悖论这个词被滥用得很严重，估计与“爱”相去不远。这里局限于数学、逻辑悖论，也就是可以规范描述的、非鸡毛（non-trivial）的、要数学和/或逻辑的老命的一类。 Russell提出著名的空集悖论的时候，直觉它是一大类悖论的规范表述形式，但没敢说死，所以他把逻辑悖论分为“集合类”和“语义类”。

“语义类”比如“不能用十五个字命名的最小自然数”，但这句话用十五个字给它命名了。

看上去是鸡毛 -- 简单改变表述语言悖论不就消失了？类似数学中的鸡毛奇点，简单把奇点的值规定为极限值就解决了（如sinX/X在X=0）。

但是，新的表述语言可能产生同样的悖论（只是具体数字不同）。呃，没关系，再换一种。是啊，但还可能构建类似的悖论。

有没有可能定义一种语言使得这类悖论不可能？当然有，简单加一条语法规则：包含“不能”字眼的不算命名。

但是，“不能用十七个字大致描述的最小自然数”如何？显然，问题跟具体语言的特性无关。

从三十年代起，哲学界逐渐趋于认为所有的逻辑悖论都可规范化成Russell悖论。没有证明，只是“认为”。

解悖论很简单：耍赖。

空集悖论 -- 不包含自身为子集的不是集合。

万能悖论 -- 上帝创造逻辑，它可以非逻辑，所以悖论丝毫无损它老人家的光辉形象。

理发师悖论 -- 理发师是秃子/女人/杭州男人。

谎言悖论 -- 对自身真值作断言的构造不是话（statement）。

这里的耍赖，归根到底是从语义上重新定义表述原悖论的基础概念，也就是避开悖论的前提。

当然，这并不是真正的解。但至少能让我们好歹眯一会儿。

但要规范化就不那么简单了。Russell通过提出空集悖论，找到了“幼稚集合论”的缺陷，因为集合论是规范数学的基础，这等于是要了整个数学（从而殃及科学和哲学）的老命。几年后，Zermelo和Fraenkel 先后提出公理集合论，实际上就是用上面的耍赖办法避开空集悖论。但那是规范表述，所以整个数学大厦可以照样构建。

而且，空集悖论直接导致Goedel不完全性定理和Turing终止不可决定性定理的诞生。这两者的影响遍及数学、计算理论和哲学。

非规范地谈悖论，最多是智力手淫、智力性交（别搞错，很健康很快感）。规范化研究悖论，别说哲学家没戏，100个数学博士里大概也就1个有起步的能力和雄心。国人有胆全民解Goldbach，就是因为只看到前一层（尽管Goldbach不是悖论）。

也只有敢报“亩产万斤”的人民才有这份胆识。

Zeno悖论值得单独提一下，因为大家在这上面浪费了不少青春体液。

Zeno的四个问题（大部分人不理解第四问，所以经常只提前三问），每一个单独看都不成其为悖论（尤其不是逻辑悖论），或者说只是中学生用无限数列就能解的鸡毛悖论（而且是鸡毛物理悖论）。

但仔细深究，前两个放在一起就有问题了：

第一问：从A到B必须先经过其中点，那怎么可能到达B？如果运动是连续的，那么确是不可能（如果难理解，把场景改为接力，1/2、3/4、7/8。。。处接力，这棒永远到不了B）。既然我们能到达B，所以运动是离散的（到运动量子的尺度，就没中点了，下一棒只能直接到B）。顺便说两点 -- 1：这里不涉及速度的问题。2：“一尺之槌日取其半万世不竭”只是简单断言物质无穷可分，不是悖论，连思辨都算不上，其浅亦甚，其陋亦鲜。

第二问：追上乌龟之前必须到乌龟原来的位置，那怎么可能追得上？如果运动是离散的，那么确是不可能（如果难理解，把场景改为乌龟拉粑粑，Achilles是清洁工。追到运动量子的尺度，既然乌龟在动，那么它至少动一个量子，Achilles永远在它屁股后面）。既然Achilles追上了，所以运动是连续的。

所以，运动不可能是连续的也不可能是离散的，或者说既是连续的又是离散的。

这不妨碍哲学家数学家洗澡睡觉逛窑子，是物理学家的问题。

对此现代物理学有两种解：量子理论和广义相对论。

量子理论：运动本是连续的，但观测者视力有限，在一定时空尺度以下一切都是月朦胧鸟朦胧，等于是离散的。

广义相对论：运动是连续的，但时空不是独立于运动的容器、框架，而是与运动交互作用的。当一个质点的你离B足够近的时候，B点处时空无限弯曲，等于是你把B给拉过来了。

好了，现在大家可以在比较有意义的问题上（比如黄小姐的胖瘦与中国民运之关系）浪费宝贵的青春体液。

化外
2003/12/30