaje, por lo general los estudiantes en un
aula tienen distintas motivaciones, valores, aptitudes, y antecedentes que es difícil de generalizar. El número de
estudiantes muchas veces excede la capacidad física del aula, en el peor de los
casos, pero en general la cantidad de alumnos por aula siempre es mayor al
adecuado. Es necesario mencionar los orígenes de estas desproporciones; en las
Universidades Públicas es el afán del ahorro de los escasos recursos dado su
funcionamiento interno influido por la corrupción que es de dominio público, en
las Universidades privadas se observa un desmedido afán de lucro captando la
mayor cantidad posible de “clientes”.
La metodología que emplea el
profesor al igual que en la educación
básica y secundaria esta guiada por el mecanicismo, es decir que prevalece la
idea errónea de que el aprendizaje es fruto del esfuerzo y sacrificio del
estudiante quien debe aprender una serie de procedimientos reforzando su
aplicación con una cantidad considerable de ejercicios; por ejemplo si se
considera la materia “Cálculo I” y el
tema “derivadas” el profesor da una serie de procedimientos para derivar
funciones junto con una serie de fórmulas y a modo de ejemplo resuelve una derivada
sencilla aplicando los procedimientos y las fórmulas, el próximo paso es dar
una cantidad de ejercicios de aplicación, aparentemente la tarea del profesor
termina ahí para dar lugar a la ejercitación por parte del estudiante. No se
sabe de donde salieron los procedimientos ni las fórmulas, lo que es peor; los
estudiantes no saben que es la derivada ni para que sirve, lo único que les
preocupa es que tipo de ejercicios se incluirán en el examen, por eso se dice
que se estudia para aprobar la materia y la única forma de hacerlo es resolver
los ejercicios del examen que por cierto son mucho mas complejos que los
ejercicios que el profesor resuelve en la pizarra.
El estímulo a la motivación
en el estudiante por parte del profesor es casi inexistente, las materias
básicas de matemáticas son percibidas como obstáculos para llegar a ser un
profesional en lugar de considerar dichas materias como herramientas para
construir las bases del sistema de conocimientos para desempeñarse en la
profesión, generalmente el profesor no habla de las bondades de aprender
técnicas de razonamiento lógico para resolver problemas de la profesión, no se
interioriza al estudiante en las posibles relaciones con otras profesiones y
con otras áreas de conocimiento; por ejemplo las derivadas tienen una infinidad
de aplicaciones en diferentes profesiones y el estudiante no percibe esa
inmejorable fuente de motivación. Es un contrasentido dar la impresión de que
existen materias filtro, y para
empeorar, estas materias filtro son las materias de matemáticas, con justa
razón los estudiantes se ven en la tentación de rechazar las matemáticas porque
el entorno mismo los considera como una carga, pero una carga que hay que
aprobar para seguir en la carrera.
La falta de creatividad en
los estudiantes es un reflejo de la falta de creatividad en el profesor,
existen profesores que utilizan los mismos ejercicios y los mismos problemas de
ejemplo periodo tras periodo, y en la mayoría de los casos son copias de algún
libro que el profesor guarda como un secreto, no se puede incentivar la
creatividad en un ambiente en el que hace falta el ejemplo del profesor. Por
otra parte el no aplicar los conocimientos adquiridos por el estudiante a
situaciones de la realidad del contexto no hace que el conocimiento sea
significativo para el mismo.
La problemática del
aprendizaje de matemáticas por su complejidad y por la ausencia de propuestas
metodológicas creativas determina significativamente el futuro del estudiante
que se propone a emprender una carrera, es importante que la universidad cree las
condiciones para implementar programas de investigación sobre las metodologías
para el aprendizaje de las matemáticas.
Como propuesta para abordar
el problema se considera una síntesis de las principales corrientes didácticas
en el aprendizaje de las matemáticas y entre estas corrientes se explica porque
el mecanicismo es inadecuado para cumplir con los fines propuestos.
Esta corriente nace como la
solución al problema del aprendizaje siguiendo la estructura misma del sistema
de conocimientos de las matemáticas, es decir una estructura axiomática cerrada
y bien estructurada, en su momento esta corriente fue conocida como la
matemática moderna, el método deductivo parte de la observación de los
principios generales para caracterizar las situaciones particulares, como la
matemática es una ciencia con sistema de conocimientos bien estructurado se
presupone que cualquier problema o situación particular halla su explicación
en alguna parte del sistema, también se
supone que las estructuras del conocimiento son análogos a los de las
matemáticas, aparentemente la estrategia correcta era la de enseñar las
matemáticas como un sistema axiomático en el que el razonamiento intuitivo era
superfluo y carecía de sentido si se estaba trabajando sobre supuestos bien
fundamentados como son los axiomas la aplicación de este estilo presenta al
estudiante los conceptos con un grado de abstracción que ya no le permite
utilizar su intuición para llegar a construir los conceptos que se dan en el
proceso natural de construcción de conocimientos. La Psicología del aprendizaje
es clara en señalar que el individuo cuando aprende generaliza los hechos
concretos para sacar conclusiones y clasificarlos, la estructura de
conocimientos de cada individuo externamente se presentan como un sistema de
pirámides de representaciones simbólicas y el mecanismo de funcionamiento de la
memoria se basa en las asociaciones de dichos símbolos en este caso concreto se
tratan de los símbolos del lenguaje; por ejemplo cuando alguien piensa en algún
hecho de manera automática aparecen en la memoria otros hechos relacionados con
el primero, es el caso cuando a alguien le mencionan el nombre de una persona
vienen a la memoria otras particularidades ocurridas o datos como el lugar
donde lo conoció o el día en que le invito a salir, etc.
Si bien la estructura de
conocimientos del individuo es análoga a la estructura de conocimientos de las
matemáticas el proceso de su construcción no sigue el mismo camino, el fracaso
de esta corriente se debe a que el sujeto cognoscente en el proceso empieza por
utilizar la observación de hechos concretos, luego construye imágenes
intuitivas, para después formar conceptos. Desde la perspectiva histórica de la
construcción del sistema de conocimientos sigue un largo camino que empieza en
los problemas concretos de las sociedades primitivas que observan los fenómenos
y los hechos concretos para luego de mucho esfuerzo se lleguen a formar
conceptos y finalmente se lleguen a sistemas de conocimientos bien
estructurados.
Para esta corriente las
matemáticas son un conjunto de reglas que los alumnos deben aprender y luego
aplicarlos a problemas, los problemas son los ejemplos que el profesor resuelve
aplicando las reglas que acaba de enseñar el estudiante debe memorizar las
reglas y las fórmulas para después ejercitar utilizando problemas afines a los
ejemplos ya resueltos, es decir los problemas deben clasificarse para aplicar
las reglas haciendo analogías. El primer problema que se presenta es que en
lugar de desarrollar habilidades para resolver problemas el estudiante debe
desarrollar habilidades para memorizar, y en lugar de plantearse estrategias de
solución de problemas nuevos el estudiante debe buscar problemas análogos para
estudiar las estrategias con las que fueron resueltas, seguramente las
estructuras cognoscitivas del estudiante estarán formados por reglas, fórmulas,
y problemas resueltos, el conductismo expresado en el condicionamiento operante
encuentra su aplicación en esta corriente, el condicionamiento operante o
reforzamiento es la repetición de ejercicios hasta que quede claro para el
estudiante los caminos debe seguir o las fórmulas que debe emplear para
resolver problemas. La repetición hasta el cansancio de ejercicios tipo inhibe
al estudiante de plantearse estrategias creativas para resolver problemas. La
inteligencia artificial aplica reglas y hechos para hacer inferencias y sacar
conclusiones, la estructura de un programa de inteligencia artificial seria una
buena analogía a la aplicación del mecanicismo, con la variante de que el
programa resuelve los problemas con mayor velocidad y precisión, por
consiguiente el estudiante hace cosas que las máquinas pueden hacer con mas
facilidad, ¿donde puede encontrarse el estímulo a la motivación para aprender
matemáticas? tal vez esta pregunta no tenga respuesta coherente para el conductismo.
La aplicación del
condicionamiento operante ha demostrado ser altamente eficaz en el
adiestramiento de animales, donde la repetición constante de rutinas seguidas
por premios y castigos hacen que las ratas de laboratorio aprendan a pulsar
teclas de la computadora para obtener la recompensa, sin embargo la aplicación
de esta metodología en seres humanos es una forma de manipulación cuestionable
desde el punto de vista ético.
Para el empirismo la
matemática tiene el carácter de herramienta para resolver problemas concretos
del contexto cercano al estudiante, es decir que la utilidad inmediata debe ser
el factor motivante en el proceso de aprendizaje, sin embargo, carece de
profundidad para formar conceptos y abstracciones por lo que el estudiante esta
privado de desarrollar su creatividad, pareciera que los matemáticos que siguen
esta corriente son reacios a aceptar a nuevos miembros en su comunidad por eso
limitan el aprendizaje a lo necesario.
Esta corriente surge
partiendo de las ideas de Freudenthal siguiendo el método inductivo, es decir,
partir de los hechos concretos para construir modelos generales, básicamente
plantea la reinvención de las matemáticas por el alumno en base a su realidad
circundante a diferencia de la corriente empirista enfatiza en los procesos de
aprendizaje y su sistematización.
Había la necesidad de poner
en consideración las principales corrientes dentro la didáctica de las
matemáticas antes de desarrollar la propuesta que sintetiza los aspectos
positivos de las corrientes: Estructuralista, Empirista y Realista el
mecanicismo es una corriente en el que no se puede observar aspectos positivos,
por consiguiente, se obviará su consideración.
La corriente realista es la
que más se aproxima a los propósitos de mejoramiento del aprendizaje de las
matemáticas, en todo el texto anterior se hace referencia al aprendizaje y no
así a la enseñanza de las matemáticas este hecho se debe a que el estudiante
debe ser el centro del proceso, es decir el sujeto activo de su propio
aprendizaje, en relación al rol que desempeña el maestro este debe ser el que
dirige el proceso de aprendizaje, la terminología empleada debe adecuarse a los
propósitos del proceso a fin de dar el lugar preponderante al aprendizaje del
estudiante porque este es el que construye su sistema de conocimientos y no
admite la imposición de conceptos construidos.
Las matemáticas según la
corriente estructuralista es un sistema bien construido, un sistema bien
construido da a entender que es un sistema en el que no existen
contradicciones, sin embargo, las matemáticas no están libres de las
situaciones paradójicas. El aprendizaje debe considerarse como una
reconstrucción de los conocimientos desde la base misma como plantea la
corriente realista, esto requiere también la recreación del momento histórico
en que surgen los grandes aportes a las matemáticas, es decir, se debe recrear las
condiciones del momento histórico en que surgen las necesidades expresadas en
problemas con que la humanidad se enfrenta en esos momentos concretos de la
historia; por ejemplo el estudio en profundidad de la programación lineal se da
durante la segunda guerra mundial el problema que allí se presenta es la
escasez de recursos que debían ser empleados de tal manera que su impacto sea
el máximo, otro ejemplo era la necesidad de remarcar los límites de los
terrenos después de una crecida del río nilo en Egipto este problema obliga a
desarrollar la geometría, y así existieron las condiciones concretas para
desarrollar distintas estructuras, el reconstruir las matemáticas implica
trasladarse en el tiempo hasta las condiciones iniciales de su surgimiento, el
planteamiento concreto es que se debe estudiar la historia y las biografías de
quienes hicieron aportes para el desarrollo de las matemáticas este estudio
muestra al estudiante que la ciencia surge y se desarrolla como una necesidad
social, contrario del mecanicismo que presenta las construcciones en su forma
acabada se debe llegar a reconstruir
las fórmulas para que el estudiante en lugar de memorizarlo sea capaz de
obtenerla por medio de un proceso de reconstrucción haciendo uso de la
combinación de los métodos deductivo e inductivo.
El reconocer la utilidad didáctica del error hace de
las matemáticas una ciencia humana, quienes la desarrollaron necesariamente
cometieron errores, por tanto la búsqueda de soluciones de problemas no es
deterministico porque existen los caminos que llevan a los errores, la tarea
del profesor debe ser la de buscar junto con los estudiantes las vías de
solución, de esta forma el estudiante tendrá la seguridad que los problemas
pueden tener múltiples vías de solución a diferencia del mecanicismo que obliga
al estudiante a aprenderse de memoria un procedimiento para cada clase de
problemas. En el mecanicismo la evaluación se basa en la solución exacta
utilizando el método exacto, este hecho se constituye en una pesada carga
psicológica para el estudiante, muchas veces cuando el profesor plantea
resolver el examen en la pizarra, se crea un estado de angustia en el
estudiante que esta mas pendiente en recordar lo que puso en el examen antes de
aprender de sus errores. Si resta valor al rigor en las repuestas en la
evaluación y en su lugar se trata de medir las posibilidades potenciales y las
aptitudes creativas con seguridad se dará mayor estímulo para desarrollar la
creatividad y la motivación en el estudiante.
Se debe aplicar el método
inductivo y deductivo en su relación dialéctica, según Piaget el conocimiento
se construye en base a contradicciones donde las sucesivas asimilaciones
determinan un salto cualitativo cuando se llegan a formular los conceptos; por
ejemplo existe la regla para saber que un número es divisible por tres que
dice: todo número es divisible por tres
si la suma de sus dígitos es divisible por 3, el método inductivo permite
comprobar que números elegidos al azar se pueden clasificar en dos grupos
aquellos que son divisibles por tres y aquellos que no son divisibles por tres
al analizar el primer grupo se debe guiar al estudiante a descubrir la regla
general de ahí el estudiante sacará la conclusión de que la regla sí se cumple
para todos los números que conforman el primer grupo, pero como las matemáticas
es un sistema de conocimientos bien formado ante la pregunta: ¿se cumple la
regla para todos los números? Surge la necesidad de demostrar que la regla
general se cumple para todos los números. La axiomatización nace de la
necesidad de la generalización y la formalización de las percepciones
intuitivas, de ahí la importancia de desarrollar en componente intuitivo para
llegar a formular conceptos y abstracciones, La demostración formal ilustrada
con casos concretos ayuda a dominar el lenguaje matemático, pero su utilidad
superior se percibe en el dominio de las reglas de razonamiento. Cabe aclarar
que no se propone aplicar el estructuralismo en los términos que fue planteado
si no mas bien se trata de combinar el razonamiento deductivo con el
razonamiento inductivo.
Como la estructura de
conocimiento esta en formación y es asociativa sería de mucha utilidad en el
momento de construir los conocimientos ilustrar de la mayor forma posible los
componentes que forman la estructura, es decir que se debe explorar la mayor
cantidad posible de vías para llegar al mismo resultado. El buscar situaciones
concretas que ejemplifiquen lo que se esta aprendiendo no solo debe ser tarea
del profesor, también los alumnos deben buscar los ejemplos y contraejemplos.
Por otra parte el profesor debe ilustrar los ejemplos contando anécdotas o
casos de la vida real, mientras mas elementos conformen el conjunto de
estímulos sensoriales se crean mayores posibilidades para el desarrollo de
asociaciones en el sujeto cognoscente.
La utilidad didáctica de la
resolución de problemas no solo se
reduce al planteamiento de los mismos por parte del profesor, los estudiantes
también deben desarrollar la habilidad para buscar situaciones problémicas.
Para la Corriente mecanicista la resolución de problemas es el medio ideal para
reforzar la asimilación de las reglas y procedimientos que se han memorizado,
dada su finalidad los problemas planteados por el profesor son rutinarios y
están organizados en la misma secuencia en que se han aprendido las reglas, es
decir van de lo sencillo a lo complejo, los problemas tienen la particularidad
de ser descontextualizados de la realidad circundante y carecen de utilidad
práctica para el estudiante, al final se convierten en un factor desmotivante
porque el aprendizaje no es significativo para el estudiante, mas por el
contrario, significa una carga que cumple el objetivo de desincentivar al
estudiante. A diferencia del mecanicismo, se propone utilizar los problemas con
la finalidad de desarrollar la habilidad en el estudiante en la búsqueda de
vías de solución, es decir que los
problemas deben tener el carácter instrumental para desarrollar la creatividad
y la inteligencia. Por otra parte se propone que sea el estudiante quien
participe en la formulación de problemas de manera tal que se utilice su
capacidad tanto para plantear y
resolver problemas, la principal característica de los problemas planteados por
el profesor deben ser la originalidad para dar ejemplo a los alumnos que se
puede utilizar los conocimientos precedentes para ser creativos y no es
necesario recurrir a los libros para copiar los problemas, otra peculiaridad
que se debe buscar es que los problemas deben estar contextualizados en la
realidad del estudiante buscando siempre que sean significativos para el mismo.
Otro objetivo que se debe perseguir es el desarrollo de la habilidad para la
modelación matemática, es decir el estudiante debe familiarizarse con los
problemas en primera instancia y luego con los modelos matemáticos, de esta
forma entenderá la equivalencia de un problema enunciado como texto y su
transformación en lenguaje matemático. El hecho de incentivar al estudiante en
la tarea de plantear problemas desarrolla en este su capacidad investigativa,
además, desarrolla su pensamiento crítico y divergente. Al considerar a los
problemas como instrumentos se esta disminuyendo la preponderancia de los
contenidos y se esta favoreciendo al desarrollo de habilidades para que el
estudiante se independice y desarrolle su capacidad de buscar información y
aprender solo.
La finalidad de la evaluación
en aplicación del método problémico no debe ser la misma que la finalidad que
cumple en el mecanicismo, en este la evaluación o lo que le llaman examen significa
para el estudiante mas que una medida de su aprovechamiento una tortura mental,
es necesario rescatar el concepto de evaluación para que su finalidad sea un
instrumento para guiar el proceso de aprendizaje del estudiante, no se debe
exigir la exactitud de las respuesta ni la aplicación rigurosa del método, lo
que se debe valorar es la creatividad en la búsqueda de soluciones o la
búsqueda de estrategias para llegar a la solución.
El profesor debe tener la
habilidad para investigar a cada uno de sus estudiantes para formarse un idea
de las motivaciones que impulsan a los estudiantes en todo el proceso de
aprendizaje de los mismos, de esta manera podrá planificar cada clase basándose
en las expectativas de los estudiantes así podrá descubrir lo que es y no es
significativo para el estudiante, con esto se trata de unificar lo afectivo con
lo cognitivo. Si se es capaz de encontrar algún factor motivante en el
estudiante el profesor debe ayudar a desarrollarlo y profundizarlo para que ese
factor desencadene una serie de otras motivaciones que seguramente tendrá
influencia en otros estudiantes. El
profesor debe formular preguntas que sabe el alumno a fin de crear confianza en
el estudiante, esto ayudará a descubrir las motivaciones y las expectativas.
Pueden existir grandes diferencias entre un estudiante y otro generadas por las
influencias familiares y sociales, este hecho hace que las motivaciones sean
divergentes es tarea del profesor tratar de encontrar los aspectos regulares a
fin de captar la atención de la generalidad del aula.
El desarrollo de la habilidad
para la búsqueda de estrategias de solución para los problemas requiere en
primer lugar un cuidado en la elección de los problemas, existe un universo de
caminos posibles, la cantidad de los posibles caminos puede ser infinita, por
tanto el encontrar los caminos que conducen a la solución requiere de
estrategias; es lo que se conoce como heurística, entre las posibles
estrategias se pueden considerar los siguientes: replantear el problema haciendo
abstracción de algunas variables, el buscar otro problema ya resuelto que tenga
similitud, el graficar los datos, dividir el problema en partes, etc. Haciendo
una analogía con la Inteligencia Artificial se puede encontrar algunas
similitudes, por ejemplo en Inteligencia Artificial existen 2 grupos de
problemas: los que admiten una medida para saber si cada paso que se da esta en
dirección a la solución, esta medida cuantitativa se denomina heurística, por
otro lado están los problemas que no admiten una medida cuantitativa, en este
ultimo caso el programa procede a explorar la totalidad de los posibles caminos
a la solución desechando aquellos que no llegan a la solución, en el caso del
primer grupo el programa evalúa la heurística antes de elegir el próximo paso
de tal forma se puede jerarquizar el conjunto de posibles soluciones. En el
proceso de aprendizaje las características del primer grupo se asemejan a lo
que pasa en la mente del estudiante en el momento de tomar uno u otro camino,
el desarrollar la habilidad para escoger el camino correcto depende de la
observación de los hechos y la capacidad de sistematizar los conocimientos
anteriores junto a las hipótesis y los datos del problema.
El uso de la tecnología
computacional tiene potencialidades significativas en el proceso de aprendizaje
de las matemáticas, sin embargo, la tendencia generalizada es la utilización
para la enseñanza de programas computacionales si bien es necesario crear un
ambiente en el que el estudiante se familiarice con la tecnología no se
aprovecha en su integridad las posibilidades que brinda para desarrollar
habilidades creativas en el estudiante. Existen programas para graficar
funciones que se pueden utilizar en la resolución de problemas como
herramientas que muestren tendencias o particularidades útiles en el momento de
determinar la heurística adecuada para seguir con el desarrollo de una
estrategia de solución, la graficación puede hacerse sin computadoras, pero su
empleo facilita enormemente el trabajo en cuanto al gasto en recursos y tiempo.
También existen programas cuya orientación se basa en el mecanicismo, es el
caso de los programas tutores que están diseñados para la ejercitación en los
que hay una base de datos de problemas que son presentados al usuario y este
debe dar una respuesta, la computadora califica las respuestas para dar un
puntaje al estilo del profesor mecanicista, de ahí la inutilidad de estos
programas para desarrollar habilidades
creativas, como analogía se puede citar la caja de Skinner en el que se introduce
una rata al que se le debe “educar” por medio del premio y el castigo para
ejecutar tareas como presionar una tecla para que tenga comida y cada vez que
se equivoca de tecla recibe una descarga eléctrica, aunque parezca un absurdo
la caja de Skinner sirvió para sustentar una corriente que se llama
conductismo, en el que el objetivo educativo fácilmente se puede confundir con
la manipulación.
El uso eficiente de la
tecnología computacional no solo requiere el aprender a utilizar uno u otro
programa porque existen muchos programas que aparentemente ayudan al
aprendizaje de las matemáticas, sin embargo es necesario considerar la
tecnología computacional en su justa dimensión la experiencia demuestra que el
uso generalizado que se le da desaprovecha las enormes posibilidades que
brinda; primero que nada la computadora es una máquina y su funcionamiento se
basa en el álgebra de Boole, es decir, que funciona en base a las matemáticas
de modo que se esta ante una aplicación de la ciencia que en apariencia no
tiene ese alcance. La propuesta en el marco de su utilidad didáctica es:
incluir en el sistema de contenidos temas referentes a la organización de la
memoria y al funcionamiento de la unidad aritmética y lógica, es decir, que se
debe tocar temas como el de la codificación de la información y el lenguaje de
máquina, es posible aprender a representar en los diferentes sistemas de
numeración los objetos que se estudian en aritmética, también es posible
incluir elementos del álgebra binaria cuando se esta estudiando la lógica
formal. Hay posibilidad de aprovechar la computadora y su funcionamiento como
un elemento motivador siempre en el camino de despertar la curiosidad en el
estudiante, resulta inadecuado atribuirle poderes mágicos a la computadora
cuando en realidad es una simple máquina que solo reconoce dos números el uno y
el cero.
El señor Bill Gates
(Propietario de Microsoft) es la persona mas afortunada porque tiene millones
de empleados en todo el mundo que trabajan para el sin cobrarle un solo centavo
por sus servicios, esta afirmación se basa en la observación de la mayoría de
los agentes vinculados con la educación que recomiendan que lo que se debe
enseñar es a manejar el Excel, Word, Windows, etc. todos productos de
Microsoft, no se da ni la menor esperanza para desarrollar programas
equivalentes o mejores, la universidad como centro de investigación puede
estimular la creatividad de los estudiantes (especialmente de los estudiantes
de informática) para empezar a
desarrollar tecnología base para la informática, para tal propósito no se
requiere de grandes inversiones monetarias, pero si de enormes esfuerzos
creativos que las universidades pueden tener de sobra en la unión de profesores
y estudiantes.
La utilización de las
matemáticas como instrumento para el desarrollo de la creatividad es un recurso
que no debe desaprovecharse, el mecanicismo con la rigidez solo contribuye a
crear una especie de estereotipos mentales que son una barrera para la
creatividad, las matemáticas como todas las ciencias poseen un método para
estructurar el sistema de conocimientos pero al método no se le debe considerar
como un conjunto de reglas rígidas, pasaron cientos de años antes que estos
tomaran forma, es decir mucho tiempo de ensayos y errores que finalmente se presentan
en nuestro tiempo como algo terminado, la creatividad requiere necesariamente
recorrer caminos erráticos, por tanto, la utilidad de los errores radica en
mostrar que existen muchos caminos como decía Santo Tomás de Aquino: “No hay
condenar los errores sino que hay mostrar en que medida uno se aparta de la
verdad”. La creatividad se entiende como la síntesis de los procesos mentales
que partiendo de los hechos concretos en combinación con las experiencias, las
reglas de razonamiento y motivaciones intentan llegar a la esencia de los
procesos materiales para crear nuevas estructuras de conocimiento o reformar
las que ya existen, la finalidad del método Problémico es justamente estimular
el proceso desde la asimilación de los hechos concretos, la formación de
representaciones mentales creativas de los fenómenos materiales y sus
relaciones, la creatividad como un atributo de los organismos superiores, se
caracteriza porque crea imágenes ideales en base a las experiencias, recuerdos,
y otros procesos psicológicos siempre como reflejo de las relaciones que se dan
en el mundo material. El método inductivo debe utilizarse para estimular los
procesos de asimilación de los hechos concretos, el profesor debe ayudar a
observar las peculiaridades en el conjunto de hechos concretos y no adelantarse
en formularlos quitando la oportunidad a los estudiantes a descubrirlos por si
mismos. Por otro lado el método deductivo servirá para sistematizar formalmente
las regularidades observadas.
La Inteligencia definida como
la capacidad para enfrentarse a
problemas nuevos para los cuales no se tienen las habilidades ni conocimientos
para resolverlos, es la potencialidad para adquirir las habilidades y
conocimientos a fin cumplir con un objetivo. La inteligencia es la habilidad
para adquirir y crear nuevos conocimientos. En aplicación del método Problémico
se estimula al estudiante no solo para resolver creativamente problemas, sino
que también se estimula para que sea el mismo el que tenga la capacidad de
buscar los problemas, no se debe olvidar que la mas grande de las virtudes de
los hombres de ciencia es la percibir los problemas donde otros ven solo
regularidades, es el caso de Albert Einstein que pudo observar que los
fundamentos de la mecánica clásica eran insuficientes para explicar los
fenómenos en los que los objetos se aproximan a la velocidad de la luz, lo que
le indujo a considerar a la variable tiempo como relativa al sistema
referencial; en definitiva la observación de Einstein logro reestructurar las
bases de la Física.
El desarrollo de habilidades
comunicacionales en el estudiante también merece especial atención en la
presente propuesta, en las matemáticas cuando se llega a estructurar conceptos
estos necesariamente deben ser aprobadas en el entorno social, y el entorno mas
próximo al estudiante es precisamente el aula y es ahí que el estudiante debe
fundamentar sus conclusiones, aquí se aplica el concepto de Zona proximal de
desarrollo propuesto por Vigotsky en que el concurso de los compañeros de clase
adquiere importancia en la asimilación y la formación de conceptos, la
metodología sugerida para el desarrollo de habilidades comunicativas es el
empleo de técnicas de dinámicas de grupo, el profesor debe demostrar su
creatividad en el momento de organizar grupos y moderar las comunicaciones
entre los estudiantes donde ellos aprenden a fundamentar sus ideas, hay que
notar que el saber fundamentar propuestas es una habilidad aplicable a
cualquier área de conocimientos y a cualquier profesión.
La unidad de lo afectivo y
cognitivo se expresa principalmente en las motivaciones internas en el sujeto
cognoscente, motivaciones para el aprendizaje deben ser estimuladas por el
entorno del estudiante, vale decir: el aula, el entorno familiar, y el entorno
social, la principal fuente para la motivación es en primera instancia el
carácter significativo de lo que se aprende; el aprendizaje debe ser
significativo para el estudiante, en el método problémico se debe tratar en lo
posible de plantearse casos de en los que los estudiantes tengan relación ya
sean de su vida cotidiana, de sus preferencias deportivas o de cualquier otra
actividad que el estudiante realiza voluntariamente, se trata de encontrar ese
factor desencadenante como dice el profesor Escalante: ese momento de iluminación
en que el estudiante voluntariamente levanta la mano para expresar una idea
novedosa, si se logra ese momento de iluminación ya es tarea del profesor
creativo explotarlo para profundizar en los factores estimulantes que el
estudiante requiere para desarrollar sus motivaciones para aprender. Un
estudiante motivado estará en condiciones de empezar a plantearse su
independencia cognoscitiva, es decir que buscará los medios para emprender el
camino para ser autodidacta. Las motivaciones no solo son producto de la
significación de lo que se aprende hay factores como el correcto empleo del
lenguaje para no dañar la dignidad de los estudiantes, la cordialidad en el
trato, no exponer al estudiante a situaciones en que salga ridiculizado, ni
hacer chistes tomando a los estudiantes como objeto.
Las motivaciones no solo son
internas en el sujeto cognoscente, también pueden ser externos o adaptativos
como dice el Profesor Diego J. González Serra, las motivaciones adaptativas se
basan en explotar los temores o las ambiciones, es decir que apelan a los
premios y castigos como es el caso de la aplicación del conductismo, la
tendencia debe ser que el estudiante valore los factores motivantes internos
antes que los adaptativos, porque estos últimos se prestan mas a la
manipulación cuando el objetivo que propone es promover el pensamiento crítico
y divergente.
Las matemáticas como materia
integrante del currículo necesariamente esta en relación con otras materias lo
que hace necesario coordinar tareas entre los profesores de las distintas
materias, no se debe olvidar que el estudiante recibe influencias variadas y
las mas cercanas a el se encuentran justamente en el entorno universitario.
Finalmente los medios de
difusión como los libros Internet, etc. deben ser la fuente donde los
estudiantes aprendan a buscar los datos de interés, el proceso de su
aprendizaje exige expandir sus conocimientos utilizando otros medios, el
utilizar un libro o texto base para el curso limita en el estudiante la
habilidad para buscar información. Si se propone promover la independencia
cognoscitiva en los estudiantes se debe fomentar el hábito a la lectura y la
búsqueda de información en la multiplicidad de medios existentes en la
actualidad, los libros ya no son los únicos medios donde se puede encontrar
apoyo para el proceso, también están disponibles los medios electrónicos como
el Internet, los discos compactos, videos, etc. Los contenidos en el proceso de
aprendizaje ya no tienen la importancia que antes tenían cuando lo que se quiere
es fomentar la independencia desarrollando la capacidad para buscar y
clasificar la información, una de las habilidades debe ser el saber discriminar
la información relevante de la irrelevante, el profesor debe tomar el papel de
guía en la adquisición de esta habilidad. Por otra parte se debe considerar la utilización del idioma
ingles cuando se define los objetos, por ejemplo cuando se esta hablando de
“expresiones” habrá que mencionar su equivalente en ingles que es “assembly”
hacer referencia a las equivalencias idiomáticas tiene la finalidad de dar las
pautas para que el estudiante utilice esos términos cuando busque información
en idioma ingles, es un hecho que la mayor parte de la literatura esta escrita
en idioma ingles, también el especificar equivalencias idiomáticas sirve como
apoyo a las materias de ingles que se esta estudiando paralelamente.
Se ha tenido especial
cuidado en la utilización del término aprendizaje y no se menciona el término
enseñanza, la adopción de este estilo trata de poner al estudiante en centro
del proceso como debe ser planteado el proceso, se ha tratado de sintetizar las
diversas corriente didácticas existentes para el aprendizaje de las matemáticas
tomando lo positivo de cada una de ellas a excepción de la corriente
mecanicista porque la finalidad de esta no es precisamente el desarrollar
habilidades para la creatividad, la independencia cognoscitiva, el pensamiento
crítico y divergente, el aprendizaje debe combinar los enfoque deductivo e
inductivo en su relación dialéctica, el estructuralismo nació con una gran
falencia, en su pretensión de hacer un paralelismo entre la estructura del
sistema de conocimientos de las matemáticas y las estructura cognitivas de los
sujetos cognitivos, esta falencia fue afortunadamente detectada en su
aplicación práctica, sin embargo, el estructuralismo tiene un aspecto positivo
que es la concepción que tiene de las matemáticas; como un sistema de
conocimientos bien formado donde la base de las deducciones son los axiomas junto
con las reglas de razonamiento matemático, la deducción debe aplicarse el
aprendizaje de esta ciencia como culminación de la asimilación de los conceptos
por medio de procedimientos inductivos e intuitivos.
Lo mas adecuado según la
presente propuesta para afrontar el proceso de aprendizaje de las matemáticas
es la corriente realista, el mismo intenta humanizar las matemáticas, puesto
que los avances se producen como una necesidad social para resolver alguna
clase de problemas, es decir que en el pasado existieron situaciones concretas
que sirvieron como factores motivantes para quienes dedicaron su vida a las
matemáticas, lo que hace necesario estudiar la historia de las matemáticas.
La corriente empirista
tiene su lado positivo porque valora el proceso de aprendizaje de las
matemáticas con una finalidad utilitaria, en los hechos un factor motivante es
la utilidad de lo que se aprende, además contribuye a que el aprendizaje sea
significativo para el estudiante.
Gonzalo Mariscal Antezana
Lic. En Informática
Universidad Técnica Privada de Santa Cruz
República de Bolivia