Determinante por Cofactor

Mediante este metodo de determinantes de matrices se puede obtener el determinante de una matriz de cualquier grado, desde una de 2x2 hasta una de nxn. Es un metodo bastante simple de realizar, solo que se recomienda que una vez que se inicio, no se deje de hacer hasta terminarlo, porque como son muchas operaciones las que se hacen y se manejan cambios de signo, se puede perder en el paso en el que se encontraba. Su procedimiento es el siguiente:

Se tiene una matriz de cualquier grado, pero siempre cuadrada.

Despues se elige con que se va a trabajar, con una fila o con una comlumna, solo se elige una y con esa se trabajara durante todo el proceso. Porque se ve mas claro, aqui se eligio trabajar con la primera columna(la que empieza con el 1). Como se eligio la columna se empieza a trabajar con el 1. Despues se "marcan" todos los numeros de esa fila y esa columna en donde esta el 1. Lo que queda es una matriz mas pequeña solo de 2x2 a la que llamaremos M1. Despues se toma en cuenta la matriz con signos que esta mas abajo.

Esta matriz es muy importante y siempre se tiene que tener en cuenta, porque se tiene que "sobreponer" encima de la original y los numeros de la columna o fila con que se esta trabajando toman ese signo que le corresponde. Dicho de otra manera, las posiciones pares son positivas y las impares negativas.(por ejemplo: 1,1 es 2 y por lo tanto positiva. 1,2 da 3 y es negativa) Como la columna empieza con 1 y ya es positivo asi se deja y se usa la formula de determinante por cofactor: Determinante= +1Det(M1)...... Se dejan los puntos suspensivos porque la formula todavia tiene que completarse, Det(M1) significa que necesitamos el determinante de la matriz de 2x2 que nos quedo al principio, y un determinante de 2x2 es facil de obtener por otros metodos asi que no se explicara aqui.

Ya que se obtuvo esa primera cantidad, se continua con el siguiente paso: Como se esta trabajando sobre la columna, el siguiente numero a usar es el -2, e igual que con el 1, se "marca" toda la columna y toda la fila donde esta el -2 y se ignoran, por lo que queda otra matriz de 2x2 que en la imagen de arriba se compondria por los cuadros que estan en verde(7,9,4,-3) a la que llamaremos M2. Y se complementa la formula que se dejo empezada arriba, tomando en cuenta antes la matriz de signos y observando que en este caso al -2 le corresponde un -, por lo que queda en 2. Determinante= +1Det(M1)-(-2)Det(M2).....

Como esta matriz es de 3x3 el proceso termina rapido y ya llegamos al ultimo paso. Se toma el siguiente numero en la columna con la que se trabaja que en este ejemplo es un 3. Se ignoran la fila y la columna donde esta el 3 y queda otra matriz de 2x2 formada por los numeros en la imagen de arriba con cuadros azules(7,9,-1,5) a la que llamaremos M3. En la matriz de signos al 3 le corresponde un +, por lo que asi se queda. Ahora se puede completar la formula para el determinante de esta matriz: Determinante= +1Det(M1)-(-2)Det(M2)+3Det(M3) Si se hacen las operaciones correspondientes esta formula da el determinante de esa matriz de 3x3. Como se menciono arriba, el metodo de cofactor se puede aplicar a cualquier matriz, desde 2x2 hasta n x n, y como su formula indica que se tienen que utilizar mas determinantes, en el caso de una matriz mas grande el proceso de obtener esos determinantes(por ejemplo el de M1 en el ejemplo) podria requerir aplicar el mismo cofactor, lo cual es completamente valido pero es donde el metodo se pone un poco mas complejo por la cantidad de operaciones a realizar, pero no es imposible.