ALGEBRA LINEAL PARA TODOS
JOSE ARTURO BARRETO, M.A.
THE
UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN
Los capítulos del libro ÁLGEBRA LINEAL PARA TODOS originalmente
fueron producidos con Word. Al convertirlo a HTML no se vén adecuadamente. Para
corregir la falta de alineación se sugiere: bájarlos a un archivo en disco en
su computador, abrir luego el programa WORD y a continuación abrir los
capítulos utilizando “exclusivamente” el menú archivo o alguna opción de WORD.
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maneje archivos HTML posiblemente no alinearán perfectamente. Si aún no los vé
bién vealos con la opción diseño de impresión de WORD.
CAPITULO
7.
Vectores en R3
Genelarizaremos
los resultados obtenidos en el capítulo sobre vectores en R2 (el
plano X-Y) a vectores en el espacio de 3
dimensiones X-Y-Z. o espacio R3
.
Un
punto de coordenadas P(x,y,z) puede reprersentarse en el espacio tal como se
muestra en la figura, donde (x,0,0), (0,y,0) y (0,0,z), son puntos situados
respectivamente sobre los ejes ortogonales X-Y-Z, a
distancias x, y, z , respectivamente, del origen O.
Z
(0,0,z)
P(x,y,z)
v
O (0,y,0) Y
(x,0,0)
X
De manera similar
al caso en R2 , el vector v, con origen en O(0,0,0) y extremo en P(x,y,z), se expresa como v = (x,y,z), en donde x,y,z se denominan las componentes de v.
Extendiendo las definiciones de suma y resta de vectores y multiplicación
por un escalar de R2 a R3 , definimos:
Si u = ( u 1,
u 2, u 3 )
y v = ( v 1,
v 2, v 3 ), definimos u + v = ( u 1
+ v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 )
u - v = ( u 1 -
v 1, u 2 - v 2, u 3 - v 3 )
Si l e R, definimos: l v = (l v 1, l v 2 , l v 3 )
Por analogía, definimos la norma, longitud o magnitud del vector v
=(x,y,z)
como
| v
| = Ö( x 2 + y 2 + z 2 )
todas las propiedades de la norma de vectores en R2 se cumplen
en R3 , a saber:
i)
| v
| ³ 0, y | v | = 0 si y sólo
si v = 0.
ii)
| lv | = |l| | v
|, para todo l e R, y todo v e R3 .
iii)
| u
+
v
| £ | u | + | v
|, para todo u,v
e R3 .(Desigualdad triangular)
La estructura < R3 , +,
. >, que consta de un conjunto en el cual se ha definido la operación suma (
por lo tanto la resta, de la manera natural), y la multiplicación por números
reales l, se dice que tiene estructura de espacio vectorial o que las operaciones
+ y ., dotan a R3 de una
estructura de espacio vectorial, en el cual las operaciones cumplen las
siguientes leyes.
Si x,u,v,w
son
vectores, entonces:
i) u + v = v + u Propiedad
conmutativa
ii) u + (v + w) = (u
+ v) + w Propiedad
asociativa
iii) v + 0 = 0 + v = v 0
es
el elemento neutro de la suma de vectores.
iv) x + (-x) = 0 y –x + x = 0 Para cada vector x
existe un opuesto aditivo -x
v) (ab) x = a(b x), a e R, b e R Ley asociativa mixta
vi) (a + b) v = a v + bv,
a e R, b e R Ley distributiva mixta
vii) a (u + v) = a u
+ a v,
a e R, b e R Ley distributiva mixta
viii) 1. x = x 1 e R, es el elemento
neutro con respecto a (.)
Las siguientes
propiedades que podrían inferirse de las anteriores, y que se pueden verificar
en R3 , se cumplen en todo espacio vectorial.
i) 0 v = 0, 0 e R, v e R3 , r 0 = 0 , r e R , 0 e R3
ii)
(-1) v = - v,
-1 e R, v e R3
Continuaremos
nuestro estudio.
El vector v = OP (o su
extremo),determina (o recorre) , una recta
L en su misma dirección que pasa por el origen O. El vector lv (o su extremo),
recorre la recta L en un sentido si l > 0 y en el contrario si l < 0. Z L
l
> 0
lv
v
Y
lv
l< 0
X
Ejemplos:
Si u = ( 2, 3, -1 ) y v = ( 3, -1, 2 ),
entonces:
u + v
=
( 2+3, 3-1, -1+2) = ( 5, 2, 1 ) , u - v
=
( -1, 4, -3 ),
3 u = ( 3 × 2, 3 × , 3 × (-1) ) = ( 6, 9, -3 ) ,
-2 v = ( -2 × 3, -2 × (-1), -2 × 2) = ( -6, 2, -4)
El vector nulo
en R3 es 0 = ( 0, 0, 0 ).
Los vectores e 1 = ( 1, 0, 0
), e 2 = ( 0, 1, 0
), y
e 3 = ( 0, 0, 1 ), son vectores de longitud o norma 1
(unitarios), en las direcciones de los ejes X, Y, Z, respectivamente.
Z
e 3
e 2 Y
e 1
X
Gráficamente la suma y resta de vectores y la
multiplicación por un escalar (número), tal como en R2 , se
representan por flechas siguiendo las leyes del paralelogramo, con el vector v – u, paralelo y en la dirección de la flecha con origen
en el extremo de u y
extremo, en el extremo de v, o sea que es paralelo a la flecha que “va” de u a v.
El producto interno o producto escalar, de dos
vectores u = ( u 1,
u 2, u 3 )
y v = ( v 1,
v 2, v 3 ), denotado por u . v o por < u
,
v
>,
se define de manera similar a como se hizo en R 2 , así:
u
.
v = < u
,
v
>
= u 1× v 1 + u
2 × v 2 + u 3 ×
v 3 ,
Todas las propiedades, sus relaciones con la norma y las fórmulas presentadas en R2 tienen
validez en R3. . Siempre y cuando se extiendan las definiciones como
se ha hecho.
Dependencia e independencia lineal de vectores:
Para facilitar nuestras descripciones definiremos el nuevo conjunto
Gen(V), a partir de un conjunto de vectores
V = { v 1, v 2, v 3 ... v k } como el
conjunto de todas las combinaciones lineales de los vi, i= 1,2,....,k, , así:
Gen (V) = { l 1 v 1 + l 2v 2 + l 3v
3 ... + l kv k , l i e R }.
Es decir, un elemento de Gen (V) sería
v 3 o v 1, etc, 3 v 1 - v 4 , 2
v 1 + 3 v 2 + v 3, v 1+ 4 v 2 +
6v 3+ 2v 4, etc.
Es claro que si v e V, 0 v = 0 e V, de donde se
concluye que Gen(V), siempre posee el vector 0, o expresado geométricamente:
siempre pasa por el origen.
Conclusiones (ver
los siguientes gráficos):
a) Gen {0} = {0}
b) Gen { v
1 } es una recta en la dirección de v 1.
c) Gen { v 1
, v 2 } es un plano, si v 1 y v 2 no son
colineales.
(a) (b) (c)
Generalizando la definición de independencia lineal
de R2 a R3, decimos que un conjunto de vectores { v
1, v 2, v 3 ... v k } es linealmente
dependiente si alguno de ellos se puede expresar como una combinación lineal de los
restantes, es decir, si para algún subíndice
p , 1 £ p £ k, se tiene que
v p e Gen { v 1 , v 2 , … ,
v p-1 , v p+1 , …, v k }
o
lo que es lo mismo v p = l 1 v 1 + l 2 v 2 + … , l p-1v p-1 + l p+1v p+1 , …, l k v k , es una combinación lineal de los vectores
restantes.
De
lo contrario se dice que son linealmente independientes.
El
significado geométrico se puede apreciar en las siguientes figuras:
v2 v 3 v 2
v 1 v 3
v 2 v 1
(a) (b) (c)
v 1 , v 2 : Linealmente
dependientes v 1 , v 2 : Linealmente
dependientes v 1 , v 2
: Linealmente independientes
v 1 , v 3 : Linealmente
independientes v 1 , v 3
: Linealmente independientes
v 2 , v 3 : Linealmente
independientes v 2 , v 3
: Linealmente independientes
v 1,v 2, v 3: Linealmente
dependientes v 1,v 2, v 3: Linealmente
independientes
En
el caso
(a) los vectores v 1,v 2 son
linealmente dependientes por pertenecer a la misma recta, es decir que: v 2 e Gen { v 1 }.
(b) Auncuando v 3 no pertenece a Gen {
v 1,v 2 }, el hecho de que v 2 e Gen { v 1 }, hace
que el conjunto { v 1,v 2 , v3 }, sea linealmente
dependiente.
(c)
Los vectores v 1, v 2 , v 3 son linealmente
independientes, ya que ningúno de los 3 vectores pertenece al Gen de los demás
ya que v 3 no
pertenece al plano Gen ({v
1,v 2}),
lo mismo puede decirse de v
2 respecto de {v 1,v 3 },
etc.
Tal como sucedió en R2 :
El
conjunto de vectores { v 1, v 2, v 3 ... v
k } es linealmente independiente si y sólo si:
l 1 v
1 + l 2 v 2 + … + l k v
k = 0 implica l 1 = l 2 = l 3 = ... = l k = 0.
La proposición anterior, resaltada con negrilla, será en el futuro la que se utilizará para definir la independencia lineal de vectores, puesto que algebraicamente es mas fácil de manipular.
Problema:
Son los vectores u = (1,2,3) , v = ( 3,1,2 ) , w = (1,0,1), linealmente independientes?
Solución:
Si al plantear la ecuación: l 1 u + l 2 v + l 3 w = 0
Se concluye que
necesariamente l 1 = l 2 = l 3 = 0, entonces los
vectores en cuestión son linealmente independientes, de lo contrario serán
linealmente dependientes.
Veamos: l 1 u + l 2 v + l 3 w = 0
Es equivalente al sistema de ecuaciones lineales:
l 1 +
3l 2 + l 3 = 0
2 l 1 +
l 2 + 2l 3 = 0
3
l 1 + 2 l 2 + l 3 = 0
Utilizando la descomposición LU con
sobreescritura, tenemos:
1 3
1 1 3
1 1 3 1
2 1
2 F2 - 2F1 2
-5 0 2
-5 0
3 2
1 F3 - 3F1 3
-7 -2 F3
- (7/5)F2 3
7/5 -2
Luego:
1 0
0 1 3
1
L = 2 1 0 U = 0 -5
0
3 7/5
1 0 0
-2
Resolvemos Lux
= 0, así
Ly
= 0;
y
1 =
0
2 y 1 + y 2 = 0
3 y 1 + 7/5
y 2 + y 3 = 0,
concluyéndose que: y 1 =
y 2 = y 3 = 0.
Resolviendo
ahora: Ux = 0, o sea:
x 1 +
3 x 2 + x
3 = 0
-
5 x 2 = 0
-
2 x 3 = 0
Concluyéndose
que necesariamente x 1 = x 2 = x 3 = 0.
Los vectores en
cuestión son linealmente independientes.
Ejemplo
Los vectores u = (2,3,1) , v
= ( 3,8,3 ) , w = (-1,2,1), son linealmente dependientes.
Ya que
l 1 u + l 2 v + l 3 w = 0 es equivalente a plantear:
2 l 1 + 3 l 2 - l 3 = 0
3
l 1 + 8 l 2 + 2 l 3 = 0
l 1 + 3 l 2 + l 3 = 0
Descomponiendo la
matriz de los coeficientes del sistema anterior en la forma LU, tenemos:
2 3 -1
1 3 1 1 3 1 1 3 1
3 8
2 º 3
8 2 F2 - 3F1
3 -1 -1 º 2 -1 -1
1 3 1 2
3 -1 F3 - 2F1
2 -3 -3 F3 - 3F2 2 3 0
intercambio
3ra. fila con 1ra.
Luego 1 0
0 1 3
1
LU = 3 1
0 0 -1
-1
2 3
1 0 0
0
El intercambio de
las filas no afectará el proceso ya que el sistema de ecuaciones es homogéneo( Ax = b, con b= 0).
Resolvemos Ly = 0
y 1 = 0
3 y 1 + y 2 = 0
2 y 1 + 3 y 2 + y 3 = 0,
concluyéndose que: y 1 =
y 2 = y 3 = 0.
Ahora resolvemos Ux = y
O sea
x1 + 3x2 + x3 = 0
-
x2 -
x3 = 0
0 x3 = 0
Luego x3
puede tomar cualquier valor y no es necesariamente igual a 0.
Por lo tanto los
vectores son linealmente dependientes.
Los vectores e 1 = ( 1, 0, 0 ), e 2 = ( 0, 1, 0
), y
e 3 = ( 0, 0, 1 ), son linealmente independientes como se puede concluir al
plantear la ecuación
l 1 e
1 + l 2 e 2 + l 3 e
3 = 0
La
cual deviene en:
l 1 = 0
l 2 = 0
l 3 = 0
Además: | e
1 | = | e 2 | = | e
3 | = 1. Los vectores e
i son de longitud 1.
Mas aún, como: < e
1 , e 2 > = 0 , < e
1 , e 3 > = 0, < e
2 , e 3 > = 0,
O lo que es lo mismo: < e i , e j > = 0, si i ¹ j
Por lo tanto son mutuamente ortogonales y unitarios
(de norma 1) y por lo tanto constituyen un conjunto ortonormal.
(Estas últimas características se pueden resumir
diciendo que
< e
i , e j > = dij, ( donde dij = 1 si
i=j y dij = 0 si i¹ j. )
Aplicaciones geométricas
Tal como en R2 , los vectores , el
producto interno y la norma tienen sus aplicaciones geométricas, ahora en
dimensión 3.
Tomemos el cubo de lado a ¹ 0,
De manera similar a la que probamos que las
diagonales de un paralelogramo se intersecan en su punto medio, probaremos que
las diagonales de un cubo se intersecan en su punto medio.
(0,0,a) R(0,a,a)
S
Q(a,a,a)
O (0, a, 0)
P(a,0,0)
Tomemos
las diagonales (hay más) PR y OQ.
Como estamos en el espacio, nada garantiza que
ellas se cortan como parece sugerirlo la figura. Sin embargo, si probamos que
existen números l y d, tales que OP + lPR = d OQ, habremos probado que se intersecan. Además si l = d = ½, habremos probado que PR y OQ se cortan
precisamente en su punto medio.
Tratemos
de plantear las ecuaciones para ver si tienen solución y calcular los valores
de l y d.
OP + lPR = d OQ, es equivalente a (a,0,0) + l (0-a,a-0,a-0) = d (a,a,a)
O
sea a:
a + l (-a) = da y la = da (la tercera ecuación es
igual a ésta)
De
aquí concluimos: (1- l -d) a = 0
y (l - d) a = 0,
De
donde concluimos que 1-
l -d =
0 y l - d = 0, ya que a ¹ 0
Luego: l + d = 1 y
l = d
POR LO TANTO : l y d existen y su valor
calculado es precisamente l = d = ½.
Tal
como se hizo en R2 ,
resolveremos problemas geométricos de áreas en R3 .
Problema: Hallar el área del triángulo con vértices
A(1,1,1), B(3,2,-1), C(2,3,1)
A partir del
gráfico, v B
q ,concluimos:
A u C
Area(D ABC) = ½ |AB| |AC| sen q = (1/2) |u| |v| sen q.
Ahora : |v| = Ö( ( 3 –1) 2
+ (2-1) 2 + (-1-1) 2 )= Ö ( 4 + 1 + 4) = Ö 9 = 3
|u| = Ö( ( 2 –1) 2
+ (3-1) 2 + 0 2 ) = Ö ( 1 + 4) = Ö 5
ya
que u = (2-1,3-1,1-1) = (1,2,0)
y v = (3-1,2-1,-1-1) =
(2,1,-2)
tenemos: < u , v > = 1 × 2 + 2 × 1 + 0 × (-2)
= 4
Como: cos q = <u,v> / |u| |v| = 4 / ( 3 Ö 5 ).
Además
sen 2 q = 1 - cos 2 q = 1 – (16 / 9 ×
5) = 1 – (16 / 45) = 29 / 45
Por lo tanto sen q = Ö ( 29 × 5 ) / 15
En consecuencia:
Area(D ABC) = (1/2) |u| |v| sen q = (1/2) 3 Ö 5 Ö ( 29 × 5 ) / 15 = (Ö29) / 2
Problema:
Hallar el ángulo entre los vectores
u = (2,1,-1) v = (1,-2,1)
Solución: cos q = <u,v> / |u| |v| = (2 × 1 + 1 × (-2) + (-1) × 1) / (Ö 6 Ö 6 ) = -1 / 6
Por
lo tanto q = arccos ( -1/6) » 1, 74 radianes » 100°
Producto vectorial ( o producto cruz)
Una explicación para justificar una notación propia
del cálculo y la física.
Si utilizamos los vectores e 1 = ( 1, 0, 0 ), e 2 = ( 0, 1, 0 ), y e 3 = ( 0, 0, 1 ),
encontramos que si
v = ( v 1,
v 2, v3 ) , entonces
v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 . Esto puede
verificarse fácilmente.
Mas tarde veremos que { e 1 , e 2 , e 3 } es una base
de
R3 , la cual se denomina la base canónica.
Expresar a v = ( 1, 3,2 ) en la
base { e 1 , e 2 , e 3 } es muy fácil ya
que no hay que efectuar cálculos.
En este caso v = 1 e 1 + 3 e 2 + 2 e 3 }, bastando
utilizar directamente las componentes del vector v en el eje X-Y-Z.,
como los coeficientes o multiplicandos de los
e i .
(0,0,1) e 3 k
e 2 j
e 1 (0,1,0) i
(1,0,0)
Tales vectores se expresan también como i , j , k. En esta notación
u = (2 , 3 , 4), se expresa como
u = 2 i + 3 j + 4 k.
Utilizando esta notación, definimos el producto
vectorial o producto cruz de dos vectores,
como la forma:
i
j k
u × v =
u 1 u 2 u 3 , donde es el determinante.
v 1 v 2 v 3
Ejemplo: Halle el producto cruz de u = ( 2 , 1 , -2 ) y
v = ( 1 , 2 , 0 )
Solución: i j k i j k i j k
u × v =
u 1 u 2 u 3 =
2 1 -2 =
0 -3 -2 =
v 1 v 2 v 3 1 2
0 1 2
0
-3 -2
i - 0
-2 j + 0 -3
k =
2 0 1 0 1
2
4
i - 2
j + 3 k
Así definido, el producto vectorial de dos vectores es un vector, a diferencia del producto interno el cual es un número ( o escalar).
Algunas de las propiedades del producto vectorial
son fáciles de demostrar ya que provienen directamente de las propiedades del
determinante. En los próximos párrafos utilizaremos la notación punto ( . ) del
producto interno.
i)
u × v = - v × u Propiedad
anticonmutativa
ii) u . (u × v) = v . (u × v ) = 0 u × v es ortogonal tanto
a u
como
a
v
.
Veamos:
i) Si u = ( u 1,
u 2, u 3 )
y v = ( v 1,
v 2, v 3 ), entonces
i j k i j k
u × v =
u 1 u 2 u 3 y v × u = v
1 v 2 v 3
v 1 v 2 v 3 u
1 u 2 u 3
y se concluye i) ya que estos dos determinantes se
diferencian por un cambio de filas, y por ello cambian de signo o sea u × v = - v × u.
Veamos
ahora ii)
i j k
u
. u × v = u .
u 1 u 2 u 3 =
( u 1, u 2, u 3 ) . ( u 2 u 3 i - u 1 u 3 j + u 1 u 2 k
)
v 1 v 2 v 3 v
2 v 3 v 1
v 3
v 1 v 2
.= u 1
. u 2 u 3 - u 2 u
1 u 3 + u 3 u 1
u 2 = u
1 u 2 u 3 = 0.
v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 (*) u
1 u 2 u
3 (**)
v
1 v 2 v 3
Para justificar la igualdad señalada por (*),
desarrolle el determinante de la derecha, por cofactores, por la primera fila.
La igualdad (**) se debe a que se está calculando el
determinante de una matriz con dos
filas iguales. Bastaría con restar estas dos filas, sin alterar el determinante
y obtendríamos una fila de ceros. Al desarrollar ese determinante por esa fila
de ceros, nos daría 0, por supuesto.
De modo similar se puede demostrar que v . (u × v) = 0.
Se concluyó por lo tanto la ortogonalidad de u × v tanto a u como a v.
Veamos el sentido geométrico de esta afirmación.
Empecemos calculando i × j.
i j k
i = (1,0,0), j = (0,1,0) i × j = 1
0 0 = k (calcúlelo)
0 1 0
Observemos este ejemplo en la siguiente figura:
u × v
k = i × j
j v
i u
La figura anterior corrobora el hecho que el
producto vectorial de dos vectores es ortogonal a los mismos. Esto nos
habla de la dirección. Pero qué decir del sentido ?.
En nuestro caso i × j
sigue
el sentido “norte”, o “sube” si miramos el papel ( o la pantalla de su
computador). Como j × k
= - i × j = - k (u × v = - v × u), vemos que j × k irá en sentido
“sur” o “hacia abajo”.
La figura ilustra la regla de la mano derecha. Para
determinar el sentido utilizamos la regla de la mano derecha. Coloque su mano
derecha sobre el plano de los vectores u, v a multiplicar vectorialmente, con sus dedos
simulando una rotación en el sentido que vá de u a v
, siguiendo la ruta angular (interior) q
más corta, 0 < q
< 180°, de u hacia v, como lo indica el giro de las flechas en la figura.
La palma debe rodear el eje perpendicular a los dos vectores. Su dedo pulgar colocado
como lo muestra la figura, señalará el sentido del producto vectorial, ya que
la dirección se sabe que es ortogonal tanto a u como a v.
Otras propiedades del producto vectorial
Condensamos aquí algunas propiedades del producto vectorial,
de las cuales hemos utilizado y probado algunas. Sus demostraciones se pueden
consultar en el apéndice al libro “Álgebra lineal para Todos” que se encuentra
en la página Web: www.oocities.org/laboticaxx1 .
i) u × v = - v × u
ii)
u × (v + w) = (u × v)
+ (u × w)
iii)
( u + v ) × w = ( u × w
) + ( v × w )
iv)
l( u × v
) = l u × v
= u × lv
v)
0 × u = u x 0 = 0
vi)
u × u = 0
vii)
u × ( v × w
) = ( u
.
w
)
v
-
( u
.
v
)
w
viii)
u . ( v × w
)
= v . ( w × u
)
= w . ( u × v )
Para producir los
dos lados derechos de las igualdades viii), nótese que los vectores mantienen
cierto orden cicular que debe respetarse. Esperamos que la siguiente figura le
sugiera el orden.
u . ( v × w
) = v . ( w × u
) = w . ( u × v
)
Para probar viii)
basta demostrar verificar primero que:
u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3
u . ( v × w
) =
v 1 v 2 v 3 v . ( w × u ) = w 1 w 2 w
3 , etc.
w 1 w 2 w 3 u 1 u 2 u 3
Las igualdades
se dan por propiedades del determinante ya que un determinante se puede obtener
del otro por dos intercambios de filas sucesivos, por lo cual su determinante
que con cada intercambio cambia de signo, no cambia de signo.
Propiedades mixtas de la norma, el producto interno y el producto vectorial
i) | u × v | 2 = | u | 2 | v | 2 - ( u . v ) 2 Igualdad de Lagrange
ii) | u × v | = | u | | v | sen q. Donde 0
£ q £ p, es el ángulo entre u y v.
La igualdad de Lagrange proviene de la aplicación de
la relación entre la norma y el producto interno, del mismo producto
interno y de las propiedades vii) y
viii) del producto vectorial reseñadas antes , así:
viii) vii) linealidad
o distributiva
i) | u × v | 2 = ( u × v ) . ( u × v ) = u. ( v × ( u × v ) ) = u . (( v . v ) u - ( v . u ) v ) =
= ( v . v ) ( u . u ) – ( v . u ) ( u . v ) = | u | 2 | v | 2 - ( v . u ) 2.
ii) | u × v | 2 = | u | 2 | v | 2 - ( v . u ) 2 = | u | 2 | v | 2 - ( |v || u|cos q ) 2 =
| u | 2 | v | 2 ( 1 - cos 2 q ) = | u | 2 | v | 2 ( sen 2 q ).
Por
lo tanto:
| u × v | = | u | | v | sen c, (recuerde que sen q ³ 0, ya que 0 < q < 180° )
Esta última
igualdad nos permitirá calcular fácilmente áreas de paralelogramos y triángulos
en R3.
A partir de la siguiente figura:
D C
v
h = | v | sen q
q
A u
B
Concluimos que el área del paralelogramo con lados
formados por los vectores u y v es:
Area
= Base × altura = | u | | v | sen q = | u × v | ,
Y la del triángulo ABD es: (1/2) Base × altura = ½ | u × v |
Problema: Hallar el área del triángulo con vértices
A(1,1,1), B(3,2,-1), C(2,3,1)
Este problema con los mismos datos lo resolvimos un
poco antes en este mismo capítulo un poco antes de introducir el producto
vectorial, utilizando directamente el producto interno. El área ya calculada
con el método anterior fue ½ Ö29. Con nuestra
nueva fórmula:
B
v
q , y a partir de los
siguientes cálculos,
A u C
v = ( 3 ,2,-1 ) – (
1, 1, 1 ) = ( 2, 1, -2) u
= (
2, 3, 1 ) – ( 1, 1, 1 ) = ( 1, 2, 0 )
i j k 2 0 1 0 1 2
u × v = 1 2 0 =
1 -2 i - 2 -2 j + 2
1 k = - 4i + 2j - 3 k.
2 1 -2
Por lo tanto | u × v | = Ö ( 16 + 4 + 9 ) = Ö 29
Luego: Area
del triángulo ABC = ½ | u × v | = ½ Ö 29, lo cual
coincide con nuestro cálculo anterior.
En un eje de coordenadas, dos vectores u y v,
u
¹ 0 y v ¹ 0 son paralelos si
y sólo sí están sobre la misma recta, o sea si y sólo sí uno de ellos es
combinación lineal del otro.
Dos vectores u y v,
u
¹ 0 y v ¹ 0 son paralelos si
y sólo sí u = lv si y sólo si u × v = 0.
Dos vectores u y v,
u
¹ 0 y v ¹ 0 son paralelos si
y sólo sí u = lv.
Esto
no hay que probarlo ya que es la definición algebraica de paralelismo.
Probaremos:
u = lv si y sólo si
u × v = 0.
i j k
a) Si u = lv , entonces u × v = lv × v
= l v 1
v 2 v 3 = 0, Por tener dos filas
v 1 v 2
v 3 iguales.
El recíproco, si
u × v = 0 , entonces u = lv,
se
concluye porque:
Si u × v = 0,
entonces
| u × v | = 0. Por lo tanto
| u | | v | sen q = 0, en
donde q es el ángulo entre u y v, 0 £ q < 180°. Como | u
| ¹ 0 y | v | ¹ 0, concluimos
que sen q = 0, por lo tanto
u y v están sobre la
misma recta, o sea que : u = lv
, para algún número real λ.
Volumen de un paralelepípedo:
El volumen de un
paralelepípedo como el de la figura cuyas aristas son los vectores u,
v y w ( ver figura anexa)
es: V = | u.(v × w) |
(u.(v × w) se denomina el triple
producto escalar)
Z
u
v
O Y
X
w
Problema: Calcular el volumen del paralelepípedo de
la figura anterior si
u =
( 1,2,-1), v = (1,2,3), w = (-2,1,1)
Solución:
i j k 2
3 1 3 1 2
v × w = 1 2 3 =
1 1 i - -2
1 j + -2 1
k
-2
1 1
- i
- 7 j + 5 k.
Por lo tanto u . ( v ×
w ) = (1,2,-1) (-1,
-7, 5) = -1 –14 –5 = -18
Luego: Volumen
= | u . ( v × w ) | = 18
Rectas y planos en R3
Rectas:
Tal como en R2, podemos utilizar los vectores para modelar ecuaciones
vectoriales, paramétricas y cartesianas, de rectas.
P(x, y, z) x
L Q(x0 ,
y0, z0) x0 l v v
= (x v, y v , z v) O
Para que el punto P(x,y,z) estè en la recta L, se debe cumplir la ecuación vectorial
x = x0 + l v
o
sea: (x, y, z)
= (x0 , y0, z0 ) + l (x v , y v , z v ), l e R
Las ecuaciones paramétricas, en el parámetro
l, son:
x = x0 +
l x v
, y = y0
+ l y
v , z = z0
+ l z v
Despejando l , tenemos las ecuaciones cartesianas.
l = (x
- x0 ) / x
v = ( y - y0 ) / y v = ( z - z0 ) / z v
por lo tanto; (x - x0
) / x v
= ( y - y0 ) / y
v = (
z - z0 ) / z
v
Problema:
Halle las ecuaciones paramétricas y cartesianas de la recta que pasa por Q( 1, 2, 3 ) , en la dirección de v = (-2, 1, 2).
Solución:
Las ecuaciónes paramétricas son: x = 1 - 2l, y
= 2 + l ,
z = 3 + 2 l
Despejando
l, hallamos la ecuación cartesiana:
(x – 1)/
(-2) = ( y – 2 ) = (z – 3) / 2.
Planos:
Determinar la ecuación de un plano que pasa
por un punto Q(x0 , y0, z0 ) y que tiene al
vector
n
= ( a, b, d) , como vector
normal.
Veamos el siguiente gráfico: Q(x0 ,y0,z0) P (x, y, z) n = (a, b, d) O v
Como el vector n es ortogonal al
plano, y Q y P pertenecen al plano, tendremos que:
v
. n = 0,
de donde sale la ecuación
(x - x0 , y - y0, z - z0) . (a, b, d) =
a (x - x0 ) + b (y - x0) +d (x -x0 ) =
0.
Problema:
Halle la ecuación del plano que pasa por el
punto P(1,2,1) y para el cual n = (2,3,4) es un vector normal.
Solución:
2
( x – 1) + 3 ( y – 2) + 4 ( z –1) = 0.