Nell'articolo "OPERE PUBBLICHE SCADENTI
PER INADEGUATEZZA DI TRACCIAMENTO" visibile in in http://altratecnicabis.3000.it
è spiegato come molti manufatti di tipo nastriforme recentemente
costruiti, ad esempio strade, canali, marciapiedi, aiuole, cordonate
ecc, siano veramente brutti da vedersi perché realizzati
senza un accurato tracciamento preventivo. E' anche indicato come
a far difetto siano sopratutto i raccordi al vertice dei rettifili
i quali, invece di corrispondere ad altrettanti archi di circonferenza
tangenti ai rettifili stessi, seguono dei percorsi casuali a raggio
vario e anch'esso casuale perchè tracciati, come si usa
dire, ad occhio, cioè senza applicare alcuna delle normali
regole di tracciamento.
In questa breve nota si consiglia l'utilizzazione del cosiddetto
"metodo del quarto" quale valida alternativa di quelli
classici in quanto, pur non potendo sostituirli appieno, può
evitare gran parte dei difetti di cui si è detto.
L'uso più semplice riguarda il tracciato di un arco di
circonferenza definito da tre punti e cioè quello di inizio
e di fine nonché del suo punto mediano. Si tratta quindi
di materializzare nel terreno un arco circolare essendo note la
corda e la freccia.
Il metodo usufruisce di una regola approssimativa in base alla
quale, per archi di cerchio aventi angolo al centro di entità
modesta, la freccia di una prima porzione pari alla metà
dello sviluppo, corrisponde con molta approssimazione ad un quarto
di quella dell'intero. Per tracciare tutta la curva è quindi
sufficiente dividere a metà ed in successione ciascuno
dei tratti già definiti innalzando dalla mezzeria della
relativa corda una freccia di valore pari ad un quarto di quella
precedente.
Ad esempio con riferimento alla figura 1
nella quale risultano definiti e materializzati sul terreno i punti A, B, C di base si hanno i seguenti valori:
Corda iniziale = A - B = 20.00 m Freccia iniziale = C - D = 4.00 m
Frecce successive (regola del quarto) rispettivamente 1.00 m, 0.25 m, 0.063 m, 0.016 m ecc.
Da rilevare come i valori esatti sarebbero: 1.037 m, 0.262 m, 0.066 m, 0.016, e quindi molto vicini a quelli calcolati empiricamente.
Il tracciato della curva ha luogo innalzando
dalla mezzeria delle corde A-C e C-B una freccia lunga m. 1.00
con cui si ottengono i due nuovi punti E1 ed E2 della curva. Il
raccordo, a questo punto, risulta diviso in quattro parti. Dalla
mezzeria delle relative quattro corde si innalzeranno quattro
frecce lunghe m. 0.25 definendo i punti F1, F2, F3, F4. La curva
è ora definita da otto punti e otto corde dalla cui mezzeria
si potranno innalzare altrettante frecce lunghe m. 0.063. La procedura
può essere ripetuta a piacere fino a definire il tracciato
con sufficiente dettaglio.
Qualora si volesse conoscere il valore del raggio di curvatura
basterà applicare la seguente formula
Raggio=0.5 corda/(sen(2 x arccos(freccia/0.5corda))
NB. : ArcTang = angolo corrispondente alla tangente
Nell'esempio si ottengono i seguenti risultati:
Raggio = 10.00 m/sin(2 x arccos 0.400) =14.500 m
Il metodo è valido per archi di cerchio
nei quali la freccia non sia superiore al 20% della corda il che
corrisponde ad un angolo superiore o inferiore ad un angolo retto
rispettivamente per quello al vertice e per quello al centro.
Nell'esempio la percentuale della freccia rispetto alla corda
è pari esattamente al 20%. Si tratta quindi del limite
estremo di applicabilità del metodo. Per le percentuali
inferiori la precisione dei risultati sarà ancora migliore
di quella, già buona, dell'esempio stesso.
Vediamo ora l'applicazione del metodo del quarto nella esecuzione del tracciato classico delle opere nastriformi che costituisce lo scopo precipuo da raggiungere: il raccordo circolare di due rettifili (vedi Figura 2)
La prima operazione da effettuare è
la determinazione sul terreno del vertice operata prolungando
i due rettifili fino al loro punto di intersezione C che è,
appunto, il vertice. Si passa quindi alla
definizione dei punti di tangenza A e B cioè dei punti
nei quali si desidera abbia inizio e fine il raccordo.
Essa avrà luogo, molto semplicemente, riportando lungo
i due rettifili una stessa lunghezza, chiamata tangente, a partire
dal vertice. Il valore della tangente rappresenta l'unica variabile
in gioco dalla quale dipendono le caratteristiche dell'opera e
cioè il suo percorso reale ed il suo raggio di curvatura.
I due punti di tangenza quindi devono essere scelti con cura,
se necessario sperimentando diverse varianti, in modo da verificare,
a tracciato completato, quale sarà la reale ubicazione
delle opere ed il loro impatto con i luoghi tenute presenti le
due seguenti inderogabili condizioni idi base.
1° Le due tangenti devono essere equivalenti.
2° Il raggio di curvatura, una volta fissate le tangenti,
è fisso ed invariabile per tutto lo sviluppo della curva.
E' da rilevare come siano proprio queste due regole di base che
nella realtà vengono sistematicamente infrante ricorrendo
ad adattamenti empirici di tracciato al fine di adeguarlo alle
caratteristiche reali del terreno: il risultato finale, come già
detto, è pessimo.
Dirò di più. Molto spesso nei lavori di cui si parla
non viene nemmeno determinato il vertice dei due rettifili!
Una volta definite accuratamente le tangenti, si misurerà
la corda cioè la distanza A-B che intercorre tra i due
punti di tangenza. A questo punto sarà possibile calcolare
il valore della prima freccia inserendo i due elementi noti cioè
corda e freccia nelle seguenti formule.
Alfa = metà angolo al centro= =ArcCos(mezza corda/tangente)
Freccia(1) = mezza corda x tan (Alfa/2)
Raggio= mezza corda/sen alfa
N.B.:
-ArcTang = angolo corrispondente alla tanngente indicata
-Alfa = metà angolo al centro
Esempio:
Si abbia Tangente = 13.810 m e
Corda = 20.00 m
Si calcoleranno i seguenti elementi di tracciamento.
Alfa= mezzo angolo al centro = ArcCos(10.00 m/13.81 m)= ArcCos 0.724 = 48.448 gradi centesimali.
Freccia(1)= 10.00 m x tan 24.224 = 4.00 m
Raggio = 10.00m/sen48.448=14.50m
N.B.: L'angolo al centro è pari a
96,896 gradi centesimali e quindi inferiore ad un angolo retto,
il metodo è quindi ammissibile.
Per il calcolo delle frecce degli elementi di tracciato successivo
si userà la regola del quarto, come segue.
Freccia iniziale = 4.00 m
Frecce successive (regola del quarto) rispettivamente 1.00 m,
0.25 m, 0.063 m, 0.016 m ecc. . Per il picchettamento della restante
parte della curva vale quanto detto per il precedente esempio.
L'unico limite di applicabilità del metodo descritto è
dato dall'ampiezza dell'angolo al vertice che, come già
precisato, deve essere superiore all'angolo retto pena la eccessiva
approssimazione dei risultati.
E' però da tener presente come in tutti i casi in cui la
curva da tracciare ecceda tale limite, si può ricorrere
ad un artificio estremamente semplice e cioè alla suddivisione
della curva in due settori concentrici ognuno dei quali rientra
entro i limiti imposti.
Facendo riferimento alla fig 3 relativa
a due rettifili che si intersecano al vertice C con un angolo
troppo piccolo che non consente l'uso diretto del metodo del quarto
si traccerà l'allineamento D - E che determina, sui due
rettifili originari i due sottovertici D E.
Il valore della tangente A - C sarà ottenuto con la:
A C = (DV + DE + EV)/2
Riportando tale lunghezza a partire dal vertice si picchetteranno
i due punti di tangenza A e B mentre il nuovo punto di tangenza
F comune alle due sottocurve sarà ottenuto riportando la
distanza AD oppure BE lungo la DE.
A questo punto sono materializzati tutti gli elementi sufficienti
per tracciare tutto lo sviluppo della curva applicando due volte
la regola del quarto rispettivamente per la prima e la seconda
porzione di curva. Ne risulterà un raccordo circolare a
raggio unico e tangente ad ambedue i due rettifili originari.
Nell'esempio di fig 3 si svrà:
Tangente=(16.00+12.32+12.43)/2=20.37
Riportando sul terreno la tangente 20.37 si potranno misurare
tangenti e corde come segue:
Prima semicurva, tang.=7.94, corda=12.12
Seconda semicurva, tangente =4.7, corda = 7.93
Si calcoleranno quindi le frecce:
Prima semcurva
Alfa=arccos(6.06/7.94)=44.753 gradi centesimali
Freccia=6.06*tang 22.367
Raggio=6.06/sen44.753=9.37
Seconda semicurva
Alfa=arccos(3.965/4.37)=27.803 gradi centesimali
Freccia=3.965*tang13.901=0.89
Raggio=3.965/sen27.803=9.37
Anche in questa operazione la posizione
definitiva dell'opera è funzione del valore della tangente.
In sede esecutiva sarà quindi opportuno sperimentare diverse
soluzioni variando la posizione dell'allineamento DE da cui dipende
il valore della tangente definitiva.
Per quanto riguarda la direzione angolare di detto allineamento
C- D, fermo restando che essa è ininfluente ai fini della
precisione del tracciato, è però consigliabile scegliere
una direzione che, anche in via molto approssimativa sia perpendicolare
alla bisettrice dell'angolo al vertice. In questo modo si otterranno
delle corde della prima porzione di curva, simili a quelle della
seconda il ché porterà ad una picchettazione abbastanza
omogenea. Negli altri casi i punti tracciati apparterranno comunque
all'arco di circonferenza ma ci sarà una notevole differenza
fra le distanze della prima serie di punti da quelle della seconda
serie. (vedi figura 4)
A conclusione di questa breve nota si può
affermare che, anche nella presente era tecnologica, l'antico
metodo del quarto può trovare un utile impiego nel tracciamento
delle curve e dei raccordi circolari per la semplicità
con cui permette di materializzare in loco un arco di cerchio
a raggio unico, tangente ai rettifili e coincidente, con l'approssimazione
di pochi centimetri, con quello condotto con il metodo rigoroso.
Si è anche dimostrato come il limite della metodologia
dato dall'ampiezza dell'angolo al vertice dei due rettifili da
raccordare possa facilmente essere superato suddividendo, se necessario,
il tracciato in due parti.
Quelle descritte sono, in definitiva, operazioni topografiche
semplici e più che sufficienti per una corretta costruzione
delle comuni opere nastriformi come strade, canali, marciapiedi,
cordonate, aiuole ecc. e che, per giunta, non richiedono che una
attrezzatura assolutamente elementare: una cordella metrica, un
metro da muratore ed una macchinetta calcolatrice che dia le funzioni
trigonometriche degli angoli.
aggiornato marzo 2006