Scrittura dei numeri

In linea di principio potremmo scrivere i numeri in molti modi diversi e strani, basta trovare un sistema per farlo. Tuttavia certi tipi di scrittura possono implicare gravi complicazioni quando vogliamo fare i conti, se non rendere impossibile farlo. In questo senso possiamo distinguere due grandi categorie di scrittura dei numeri: le scritture posizionali e le scritture non posizionali (che sono tutte le altre). Le scritture posizionali sono quelle che permettono molto agilmente di fare i conti anche solo con carta e penna. Come ho detto prima, le scritture non posizionali potrebbero essere anche stranissime in linea di principio, ma per illustrarvele vi darò l' esempio della scrittura dei numeri non posizionale più famosa: i numeri romani.

Scritture dei numeri non posizionali
Numeri romani
 Per prima cosa devo dire che i numeri romani permettono di rappresentare solo una parte dei numeri naturali.
Intanto fornisco il significato dei simboli usati nei numeri romani (in realtà sono lettere maiuscole stampatelle) esprimendoli nella nostra normale scrittura dei numeri:
I=1
V=5
X=10
L=50
C=100
D=500
M=1000
Si scrive il simbolo di maggior valore a sinistra (e così via) e vale la regola che un simbolo non può essere ripetuto più di 3 volte e questo rende necessaria un' altra regola (perché diversamente non si potrebbero rappresentare tutti i numeri naturali nell' intervallo rappresentabile dai numeri romani); se c' è un simbolo di minor valore a sinistra di un simbolo di maggior valore, allora bisogna sottrarre il valore minore dal valore maggiore ed in questo caso M può essere preceduto solo da C e D, D può essere preceduto solo da C, C può essere preceduto solo da X e L, L può essere preceduto solo da X, X può essere preceduto solo da I e V, V può essere preceduto solo da I (ad esempio MXXX=1030, XL=50, XC=90).
Esempi:
III=3
IV=4
XCIX=99
CCCLIII=353
CDL=450
CM=900
CML=950
CMXC=990
CMXCV=995
CMXCIX=999
MCDXCII=1492
MCDXCV=1495
MCMXLV=1945
MCMLXXXII=1982
MMII=2002
MMM=3000
Questo sistema non è completo perché permette solo di scrivere numeri naturali e non fino all' infinito (anche se una scrittura non posizionale in generale potrebbe permettere di scrivere numeri grandi quanto vogliamo ed anche un qualsiasi numero reale o complesso). È inutile dire che con questa scrittura è impossibile fare i conti con carta e penna (infatti a quei tempi usavano l' abaco).
Nota: la scrittura dei numeri degli antichi romani si è evoluta nel tempo e ci sono state varianti, quella qui presentata è quella classica.
Scritture dei numeri posizionali
Le scritture dei numeri non posizionali sono tante perché ce ne possiamo inventare sempre di nuove, le scritture dei numeri posizionali invece sono tante semplicemente perché ne esiste una per ogni numero naturale maggiore o uguale a due. Tale numero si chiama base del sistema di numerazione posizionale e nel sistema utlizzato assume il ruolo di numero "più importante". Di solito non serve specificare quale base stiamo usando perché se non c' è questa informazione assumiamo di utilizzare la nostra base comune: il dieci. È evidente che abbiamo scelto il dieci perché abbiamo dieci dita (ma certe antiche popolazioni hanno scelto il venti perché camminavano scalze e per contare usavano anche le dita dei piedi). Quando si parla di basi numeriche (come in questa pagina) bisogna specificare la base per non fare confusione. A questo scopo inserirò nel testo la base scritta in base dieci che verrà messa accanto ai numeri scritti come se fosse un indice ad indicare in che base è scritto quel numero.
Usiamo la virgola, per separare le cifre (i simboli come 0, 1, 2, eccetera) che rappresentano numeri interi da quelle che rappresentano numeri non interi. Alcuni invece per questo scopo usano il punto (è un' usanza anglosassone). La cifra più a destra in assenza di virgola o la cifra che sta a sinistra della virgola indica le unità, cioè il suo valore ci dice quante volte è contato il numero uno, la cifra che sta subito a sinistra della precedente ci dice quante volte è contata la base che abbiamo scelto (ad esempio 1010), quella a sinistra della precedente ci dice quante volte è contata la base moltiplicata per se stessa (ad esempio 10010), quella a sinistra della precedente ci dice quante volte è contata la base moltiplicata per se stessa due volte (ad esempio 100010) e così via all' infinito. La cifra che sta subito a destra della virgola indica quante volte è contato il numero non intero uno diviso la base (ad esempio 110/1010), quella a destra della precedente ci dice quante volte è contato il numero uno diviso la base moltiplicata per se stessa (ad esempio 110/10010), quella a destra della precedente ci dice quante volte è contato il numero uno diviso la base moltiplicata per se stessa due volte (ad esempio 110/100010) e così via all' infinito. Si chiamano scritture posizionali perché la cifra ha un valore diverso a seconda di quale posizione (se è più a destra o più a sinistra) occupa. Con queste convenzioni in qualsiasi base il numero zero si scrive 0, il numero uno si scrive 1, la base si scrive 10. Formalizzo quanto ho scritto sopra in un esempio. A tale scopo indico con b una base qualsiasi.
1527,26b=1b*10b3b+5b*10b2b+2b*10b1b+7b*10b0b+2b*10b-1b+6b*10b-2b
Per usare basi maggiori di dieci si usano le prime lettere maiuscole stampatelle dell' alfabeto per le cifre mancanti.
Sarebbe molto più opportuno inventare nuovi simboli per le nuove cifre, le lettere vanno inutilmente a confondersi con unità di misura, incognite, variabili e parametri.
 Guardate le seguenti tabelle per capire meglio la scrittura dei numeri in varie basi.
base due base quattro base otto base dieci
1 1 1 1
10 2 2 2
11 3 3 3
100 10 4 4
101 11 5 5
110 12 6 6
111 13 7 7
1000 20 10 8
1001 21 11 9
1010 22 12 10
1011 23 13 11
1100 30 14 12
1101 31 15 13
1110 32 16 14
1111 33 17 15
10000 100 20 16
10001 101 21 17

base dieci base undici base dodici
1 1 1
2 2 2
... ... ...
9 9 9
10 A A
11 10 B
12 11 10
13 12 11
... ... ...
120 AA ...
121 100 ...
122 101 ...
... ... ...
143 ... BB
144 ... 100
145 ... 101

Devo fare un' importante osservazione. Tutte le regole scritte sopra derivano dall' estensione della scrittura in base dieci a qualsiasi base e sono completamente logiche e coerenti. Tuttavia per le scritture di numeri in altre basi troverete anche delle diverse convenzioni che sono conseguenza diretta dell' informatica. Infatti il computer fa tutti i suoi conti in base due (e poi converte il risultato in base dieci). Siccome il computer a livello elementare sa fare solo l' addizione, si è presentata la necessità di fargli fare anche la sottrazione sempre a livello elementare con lo stratagemma di addizionare numeri negativi. Per questo in informatica si usa una strana notazione (che farebbe rizzare i capelli in testa ad un matematico puro) per i numeri negativi in base due, ma questa incide parzialmente anche sui positivi con il risultato di causare una grande confusione se non si conoscono le regole per scrivere i numeri in base due in informatica, anche perché in informatica con questa notazione non vengono rappresentati i numeri non interi, mentre matematicamente è legittimo farlo. Inoltre ho notato che una qualunque comune calcolatrice scientifica (che può convertire i numeri da una base all' altra), usa proprio la notazione dell' informatica e non solo per la base due, ma anche per qualsiasi base diversa da dieci!!!
Quando scriviamo numeri con troppe cifre può essere difficoltoso leggerli. Allo scopo di evitarlo è meglio separare gruppi di cifre. Per convenzione possiamo non separare le cifre, ma se lo facciamo, le separiamo in gruppi di 3 contandole subito a sinistra della virgola e subito a destra della virgola e in assenza di virgola dall' ultima cifra; non le separiamo col punto, ma lasciando uno spazio. Alcuni per separarle usano il punto, altri la virgola (è un' usanza anglosassone). Questo modo di separazione ha senso (in base dieci) per il modo stesso in cui leggiamo i numeri. Esempi:
12 501 780 - dodici milioni cinquecentounmila settecentoottanta
699 888 - seicentonovantanovemila ottocentoottantotto
56 000 700 050 - cinquantasei miliardi settecentomila e cinquanta
1 246,666 432 - mille e duecentoquarantasei e seicentosessantaseimila quattrocentotrentadue milionesimi
150,123 456 789 - centocinquanta e centoventitre milioni quattrocentocinquantaseimila settecentoottantanove miliardesimi
Nota: per i numeri non scritti in base dieci leggiamo semplicemente le cifre una dopo l' altra dicendo dov' è la virgola.
Prima ho scritto che le scritture posizionali permettono di eseguire agilmente i conti con carta e penna. Questo è dovuto alla definizione del significato della scrittura posizionale. Ecco l' esempio per l' addizione che tutti conosciamo fin dalle scuole elementari.
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