Nota: Le soluzioni delle equazioni xn=1 vengono anche chiamate radici n-esime dell' unità.
Quando calcoliamo a, in realtà cerchiamo il numero x tale che xn=a. Un operazione per convenzione dà un solo risultato, ma chi ci assicura che x sia unico? In effetti non lo è. E allora come lo scegliamo? Tra numeri non reali e numeri reali scegliamo quelli reali, tra numeri negativi e positivi scegliamo quello positivo. Si può dimostrare che con queste scelte, se a è un numero reale, ci rimane un solo numero.
Esempio:
Vogliamo sapere quanto fa 9: i numeri x tali che x2=9 sono 3 e -3 perché 32=9 e (-3)2=9. Per convenzione poniamo 9=3.
Generalizziamo: vogliamo calcolare a (prendiamo n come numero naturale). Per prima cosa dobbiamo trovare tutti i numeri x tali che xn=a. Una volta fatto, scegliamo quello che ci interessa (questo è un ragionamento teorico: praticamente si trova il risultato colla calcolatrice o a mente). È importante osservare che questi numeri x sono tutti e soli le soluzioni dell' equazione polinomiale xn=a o di quella equivalente xn-a=0.
Nota: Se n è un numero naturale ed a un numero reale, le soluzioni rappresentate nel piano complesso sono i vertici di un poligono regolare avente n lati.
Nel caso delle equazioni di secondo grado, che sappiamo avere 2 soluzioni, nella formula risolutiva c' è una radice quadrata preceduta da ±. Così otteniamo 2 soluzioni: una considerando il valore della radice quadrata, l' altro considerando il suo opposto. Questo vale perché un numero ed il suo opposto elevati al quadrato danno lo stesso numero e non c' è nessun altro numero che elevato al quadrato dia quel numero.
Ma in generale, conoscendo il valore di a, come si fa a trovare tutti gli altri numeri x tali che xn=a?
Per prima cosa risolviamo il problema più semplice di calcolare tutte le soluzioni di xn=1 (poi vedremo che da questo si potrà dedurre il caso in cui al posto di 1 c' è a). È quello che faremo in questa pagina.
Dal teorema fondamentale dell' algebra sappiamo che xn=1 ha esattamente n soluzioni tra i numeri complessi.
- 1 0 0 - (-1) 1 - 0 1 1 - 1 --------------------- - 1 1 1 - 0(x3-1)/(x-1)=1x2+1x+1
- 1 0 0 0 0 - (-1) 1 - 0 1 1 1 1 - 1 --------------------------- - 1 1 1 1 1 - 0Quindi