Un tempo non esisteva calcolatrice di sorta
e tutte le operazioni matematiche dovevano essere fatte a mano
eseguendo direttamente le quattro operazioni fondamentali. Per
i calcoli complessi si usavano i logaritmi i quali, trasformando
le moltiplicazioni in addizioni, le divisioni in sottrazioni,
le elevazione a potenza in moltiplicazioni e le estrazione di
radici in divisioni, davano la possibilità di risolvere,
sempre a mano, anche tali difficili problemi.
Erano le somme, soprattutto se relative a lunghissimi elenchi
di numeri, che costituivano un serio problema.
La
prima calcolatrice atta a risolverlo è stata, a notizia
di chi scrive, la "sommatrice automatica" .Si tratta
di un astuccio metallico delle dimensioni di circa 6 cm x 12 cm
e dello spessore di qualche millimetro avente nel fronte una serie
di fessure verticali ognuna delle quali è affiancata da
una numerazione come rappresentato nella fig. 1. Sopra ciascuna
fessura e attraverso un piccolo foro circolare, è visibile
la sottostante numerazione incisa su altrettante striscioline
metalliche verticali che possono scorrere sempre in senso verticale.
L'intera riga di fori circolari rappresenta il risultato. L'esecuzione
di una somma ha luogo trascinando verso il basso ad una ad una
e partendo da quella più a destra, le cifre costituenti
i vari addendi tramite un piccolo accessorio cioè una specie
di penna con punta metallica da inserire nelle fessure verticali
e da tenere premuta contro un piccolo incavo appositamente ricavato
nella sottostante strisciolina a lato di ciascuna cifra. Il risultato
è visibile nella parte superiore entro la serie di piccoli
fori circolari di cui si è detto. Ad esempio dovendo sommare
tra di loro i due numeri 34 e 65, si riportano a zero tutte le
striscioline facendole scorrere verso l'alto fino a portarle al
fine corsa. Si inizia quindi a far scorrere verso il basso il
quattro nella prima fessura e poi il tre del primo addendo in
quella immediatamente a sinistra. Il risultato è il numero
34 leggibile in alto. Di seguito si porta in basso il numero cinque
e quindi il sei. Risultato 99. Il funzionamento è chiaro:
la strisciolina metallica interna scorrendo di volta in volta
verso il basso rende leggibile il numero (da zero a nove) che
si viene a trovare entro il foro circolare del risultato. Questo
fintantocchè il totale di una stessa fessura non è
superiore a nove. Allorchè la somma lo supera, l'operazione
di trascinamento della strisciolina verso il basso viene impedita
dal suo fine corsa ed allora, riscontrato tale inconveniente,
senza spostare la penna dall'incavo se ne inverte la corsa e facendola
scorrere verso l'alto con un percorso rigorosamente imposto dalla
fessura di guida cioè con una breve deviazione finale verso
sinistra. Ciò comporta due azioni: da una parte la sottrazione
del complemento a 10 della cifra e, dall'altra l'aggiunta di una
decina nella casella posta immediatamente a sinistra tramite la
apposita dentellatura di cui è munita la strisciolina.
La cosa sarà meglio comprensibile con un esempio. Siano
da sommare tra di loro i numeri 34 e 98. Inserito come nel precedente
esempio, il numero 34 ed ottenutone il risultato corrispondente,
si dia inizio a riportare in basso il numero 8 del secondo addendo.
La cosa non è possibile perché la corsa della strisciolina
si arresta. Allora si inverte il senso e si riporta verso l'alto
e quindi verso sinistra il numero 8 andando ad interessare la
colonna più a sinistra con spostamento verso il basso di
una decina. In pratica si è sottratto da 34 il complemento
a 8 cioè 2 ma si é aggiunto 10. Il risultato a questo
punto è 42 cioè 34 - 2 +10. Resta ora inserire il
numero 9 del secondo addendo. Anche questa operazione non và
a buon fine. Occorre allora invertire il senso e, agendo verso
l'alto, andare a interessare la colonna ancora più a sinistra
cioè quella delle centinaia. In pratica si è sottratto
da 42 il complemento a 90 cioè 10 ma si è aggiunto
100.Il risultato è ora pari a 132 cioè 42 -10 +
100.
Oltre a trattarsi di un sistema macchinoso e noioso non era possibile,
come si capisce dal nome della macchinetta, eseguire nessuna altra
operazione all'infuori della somma.
A un certo punto è apparsa in commercio la straordinaria
Brunsviga manuale che risolveva tutti i problemi del genere e
che è illustrata nella foto di fig. 2.
La macchina è composta da un rullo munito di più
colonne di piolini (quadro delle impostazioni) che si possono
spostare a mano verso il basso fino a leggere nella apposita riga
il numero corrispondente. Fatto un giro con la manovella detto
numero è riportato tale e quale nel sottostante quadro
dei prodotti pronto a venire modificato in più nel caso
di somma ed in meno per la sottrazione. Le due operazioni hanno
luogo scrivendo in maniera del tutto analoga il secondo fattore
e facendo ruotare rispettivamente in senso orario od antiorario
a seconda si voglia fare la somma o la sottrazione dei due fattori.
Si prosegue similmente fino ad aver battuto tutti gli addendi.
Un altro indice ( quadro dei fattori ) segnala i numero di elementi
sommati meno quelli sottratti. Tutta la procedura relativa ai
riporti da una colonna all'altra avviene automaticamente grazie
a una serie di ingranaggi e di levismi interni.
Per
la moltiplicazione si deve usufruire di un'altra possibilità
del rullo: il suo spostamento laterale effettuato tramite la leva
di scorrimento che comporta un analogo spostamento sia del moltiplicando
e sia del contatore superiore cioè del moltiplicatore.
Supponiamo di dover moltiplicare 455 per 23.
Si scrive con i piolini il n. 455 nel quadro delle impostazioni.
Si fa girare la manovella per tre volte in senso orario per poi
far scorrere il rullo verso sinistra mediante la apposita leva
e quindi far girare due volte la manovella. La moltiplicazione
è fatta e sarà possibile leggere il moltiplicando
nel quadro delle impostazioni , il moltiplicatore nel quadro superiore
dei fattori ed il risultato nello spazio inferiore cioè
nel quadro dei prodotti.
Non esiste alcun modo per tener conto delle virgole e quindi tutte
le operazioni devono essere fatte con numeri interi curando, per
le somme e le sottrazioni, che le cifre impostate abbiano tutte
lo stesso numero di decimali, all'occorrenza aggiungendo degli
zeri dopo la virgola. Per la moltiplicazione il numero di decimali
del risultato è dato dalla somma dei decimali dei due numeri
da moltiplicare.
Più complessa l'esecuzione della divisione.
Scritto il dividendo con i piolini nel quadro delle impostazioni
lo si riporta in quello inferiore detto quadro dei prodotti facendo
girare una sola volta la monovella in senso orario. Si inserisce
il divisore con i piolini e quindi si comincia a sottrarlo girando
in senso antiorario la manovella. Nel quadro dei prodotti si legge
allora il resto della sottrazione, L'operazione và ripetuta
girando nello stesso modo la manovella finchè il resto
rimane superiore al dividendo. Quando non lo è più,
la sottrazione diventa impossibile e tale fatto viene annunciato
da uno squillo di un campanello. Si torna allora nella precedente
posizione tramite un giro orario di manovella per poi spostare
il carrello al fine di allinearlo con una nuova casella. Tutta
l'operazione viene ripetuta più volte con altrettanti spostamenti
del carrello ed andando quindi ad interessare , ad ogni squillo,
via via tutte le caselle del divisore. Si prosegue in questo modo
fino ad esaurire tutto il resto. A questo punto sono leggibili
nella parte inferiore cioè nel quadro dei prodotti il resto
finale e nel contatore superiore (quadro dei fattori) il risultato
della divisione, nel mentre il numero di decimali del risultato
và calcolato manualmente e corrisponde alla differenza
fra decimali del dividendo e quelli del divisore. L'operazione,
vista ai nostri giorni in cui si trovano macchinette da due soldi
in grado di compiere automaticamente operazioni matematiche di
tutti i tipi, ivi compresa la determinazione de i valori naturali
delle funzioni trigonometriche, fa veramente sorridere per la
sua macchinosità. Ai tempi della nostra storia ha rappresentato
invece un grande passo in avanti. Essa, nella realtà, è
più difficile a spiegarsi che non a eseguirsi perchè,
con una certa pratica, avviene del tutto automaticamente. Infatti
una volta inserito il dividendo ed il divisore si tratta di far
ruotare velocemente la manovella all'indietro fino allo squillo
del campanello, spostare di una casella il carrello, riprendere
a girare all'indietro e ripetere l'intera operazione fino allo
squillo finale. L'intera azione risulta alla fine relativamente
veloce.
L'operazione
di riporto a zero delle cifre è facilitata da apposite
levette poste nel fianco della macchina.
La Brunswiga permetteva anche l'esecuzione della radice quadrata
con un metodo molto intelligente ed arguto ma, anche in questo
caso, risulta assai difficile spiegarne le modalità.
La radice viene così eseguita.
Si inserisce il numero da cui estrarre la radice nel quadro delle
impostazione tramite i piolini e lo si divide mentalmente in gruppi
di due cifre. L'operazione inizia operando nel gruppo più
a sinistra e sottraendovi, cioè facendo girare all'indietro
la manovella, di volta in volta i numeri dispari : prima 1, poi
3, poi 5, poi 7 e così via fintantocché il solito
campanello non annuncia giunta la fine. Allora si torna indietro
di un giro e si diminuisce il numero appena impostato e che non
è più sottraibile dal resto, di una unità,
si sposta il carrello verso destra e si inizia, a sottrarre, nel
gruppo di due cifre immediatamente a desta, di nuovo ed uno di
seguito all'altro, i numeri dispari. L'operazione và ripetuta
fino ad esaurire tutte le cifre del resto. Nel contatore superiore
(quadro dei prodotti) si legge allora il risultato mentre in quello
inferiore (quadro dei fattori) il resto.
Anche in questo caso l'operazione risulta più facile di
quanto non appaia dalla descrizione appena fatta. In pratica,
inserito il primo numero, si tratta di sottrarvi via via 1, 3
, 5 ecc. ecc. spostando il carrello di una casella ogni qual volta
suona il campanello.
Un esempio chiarirà meglio le operazione e potrà
fornire anche la dimostrazione del procedimento.
Si debba ad esempio estrarre la radice quadrata del numero 104976.
La prima coppia di numeri a sinistra è 10. Si inizierà
allora a sottrarvi il numero 1 operando nella colonna sottostante
al 10 medesimo. Dopo il primo giro all'indietro il resto (quadro
dei prodotti) segnala 94976. Si sottrarrà allora il numero
3 ottenendo un resto di 64976, quindi il 5 ottenendo un resto
pari a14976. Il successivo tentativo di sottrarre da 1 il numero
7 darà esito negativo segnalato dallo squillo. Si compie
un giro in senso orario e si trasforma manualmente il numero 7
appena scritto ma non utilizzato perché non contenibile
nel resto, nel numero immediatamente inferiore cioè il
6 . Si sposta il carrello verso destra e si comincia a sottrarre
le solite cifre 1, 3, 5, 7 ecc. dal secondo gruppo di due cifre
scrivendole di fianco al numero 6 di cui si è appena detto.
In pratica si sottrae da 14976 dapprima il 61 ottenendo 8876,
poi 63 ottenendo 2576. La successiva cifra pari a 65 non è
più contenibile nel resto. Il campanello suona, si torna
indietro di un giro, si trasforma il 5 in 4, si sposta il carrello
verso destra e si inizia la nuova serie di numeri dispari. Il
prossimo sottraendo sarà 641 con resto 1935, quindi 643
con resto 1292, quindi 645 con resto 647 e per ultimo 647 con
resto zero. La radice è completa e nel contatore superiore
(quadro dei fattori) si leggerà il risultato pari a 324
e che corrisponde al numero di giri fatti dal carrello nelle varie
posizioni.
La dimostrazione del procedimento è data dal fatto che
sottraendo di seguito uno all'altro i numeri dispari non si fa
altro che sottrarre il quadrato della serie progressiva di cifre
che compongono il risultato. Nell'esempio si sono via via sottratti
1 che è il quadrato di 1, 1+3 che è il quadrato
di 2, 1+3+5 che è il quadrato di 3 (tre è la prima
cifra del risultato). Si è poi sottratto il numero 100+300+500+61=
961 che è il quadrato di 31, poi 961+63=1024 che è
il quadrato di 32 (32 sono le prime due cifre del risultato).
Si è poi spostato il carrello e cominciato a sottrarre
102400+641=103041 cioè il quadrato di 321, poi 103041+643=103684
che è il quadrato di 322, poi 103684+645=104329 che è
il quadrato di 323, infine 104329+647=104976 che è appunto
il quadrato del risultato finale cioè 324. In altri termini
tutta l'operazione è consistita nel ricercare via via per
tentativi successivi ma non casuali quel numero che elevato al
quadrato desse il numero iniziale di cui si ricercava la radice.
Anche in questo caso l'operazione effettiva è più
semplice di quanto non appaia dalla spiegazione. Si tratta, in
effetti, di sottrarre in maniera progressiva la serie di numeri
dispari a partire ogni volta da 1 salvo spostare il carrello quando
la sottrazione diventa impossibile riducendo poi di una unità
il numero impostato.
Chi ha costruito la prima Brunsviga, oltre ad una buona tecnica
meccanica, doveva sicuramente possedere una grande immaginazione
per scoprire un metodo, sia pur nella sua meccanosità,
così intelligente di risolvere un problema, per quei tempi
così difficile.
Il progresso nella costruzione delle calcolatrici meccaniche ha
raggiunto, ad una certa data, livelli veramente elevati quando
si è diffusa la calcolatrice manuale Brunsviga doppia che,
a mio modo di vedere, rappresenta una somma di intelligenza. Si
tratta di due calcolatrici manuali del tutto analoghe a quella
prima descritta abbinate tra di loro e che possono funzionare
sia girando ambedue nello spesso senso o nel senso contrario l'una
rispetto all'altra a seconda della impostazione data dall'operatore
nel mentre il contatore meccanico o numeratore che dir si voglia,
è unico. In pratica la calcolatrice doppia è in
grado di effettuare contemporaneamente due operazioni di somma,
sottrazione, moltiplicazione o divisione, in funzione di un unico
numeratore. Ad esempio si può moltiplicare, con una unica
operazione, per 43 sia il numero 520 che il numero 88 ottenendo
nei due registri (quadri dei prodotti) i due risultati rispettivamente
22360 e 3784. Ma la cosa straordinaria è rappresentata
dal fatto che una volta opportunamente impostate le due calcolatrici,
è possibile, agendo sul carrello e sulla manovella di rotazione,
ricercare quella soluzione che dà, per ambedue le formule
impostate, un unico risultato consentendo così di risolvere,
in maniera semplice, problemi matematici che avrebbero, con le
normali calcolatrici allora in uso, richiesto complicatissime
procedure. Ciò può aver luogo ogni qualvolta esistono,
come in matematica o in geometria accade assai frequentemente,
due diverse formule che, partendo da dati diversi, portano al
medesimo risultato. Si tratta in qualche modo di precorrere i
tempi e cioè di una rudimentale applicazione del calcolo
iterativo, comunemente usato nei moderni computer.
Come
noto, ai nostri giorni, quando siamo in presenza di problemi particolarmente
difficili da risolvere, si ricorre alla iterazione che consiste
nell'iniziare il calcolo con una procedura approssimata e quindi
affinare via via il risultato, sempre con procedure approssimate
ma semplici. Ad ogni iterazione il computer confronta il nuovo
risultato con quello precedente sospendendo le iterazioni non
appena la differenza riscontrata rientra entro le tolleranze ammesse.
Allo stesso modo con la calcolatrice doppia il risultato viene
via via affinato fino ad ottenere, con la equiparazione di quello
dell'una a quello dell'altra macchina che funziona in parallelo
o in senso contrario, la risoluzione definitiva di problemi matematici
complessi. Non si ritiene opportuno in questa sede descriverne
in dettaglio le procedure, data la difficoltà che vi si
incontrerebbe. Ci si limita ad indicare come, nella realtà
, fossero in grado di dare, tenuto conto dei tempi di cui si discorre
ed una volta imparate, velocità nei calcoli prima giudicate
impensabili. Basterà qui dire che in ognuna delle due calcolatrici
abbinate bisogna impostare i dati di una formula atta a dare il
medesimo risultato fatta salva la necessità di tener conto
dei segni matematici di ogni elemento mediante la regolazione
del senso di rotazione dell'una macchina rispetto all'altra e
del senso di rotazione assoluto della manovella. Il tutto codificato
in regole precise del libretto di istruzioni che veniva fornito,
in copia eliografica di un lucido redatto a mano libera, assieme
alla machina e di cui si riporta, per darne un'idea di massima,
un breve estratto nelle figure 3 e 4. Dalla sua lettura si capisce
come la macchina sia stata utilizzata da chi scrive queste note,
esclusivamente per calcoli topografici, per i quali essa presentava
ottime performances. Il suo uso si estende però a calcoli
di qualsiasi tipo fatta salva la difficoltà di conoscerne
le regole, assai complicate ma necessarie per una efficace .utilizzazione
delle peculiari caratteristiche. Ci si deve però rendere
conto di quali erano le reali difficoltà che si incontravano
allora nella esecuzione di calcoli oggi resi estremamente facili
dai mezzi di calcolo di cui si può facilmente disporre.
Occorre a tale riguardo accennare anche ad un'altra caratteristica
dei calcoli topografici di quei tempi e cioè quella legata
all'uso dei valori naturali delle funzioni trigonometriche la
cui determinazione era un motivo in più per rendere le
operazioni difficoltose. Ad esempio per determinare il valore,
con una approssimazione spinta ad almeno otto decimali necessari
per i calcoli topografici, del seno di un angolo dato in gradi,
primi, secondi e decimi di secondo occorreva effettuare a mano
l'interpolazione tra due dati, letti nel manuale relativo, ma
che si riferivano ad angoli di valore arrotondato alla decina
di secondi. L'operazione, facilitata da una tabella delle interpolazioni
che era riportata sul fianco della pagina, presentava comunque
una certa complessità e un discreto margine di errore.
In un secondo tempo le calcolatrici meccaniche vennero elettrizzate
e quindi le stesse operazioni descritte erano eseguite, con la
medesima sequenza, ma del tutto automaticamente. Era allora una
vera comica vedere questo carrello, soprattutto nelle moltiplicazioni
e nelle divisioni, che saltellava lateralmente a velocità
impressionante.
La vera rivoluzione nel calcolo matematico si è avuta più
tardi con l'avvento delle prime calcolatrici digitali e, subito
dopo, di quelle tascabili programmabili. Queste ultime, pur consentendo
di utilizzare solo pochi passi di programma (all'inizio erano
solo 25) purtuttavia diedero una immediata percezione delle loro
enormi possibilità, confermate poi dall'uscita di macchinette
tascabili molto potenti e contemporaneamente da quell'autentico
gioiello che fu il primo personal computer e cioè l'Apple
secondo. Da allora è stato un susseguirsi di eclatanti
novità fino a giungere, in breve tempo, ai moderni personal
la cui rilevante potenza di calcolo assieme alla grande disponibilità
di programmi applicativi permette di eseguire agevolmente calcoli
matematici di ogni genere e non solo quelli. Descrivere le caratteristiche
dei moderni personal esula totalmente dalle finalità della
presente nota, pertanto la mia piccola storia delle calcolatrici
finisce qui. Il tema delle calcolatrici in essa trattato è
così vasto da richiedere, per una descrizione esaustiva,
interi volumi. Ma lo scopo qui perseguito non è questo.
Ho voluto semplicemente ricordare alcune caratteristiche delle
calcolatrici meccaniche pensando sia bene non ne vada perduta
la memoria per l'intelligenza e peculiarità che le caratterizzano
e che ritengo di sicuro interesse scientifico nonchè atte
a destare la curiosità dei lettori.