ALGEBRA LINEAL PARA TODOS
JOSE ARTURO BARRETO,M.A.
CAPITULO I.
Originalmente
fue producido con Word. Si lo baja a un archivo en disco y aún no lo ve a su
satisfacción, ciérrelo y ábralo desde Word. Si después de ello no lo ve bien, vealo
como diseño de impresión en Word.
OBJETIVOS: Al
terminar este capítulo el estudiante deberá
estar en capacidad de:
1.
Manipular y
reconocer la relación entre subíndices y posición de un elemento en una matriz.
2.
Efectuar las
operaciones básicas con matrices de pequeñas dimensiones.
3.
Reconocer y
utilizar las propiedades que rigen el álgebra de matrices: asociativas,
distributiva, etc.
4.
Determinar si
matrices de dimensiones pequeñas son no singulares. Utilizar el hecho de que una
matriz sea no singular para obtener conclusiones a partir de la manipulación de
expresiones algebraicas matriciales.
Las aplicaciones se presentan sólo por razones de motivación a no ser que el profesor considere conveniente evaluar sobre las mismas.
El autor considera que el énfasis en las aplicaciones, con cálculos matriciales, en los cursos básicos de algebra lineal, hace que los estudiantes, ávidos de calcular y de emplear recetas, se centren en ellas, olvidando la generalidad de los conceptos fundamentales que serán realmente aplicados en cursos avanzados.
Es posible que utilizando herramientas como Matlab, en donde los cálculos, no consumen el tiempo del estudiante, salvo en la etapa de diseño de las especificaciones del problema y su método de solución, permita avanzar en aplicaciones a modo de taller. La discusión sobre este punto de vista queda abierta.
1.
MATRICES
Una matriz es un arreglo de
números reales por filas y columnas tales como:
1 2 3 1 2 1 2 3 7
2 4 6
(1) 4 5 6 (2) -5
3 (3) -4 -3 1
(4 ) 3 2 1 7
7 8 9 2
1 -8 1 2 5 8
-4 2 8
La matriz *
(1) es una matriz de cuatro filas
y tres columnnas ( de dimensión 4x3). La matriz (2) es una matriz de 2 filas y 2 columnas
(cuadrada, de dimensión 2x2). La matriz (3) es una matriz de 3 filas y 3
columnas (cuadrada, de dimension 3x3). La matriz (4) tiene 3 filas y 4 columnas
( de dimensión 3x4).
a11 a12 a13 a14
La matriz A = a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
es una matriz general de dimensión 3x4 (tres filas, 4
columnas) cuyos elementos se han denominado a11 , a12 , a13
, etc., puesto que no se conocen sus valores. La matriz A del ejemplo
anterior se abreviará como:
A
= ( aij ) 3x4
En general, la notación
A
= ( aij ) mxn
denotará a la
matriz
a11 a12
... a1n
a21 a22 ... a2n
A = a31 a32 ... a3n
am1 am2
...amn
de m filas y n columnas.
Una matriz A, es
cuadrada, de orden n, si tiene igual número de filas que de columnas, es
decir, si es de dimensión nxn.
Así:
1 2
A
=
7 8
es una matriz cuadrada de orden 2 y
1 2 9
B = 7 8 6
4 5
2
es una matriz
cuadrada de orden 3.
En la matriz A, los elementos a11= 1 y a22 = 8, se denominan
los elementos de la diagonal.
Tambien lo son los números b11= 1, b22=8,y b33=2
de B.
A los elementos dii (d11, d22, d33, etc), de una matriz, se les
denomina elementos de la diagonal.
Problema resuelto 1:
Describa en detalle a la matriz A = ( aij ) 3x3, donde aij = 3i + j2.
Solución:
Los elementos
serán: a11 =3 (1)
+ 12, a12
=3 (1) + 22 , a13
=3 (1) + 32 ,
a21 =3 (2) + 12 ,
a22 =3 (2) + 22 , a23 =3 (2) + 32 ,
a31 =3 (3) + 12 , a32 =3 (3) + 22 , a33 =3 (3) + 32.
Efectuando los
cálculos correspondientes:
4 7
12
A = 7 10
15
10
13 18
Fin del problema
resuelto 1.
Operaciones con
matrices
Multiplicación de una
matriz por un número.
Si a es un número y A
= ( aij ) mxn , definiremos la nueva matriz
a11 a12
... a1n
aa11 aa12 ... aa1n
a21 a22 ... a2n aa21 aa22 ... aa2n
a A =
a a31 a32 ... a3n = aa31 aa32 ... aa3n
am1 am2 ...amn aam1 aam2 ... aamn
En donde cada elemento de la matriz A se multiplica por el
número a.
Ejemplo:
4 7
12
8 14 24
2 -7
10 15 =
-14 20 30
10
13 -18 20
26 -36
Suma de matrices
1 2
3 4
3 2 1 4
A = 4 2
1 5 B
= 4 3 1 2
3 1
0 6 3 1 7 1
Definiremos A + B como:
1+3 2+2 3+1 4+4
4+4 2+3 1+1 5+2
3+3 1+1 0+7 6+1
En consecuencia
1
2 3 4 3 2
1 4 4
4 4 8
4 2
1 5 + 4 3 1
2 = 8 5
2 7
3
1 0 6 3
1 7 1 6 2
7 7
La resta de matrices se define de modo
similar
En general. Si
A = ( aij ) mxn B = ( bij ) mxn .
Definimos:
A + B = ( aij )
mxn + ( bij ) mxn
= ( cij ) mxn
,
Donde cij = aij + bij , para cada i,j.
No aceptaremos
una suma tal como:
2 3 2 3 1
+
1 7 7
2 8
En este último caso diremos que la suma no está definida o
que las matrices no son conformes para
la suma. La suma sólo estará definida para matrices de la misma dimensión.
Problema resuelto
número 2.
Si A =
(aij ) 3x4 definidos por aij =
-i + j y
B
= ( bij ) 3x4
bij = -j
Tendremos como
conclusión que:
a32 = -3 + 2 y
b32 = -2.
De donde el
elemento en la fila 3, columna 2 de C = ( cij ) 3x4
= A + B,
es: c 32 =
- 1 + (- 2) = - 3.
Por consiguiente: Si
a11 a12 a13 a14 0 1
2 3
A = a21
a22 a23 a24 = -1 0 1
2
a31 a32 a33 a34 -2 -1
0 1
y
b11 b12 b13 b14 -1 -2 -3 -4
B
= b21 b22 b23 b24 = -1 -2
-3 -4
b31 b32 b33 b34 -1 -2 -3 -4
-1 -1 -1 -1
entonces: A +
B = C = -2 -2 -2
-2
-3 -3
-3 -3
Multiplicación de
matrices.
Dadas las matrices
1 2
3 2
1 3
A = B
= 2 5
7
4 5
6 1 2
4
definiremos la
multiplicación de la fila 1 de A por la columna 3 de B, como:
(1 2
3) 3 = (1x3 + 2x7 + 3x4)
= (3
+ 14 + 12) = (29)
7
4
y
similarmente, la multiplicación de la fila 2 de A, por la columna 2 de B, como:
(4 5 6) 1
= (4x1 + 5x5 + 6x2) = (4 + 25 +
12) = (41).
5
2
Más aún, definiremos la multiplicación
1
2 3 2 1
3 0
C = ( cij ) 2x4 =
2
5 7 1
4
5 6 1 2 4
2
como la matriz C de
dimensión 2x4, donde cada elemento cij, de la fila i, columna j del producto C, es el resultado de la
siguiente operación:
Elemento en
fila i, columna j de C = Fila i de A x columna j de B
Por supuesto, el elemento c23, de la 2da. fila,
3ra. columna del producto
C
= AB,
se calculará multiplicando la fila 2 de A, por la columna 3
de B (enmarcadas), así:
1 2
3 2 1
3 0 x
x x x
4 5
6 2 5
7 1 =
1 2
4 2 x
x 71 x
ya que
(4 5 6) 3
7 =
(4x3 + 5x7 +6x4) =
(71)
4
O sea que:
1
2 3 2 1 3
0 9 16
29 8
4
5 6 2 5 7
1 =
1 2 4 2 24 41
71 17
Es de notar
que si A es de dimensión 2x3 y B es de dimensión 3x4, entonces AB es una matriz
de dimensión 2x4.
Para denotar
que una matriz A es de dimensión mxn, (m filas, n columnas), la notaremos como:
Amxn.
En general, dos matrices Amxn y
Bsxk, son conformes para la multiplicación sí y
sólo sí n = s, o sea que el número
de columnas de A, debe ser igual al
número de filas de B.
El resultado del producto Amxn Bnxk =
Cmxk , es tal que el
elemento cij , de la fila i, columna j de C, es el resultado del
producto de la fila i de A por la columna j de B.
Las matrices
1 0 1 0
0
I2 = I3 = 0 1
0
0 1 0 0
1
se llamarán la
matrices idénticas de orden 2 y 3
respectivamente.
En general, la
matriz In = (dij)n , donde
1 si i
= j
dij =
0 si i
¹ j
Se llamará la matriz
idéntica de orden n.
Notese que:
1 2 1
0 1 2 2 5 7 1
0 0 2
5 7
= y 3 4
6 0 1
0 = 3
4 6
7
8 0 1
7 8 9 2 8 0 0
1 9 2
8
1
0 1 2
1 2 1 0 0
2 5 7 2
5 7
= 0 1
0 3 4
6 = 3
4 6
0
1 7 8 7 8 0 0
1 9 2
8 9 2
8
De donde se verifica que si In es la matriz idéntica
de orden n, entonces, como sucede en los números con el número 1:
An In = In An = An
Aplicaciones
Aplicación 1: Un problema de comunicaciones
Una señal de radio transmitida por una estación puede ser
retransmitida por estaciones vecinas las cuales formando una cadena pueden
llevarla hasta los confines más remotos.
Cuando el número de estaciones retransmisoras aumenta, puede
ser dificil determinar si la señal que sale de una estación puede llegar a otra
directamente o al menos utilizando algunos relevos.
Suponiendo que las estaciones 1,2,3,4,5, y 6 establecen
canales de comunicación como los que muestra la siguiente figura:
1 2
3 5
4 6
Debemos determinar si una señal transmitida por una estación
puede llegar a otra.
En la figura anterior puede observarse que la estación 1
está aislada de las otras estaciones y que la estación 3 no puede enviar señal
a la estación 2, pese a que puede recibir señal de aquella.
Algunas estaciones tienen
comunicaciones de doble vía.
Es un hecho que la estación 2 puede enviar señales a la
estación 6 utilizando las rutas
2--->3--->4---->6, 2--->3--->5--->6, 2--->5--->6, 2--->5--->3---->4---->6.
El gráfico de la figura anterior podría representar también
posibilidades de soborno o tráfico de influencias, que son desgraciadamente
comunes en nuestra sociedad, entre las personas 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
En el gráfico anterior observaríamos que el señor 1 no soborna y es insobornable, y que
el señor 6, entre otros, puede ser
sobornado por todos, exepto por el incorruptible señor 1 (nuestro héroe). A veces a alto costo por el número de
intermediarios que se pueden requerir.
Si el gráfico anterior representa cómo una perturbación
sufrida por uno de los focos, se transmite a los restantes, podemos ver que la
más alta posibilidad de perturbación se halla en los focos 4 y 6 pues se perturban
al perturbar cualquier otro foco distinto de 1.
Gráficos como el de la figura pueden esquematizar relaciones
genéticas entre individuos o generaciones.
Retornemos al caso de las
estaciones de radio!.
Si el número de estaciones y de relaciones aumenta, gráficos
como el de la figura anterior pueden
parecer al observador tan indescifrables como el gráfico siguiente:
La matriz C que
llamaremos la matriz de las comunicaciones directas, condensa toda la
información del gráfico.
RECEPTORES
E 1 2
3 4 5 6
M 1 0
0 0 0 0 0
I 2 0 0
1 0 1 0
S 3 0
0 0 1 1 0
O 4 0
0 0 0 0 1
R 5 0
0 1 0 0 1
E 6 0
0 0 1 0 0
S
La matriz C = (cij )6x6 , ha sido
definida de tal manera que cij
= 1, para i = j, si la señal de la i-ésima estación es recibida directamente
por la j-ésima estación. Por definición cii = 0 para todo i.
Podemos plantearnos la pregunta:
Cuáles estaciones se pueden comunicar entre sí enviando sus
señales por intermedio de otras estaciones (relevos) ?.
Motivaremos la respuesta a esta pregunta observando un
elemento en la matriz C2.
Estudiemos por ejemplo el elemento situado en la 2da. fila,
4ta. columna de C2. Tal elemento es:
.
c21 . c14 + c22 .
c24 + c23 . c34 + c24 .c44
+ c25 . c54 + c26 . c64
Cada elemento c2k
. ck4 de la suma anterior es 0 o 1. Además: c2k . ck4 es
1 sólo en el caso de que c2k
= 1 y ck4 = 1. Es decir, sólo en caso de que la señal de la estación
2 pueda ser retransmitida a la estación 4, pasando por la estación intermedia
k.
En consecuencia la suma anterior, cuenta de cuántas maneras
se puede enviar la señal de la estación 2 a la estación 4, utilizando
exactamente una estación como intermediaria ( un relevo).
Asumimos de nuevo que los elementos de la diagonal de C2,
se reemplazan por ceros.
Por un razonamiento similar se concluye que cada elemento de
la fila i, columna j, de C3,
dá exactamente el número de maneras como la señal de la estación i
puede llegar a la estación j, utilizando exactamente dos relevos.
Verifiquemos el caso de C2.
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
1 0 1 0 0 0 1 0
1 0
C2 =
(bij) = 0 0
0 1 1 0 . 0 0
0 1 1 0
0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 1
0 0
1 0 0 1 0 0 1 0
0 1
0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0
1 2
3 4 5 6
1 0
0 0 0 0 0
2 0
0 1 0 1 0
= 3 0
0 0 1 1 0
.
4 0
0 0 0 0 1
5 0
0 1 0 0 1
6 0
0 0 1 0 0
En tal matriz, b36
= 2, ya que las cadenas que se pueden utilizar para enviar la
señal de la estación 3 a la estación 6, utilizando exactamente un relevo es:
3--->5--->6 y
3---->4---->6,
mientras que b25 = 1, ya que la única cadena que lleva la señal de la estación 2 a
la estación 5, utilizando exactamente un relevo es:
2---->3---->5.
Similarmente, el elemento en la posición i,j de C3 nos dice de
cuántas maneras se puede enviar la señal de la estación i a la estación j utilizando
exactamente 2 relevos.
En general, el elemento en la posición i,j, fila i, columna j de Ak
, para cualquier k, cuenta de
cuántas maneras, la señal de la estación i
puede llegar a la estación j, utilizando
exactamente k - 1 relevos.
Se concluye por lo tanto que el elemento en la posición i,j
de C + C2 nos dá el número de maneras como la señal
de la estación y puede ser
transmitida a la estación j,
utilizando a lo más un relevo.
En general, el elemento en la posición i,j de C + C2 + C3
+ C4 + ... + Ck señala
el número de maneras como la señal de la estación y puede llegar a la estación j,
utilizando a lo más k - 1 relevos.
Como aporte al lector, hemos calculado:
0 0
0 0 0 0
0 0
1 2 1 2
C3
= C2 C = 0 0
0 2 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
1 0 0 2
0 0
0 1 0 0
Queda pendiente examinar el problema de las replicaciones que se nota al examinar
la matriz de las comunicaciones con exactamente 2 relevos, es decir la
matriz C3 anterior, en
donde la ruta:
2--->5--->3--->5,
aparentemente de innecesaria complejidad, produce un 1 en la posición 2,5.
Tal problema aparecerá tambien en potencias superiores de
C.
CADENAS
DE MARKOV
Una matriz
estocástica A = (aij)nxn
es una matriz con las siguientes propiedades:
a) aij ³ 0 para todo i, j
b) a1j + a2j + a3 j + . . . + anj
= 1 para cada j.
En consecuencia, una matriz estocástica es una matriz con elementos
no negativos tal que la suma de los números en cada columna es 1.
0,25 0,30 0,25
0,60 0,60 0,30
0,15 0,10 0,45
es una matriz estocástica.
Suponga que el flujo probable de los votos por los partidos
1, 2 y 3, de las elecciones del año 2000 al 2001, primera elección, está dado
por el diagrama siguiente:
20%
60%
1 2 30%
50%
20%
30% 20%
20%
3
50%
El diagrama indica, por ejemplo que el 30% de las personas
que pertenecían al partido 2 en el 2000, votarán de nuevo por los 2 en el 2001, mientras que el 50%
votará por los 1 y el 20% por el
partido 3. El resto del diagrama es
facil de interpretar.
Esta información puede representarse en la matriz
estocástica:
de
1 de 2 de 3
0,60 0,50 0,30 por 1
T = 0,20 0,30 0,20 por 2
0,20 0,20 0,50 por 3
MATRIZ 2000 - 2001
Por simplicidad asumiremos que en el siguiente período no
contabilizaremos a los nuevos votantes.
Estudiemos a la matriz de transición T 2.
de 1 de
2 de 3
0,52 0,51 0,43 por 1
T 2 = 0,22 0,23 0,22 por 2
0,26 0,26 0,35 por 3
MATRIZ
2000 – 2002
Es de nuevo una matriz
estocástica.
Asumiremos que el número total N de votantes permanece
constante de año en año.
Suponga que la distribución de votos en el año 2000 y la
esperada en el 2001 está dada por:
2000 2001
Por 1 x0 % x1
%
Por 2 y0
% y1 % (1)
Por 3 z0 % z1 %
En este caso:
x1 = 0.60 x0 + 0.50 y0 + 0.30 z0
y1 = 0.20 x0 + 0.30 y0 + 0.20 z0
z1 = 0.20 x0 + 0.20 y0 + 0.50 z0
Es
decir que:
x0 x1
T y0 =
y1
z0
z1
Si la matriz T se utiliza para
calcular la distribución porcentual del año 2002 .
Año 2002
Por
1 x2
Por
2 y2
Por 3 z2
Tendríamos
que:
x2 x1 x0
y2
= T y1 = T 2 y0
z2
z1 z0
Asumiendo que esta matriz de
transición se pudiese aplicar en años venideros, tendríamos que en n
años, la distribución de los votos estaría dada por
xn x0
yn = T n y0
zn z0
En particular, la relación de los
votantes con los resultados de las elecciones
, está dado por:
T T2 T3 . . . Tn
2000--->
2001 2000---> 2002 2000---> 2003 2000 ----> 200(n)
Las matrices
T T2 T3 . . . Tn
son todas, matrices estocásticas.
(la suma de los elementos de cada columna es 1) es decir (100%).
De la matriz T sacamos la siguiente información:
de
1 de 2 de 3
0,60 0,50 0,30 por 1
T = 0,20 0,30 0,20 por 2
0,20 0,20 0,50 por 3
El 60% de los votantes de 1
votarán por 1 en la siguiente elección
El 20% de los votantes de 1
votarán por 2 en la siguiente elección
El 20% de los votantes de 1 votarán por 3 en la siguiente
elección
El 50% de los votantes de 2
votarán por 1 en la siguiente elección
El 30% de los votantes de 2 votarán por 2 en la siguiente
elección
El 20% de los votantes de 2
votarán por 3 en la siguiente elección
El 30% de los votantes de 3 votarán por 1 en la siguiente
elección
El 20% de los votantes de 3
votarán por 2 en la siguiente elección
El 50% de los votantes de 3 votarán por 3 en la siguiente
elección.
De T 2 concluimos que:
de 1 de
2 de 3
0,52 0,51 0,43 por 1
T 2 = 0,22 0,23 0,22 por 2
0,26 0,26 0,35 por 3
El 52% de los votantes originales de 1 votarán por 1 en la
siguiente elección
El 22% de los votantes originales de 1 votarán por 2 en la
siguiente elección
El 26% de los votantes originales de 1 votarán por 3 en la
siguiente elección
El 51% de los votantes originales de 2 votarán por 1 en la
siguiente elección
El 23% de los votantes originales de 2 votarán por 2 en la
siguiente elección
El 26% de los votantes originales de 2 votarán por 3 en la
siguiente elección
El 43% de los votantes originales de 3 votarán por 1 en la
siguiente elección
El 22% de los votantes originales de 3 votarán por 2 en la
siguiente elección
El 35% de los votantes originales de 3 votarán por 3 en la
siguiente elección.
De acuerdo con la teoría de las matrices estocásticas, si la
matriz T es regular[1], T n tiende a una matriz con
todas sus columnas iguales a medida que n crece.
Con un computador podría comprobarse que:
de 1 de
2 de 3
0,49276
0,49275 0,49033 por 1
T 5 = 0,22222 0,22223 0,22222 por 2
0,28502 0,28502 0,28745 por 3
y
de 1 de
2 de 3
0,492063492 0,492063492 0,492063492 por 1
[2]
T 17 » 0,222222222 0,222222222 0,222222222 por 2
0,285714286 0,285714286 0,285714286 por 3
Ya que T 18 tiene la forma
a a a
T
18 » b b b
g g g
Se concluye que T 19 = T 18 . T
a a a 0,60 0,50
0,30
» b b b . 0,20 0,30 0,20
g g g 0,20 0,20
0,50
a a a
= b b b
g g g
Por lo tanto, a partir de n=18:
T n » T n+1
» T n+2 » ¼
Por consiguiente:
Si las expectativas de votación (flujo
de votantes de año en año), se mantuviese igual por años, se concluíria que a
partir de n > 18, los partidos se repartirían los votos de una manera que
puede predeterminarse, quedando el partido 1 con a votantes, el
partido 2 con b votantes y el partido 3 con g votantes.
La matriz T n con n suficientemente grande, sirve para
“predecir” como terminarán las cosas si la situación planteada por la matriz de
transición T, se mantiene igual por n años.
Por supuesto, en realidad la
matriz de transición cambia de año en año, y a la final, la matriz Tn
que relacionaría el flujo de votantes entre los partidos, a partir del censo
inicial hasta la n - ésima votación, se calcularía así:
T(n) = T(n-1)
. Tn = T(n-2) .
Tn - 1 . Tn = T(n-3) .
Tn - 2 . Tn - 1
. T n =
= T1
. T2 . T3 . T4 ... Tn.
Cada matriz Tk es estocástica y en particular lo
es T(n).
MATRIZ TRA SPUESTA
Dada la matriz cuadrada
|
|
|
7 |
2 |
1 |
|
A |
= |
4 |
5 |
8 |
|
|
|
-1 |
2 |
3 |
a la matriz:
|
|
|
7 |
4 |
-1 |
|
A T |
= |
2 |
5 |
2 |
|
|
|
1 |
8 |
3 |
se le denomina
la matriz TRASPUESTA de A.
A T se obtiene de A por medio de traslaciones
simétricas de sus elementos respecto de la diagonal como se vé en la figura trasanterior.
Este proceso se denomina también
reflexión respecto de la diagonal.
Es de notar que los elementos de la diagonal de A son los
mismos que los de la diagonal de A T, o sea que los elementos de la
diagonal permanecen fijos. Se puede decir que A T se obtiene de A
por medio de una rotación de sus elementos, de 180º
respecto de la diagonal que en este caso es el eje de rotación.
Otra manera de obtener A T, a partir de A es
transformando las filas de A en columnas de A T (o las columnas de A en filas de A T),
es decir:
1ª columna de A ------> 1ª fila de A T
2ª columna de
A ------> 2ª fila de A T
3ª columna de
A ------> 3ª fila de A T
En realidad:
Si A = ( a ij )
mxn y A T = ( b ij ) nxm,
debe darse la
relación:
(b ij ) = ( a ji ) ( para cada i,j)
La noción de matriz traspuesta se extiende a matrices de
cualquier dimensión mxn, con la siguiente definición:
Si A = (
a i j ) mxn , se define A T = ( a (t) ij ) nxm , por la condición:
( a (t)
ij ) = ( a ji ), para cada i , j.
Por lo tanto:
a11 a12 a13 a14
si A = a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
entonces
a (t)
11 a (t)
12 a (t) 13
A T
= a
(t) 21 a (t)
22 a (t) 23
a (t)
31 a (t)
32 a (t) 33
a (t)
41 a (t)
42 a (t) 43
en donde
(a
(t) ij ) = (a ji ) , para
cada i , j
o sea:
a (t)
11 = a 11 a
(t) 12 = a 21 a (t) 13 = a 31 a (t) 21
= a 12 a
(t) 22 = a 22,
a (t) 23 = a
32, etc.
Una matriz cuadrada A es simétrica sí
A = A T
es decir:
( a i j )
= ( a ji )
Ejemplo:
|
|
|
7 |
3 |
-7 |
|
A |
= |
3 |
5 |
4 |
|
|
|
-7 |
4 |
3 |
es una matriz
simétrica.
En consecuencia, la fila 1 es idéntica a la columna 1, la
fila 2 a la columna 2, la fila 3 a la columna 3, y viceversa.
Dicho de otro modo: A es simétrica respecto de la diagonal.
Ejercicio resuelto #1
Si
|
|
|
1 |
2 |
-1 |
|
A |
= |
2 |
1 |
3 |
entonces:
|
|
|
1 |
2 |
|
A T |
= |
2 |
1 |
|
|
|
-1 |
3 |
Ejercicio resuelto #
2
Si
|
|
|
1 |
-3 |
-5 |
|
A |
= |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
5 |
4 |
-1 |
entonces
|
|
|
1 |
3 |
5 |
|
A T |
= |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
-5 |
4 |
-1 |
PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES CON MATRICES
Los objetos del algebra matricial son matrices, las cuales
generalmente se denominan por letras mayúsculas como A, B, C, etc.
MATRIZ 0 DE DIMENSIÓN mxn.
La matriz 0 de
dimensión mxn, o matriz nula,
es la matriz
0mxn = a
ij mxn, donde a ij = 0, para cada i,,j.
0 0
0 0 0
Por lo tanto 02x2 = , 02x3 =
0 0 0 , etc.
0 0
Sabemos que si las matrices son conformables, podemos sumarlas,
restarlas y multiplicarlas.
Las siguientes reglas se verifican en el álgebra de
matrices, siempre que las operaciones se puedan definir (conformabilidad).
Si A es una
matriz cuadrada:
A x 0 = 0 x A = 0, A
x I = I x A = A
Para matrices
(conformables) de cualquier dimensión:
Propiedades
|
A + B = B + A |
Conmutatividad |
|
(A + B) + C = A + (B + C) |
Asociatividad |
|
A(BC) = (AB)C |
Asociatividad |
|
A + 0 = 0 + A = A |
Elemento
neutro |
|
AI = IA = A |
Matriz
identica |
|
A0 = 0A = 0 |
|
|
a(A + B)
= aA + aB |
a es un número |
|
a(AB) = A(aB)= aAB |
a es un número |
|
ab(A)=a(bA) |
|
|
A(B + C) = AB + AC |
Distributividad |
|
(A + B)C = AB + AC |
Distributividad |
|
(A T )T = A |
|
|
(A + B) T = A T +
B T |
|
|
(AB) T =
B TA T |
|
Por supuesto:
n
A n = AAA
... A. Si n es un número entero positivo
nA
= A+A+A ... A. Si n es un número entero positivo
Definición: n
Si n es un número entero positivo y A -1 existe, definimos:
A
-n = (A -1) n
Definiendo,
como es natural: A 0 = I
,
tambien se
cumplen las reglas de los exponentes:
A
r A s = A r + s , para r,s, números
enteros.
Las reglas anteriores se parecen a las reglas de las
operaciones con números reales.
|
En los números |
En las matrices |
|
ab = ba |
No siempre
AB = BA |
Ejemplo:
Si
|
|
2 |
1 |
-1 |
|
A
= |
1 |
3 |
1 |
|
|
2 |
-1 |
2 |
y
|
|
3 |
1 |
|
B
= |
1 |
-1 |
|
|
2 |
1 |
Se verifica
que:
|
|
5 |
0 |
|
AB
= |
8 |
-1 |
|
|
9 |
5 |
y
BA no está
definida
Ejemplo 2
|
|
1 |
2 |
1 |
|
A
= |
3 |
0 |
1 |
|
|
4 |
0 |
0 |
y
|
|
1 |
2 |
1 |
|
B
= |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
-3 |
Entonces
|
|
11 |
2 |
3 |
|
BA = |
7 |
0 |
1 |
|
|
-11 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
2 |
3 |
|
AB
= |
7 |
0 |
1 |
|
|
-11 |
2 |
1 |
|
En los números |
En las matrices |
|
Si a ¹ 0 existe siempre uno y sólo un
número b ¹ 0 tal que ab=ba=1 |
Esta afirmación
en general, no es válida Para cada
matriz A = 0, existe una y sólo una
matriz B = 0, tal que AB = BA = I (donde I es la matriz idéntica) |
Ejemplo 3
Sea
|
|
2 |
4 |
|
A
= |
|
|
|
|
3 |
6 |
Si existiera una matriz
|
|
x |
y |
|
B
= |
|
|
|
|
z |
w |
tal que:
|
|
2 |
4 |
x |
y |
|
1 |
0 |
|
AB = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
3 |
6 |
z |
w |
|
0 |
1 |
Se concluiría
que:
2x + 4z =1 2y + 4w = 0
3x + 6z =0 3y + 6w = 1
Proposiciones que son contradictorias.
En el caso de que para una matriz cuadrada A de orden n,
exista una matriz cuadrada B, del mismo orden, tal que:
AB = BA = I
n,
se dice que B
es la matriz inversa de A (la cual
es única, para cada A).
A tal matriz B (cuando existe), se le denomina, la matriz inversa de A o A -1.
Por lo tanto, por definición, la matriz inversa de A, es la
única matriz, denotada como A -1 , tal que
A A -1 =
A -1A = I
Si A posee matriz inversa, se dice que A es una matriz no singular.
Las matrices cuadradas que no poseen inversa se llaman matrices singulares.
Nunca digas nunca
jamás [3]
.......
Se puede hacer un simposio entre profesores de matemáticas y
presentar la siguientes preguntas:
· Cuando usted va a resolver un
problema, sabe de antemano si la matriz es singular o no?
· Que es mejor para usted, que la
matriz sea singular o nó singular?
· Si usted está resolviendo un
problema físico o económico o quizás de otro tipo, y la investigación la
financia alguien más, prefiere que la matriz sea no singular? Y el que le financia qué quisiera?.
· Considera usted que el cálculo de
la matriz inversa siempre no es
importante?
Propongo una semana de simposio y repartir arnica y yanten entre
los asistentes para curar las heridas y aliviar problemas sicológicos y
frustraciones.
Es de anotar que el hecho de que una matriz sea singular o
nó tiene una importancia teórico práctica. Por lo tanto:
· Trataremos de señalar en cada
tema que lo amerite, su importancia (si la tiene) en la determinación de la
singularidad o nó de las matrices.
· Enseñaremos métodos o
alternativas para resolver problemas cuando teoricamente parezca que el mismo
puede ser utilizado para calcular,acelerar, o evitar el cálculo de la matriz
inversa[4].
La matriz
|
|
1 |
2 |
1 |
|
A
= |
3 |
0 |
1 |
|
|
4 |
0 |
0 |
es no singular
La matriz
|
|
1 |
2 |
1 |
|
B
= |
3 |
2 |
1 |
|
|
1 |
-2 |
-1 |
es singular.
MATRICES CUADRADAS NO SINGULARES
Al estudiar y caracterizar las condiciones de no
singularidad para matrices y sus consecuencias cuando el caso lo amerite, es
equivalente a estudiar las condiciones de singularidad. Por ello nos
adentraremos en el campo de las matrices no singulares y las consecuencias de
la no singularidad, aquí y en diferentes partes de este libro.
Si A es no
singular, las siguiente leyes cancelativas son válidas:
·
Si AB = AC
entonces B = C
·
Si BA = CA
entonces B = C
Argumento:
AB
= AC \ A-1 (AB)
= A-1 (AC) \ (A-1 A)B = (A-1 A)C \ IB = IC \B = C
Argumento similar para el otro caso.
Si A y B son
matrices no singulares del mismo orden, entonces:
(B-1 A-1)AB
= B-1 (A-1A)B = (B-1
I B) = B-1 B = I
AB(B-1 A-1) = AB B-1 A-1 = A I A-1 = A
A-1 = I
De donde se concluye que:
(AB) -1 = B-1 A-1
Como no siempre la multiplicación de matrices es
conmutativa, no es cierto en general que:
(AB) -1 =
A-1B-1
PROPOSICION:
Si A es una matriz cuadrada no
singular, entonces A T es no
singular y
( A T ) -1
= ( A-1) T
DEMOSTRACION:
( A T
).( A-1) T = ( ( A-1) (
A ) ) T = I T
= I . (recuerde que (AB) T = B TAT)
Observación: Exigimos que A y A-1 conmuten. Se puede probar (y no lo probaremos
aquí) que si AB = I y A es una matriz
cuadrada, entonces BA = I y que
si AB = I entonces BA = I. O lo que
es lo mismo, si A es una matriz cuadrada, toda matriz cuadrada inversa a
derecha es a su vez inversa a izquierda y viceversa. Por ello en la práctica
para verificar si dos matrices cuadradas A y B son inversas una de la otra,
basta con verificar que AB = I o que BA = I.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si 1 2 1 5
A = 1 0 -2 4
3
1 -2 3
entonces:
a22 = 0, a32 =
1, a34 =
3.
2. Si A
= ( aij ) 33, en donde aij =
(-1) i + j
entonces
1 -1 1
A =
-1 1
-1
1
-1 1
3. La matriz
1
0 0 0
0 1 0 0
0 0 1
0
0 0
0 1
es la matriz idéntica de orden 4.
4. La matriz
1 1
3 4
1 2
0 1
3 0 -1
4
4 1
4 1
es una matriz simétrica de orden
4.
5.
Si 1 2 -1
A = ,
entonces:
2 1 3
1 2 1 2
-1
A
T = 2 1 , y (A T) T = =
A
-1
3 2 1
3
6. Si 1
3 5 1 3 5
A = 3
2 4, entonces: A T = 3 2 4 .
5 4
-1 5 4 -1
A es simétrica, puesto que A = A T.
7. Si 1 3
-4 p
A = 3 2
5 2
-4
5 -2 7
p 2 7
4
Como A = A T , entonces A es una
matriz simétrica.
8. Definición: Dos matrices de la misma dimensión
A
= (aij ) mxn B
= (bij) mxn , son iguales
si
y sólo sí aij = bij , para todo i,j.
Por lo tanto: 2
3 5 2 3 5
A = ¹ =
B,
4
-1 2 4 1 2
puesto
que a pesar de que:
aij = bij para todo (i,j) ¹ (2,2), tenemos que:
a22 ¹ b22
9. 1 -2 0 4
2 1 5 0 1
+ =
0 5
3 -2 -5 1 -2 0 4
10. 1+x 0 x b 1 -b
- =
0
2+x a -x -a 2
11. a) Si 1 -2 2 -4
A
= 0 1 , entonces 2A
= 0 2
3 5 6 10 ,
confirmandose
que: A + A = 2A.
b) 1-x 0 5
- 5x 0
5 =
0
2 - x 0 10 - 5x
12. Demostraremos que A -
B = A + (-1) B.
Método 1
a11 a12
... a1n
a21 a22 ... a2n
Si A = a31 a32 ... a3n
. .
.
am1 am2
...amn
b11 b12
... b1n
b21 b22 ... b2n
y B
= b31 b32 ... b3n
.
. .
bm1 bm2
...bmn
entonces:
a11 -
b11 a12 - b12
... a1n - b1n
a21 - b21 a22 - b22 ... a2n - b2n
A - B =
... ... ...
....
am1 -
bm1 am2 - bm2
... amn - bmn
-b11 -b12
... -b1n
-b21 -b22 ... -b2n
y (-1)B = -b31 -b32 ... -b3n
. . .
-bm1 -bm2 ...
-bmn
Luego
a11 a12
... a1n -b11 -b12
...-b1n
a21 a22 ... a2n -b21 -b22 ... -b2n
A + (-1)B = a31 a32 ... a3n + -b31 -b32 ... -b3n =
.
. . .
. .
am1 am2
... amn -bm1 -bm2 ...
-bmn
a11 -
b11 a12 - b12
... a1n - b1n
a21 - b21 a22 - b22 ... a2n - b2n
A +(-1)B = a31 - b31 a32 - b32 ... a3n - b3n
... ... ...
....
am1 -
bm1 am2 - bm2
... amn - bmn
Por consiguiente:
A - B = A +
(-1) B
Método2
Sean A = ( aij ) mxn y B = ( bij )
mxn
Entonces:
Si C= A + (-1) B, donde C = ( cij ) mxn , tendríamos
cij
= aij + (-1) bij ,
para todo i,,j.
En
consecuencia: cij = aij - bij ,
para todo i,,j.
Por
lo tanto: A - B = A + (-1) B.
13.Sean:
1 2
-1 1 4
7 9
A = 1 -2
3 y B = 2 5
8 8
4 1 2 3 6
9 7
a) Verifique las condiciones de dimensión para
que el producto AB esté definido y
halle la dimensión de AB.
b) Halle
el elemento c24 de AB, situado en la segunda fila, cuarta columna.
c) Calcule
AB.
d) Señale
por qué BA no está definida.
Solución:
a) Como
A es dimensión 3 x 3 y B es de
dimensión 3 x 4, entonces AB está definida y su dimensión es 3 x 4.
b) El
elemento c24
de AB se puede calcular efectuando el producto de la segunda fila de A
por la cuarta columna de B así:
( 1 -2 3 ) 9
8 = (
9 - 16 + 21 ) = ( 14 )
7
c) 2 8
14 18
AB
= 6
12 18
14
12
33 54 58
d)
Como B es de dimensión 3
x 4 y A es dimensión 3
x 3, y 4 ¹ 3,
entonces BA no está definida.
14.Demuestre que si
A = (aij ) mxn y B = (bij) nxk
entonces, en general: (AB)T = BTAT.
Demostración:
Si
AB = C = (cij) mxk , donde cij = ai1
b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj
.
Luego:
(AB)T
= CT = (cij
(t))kxm , donde cij(t) = cji = aj1 b1i +
aj2 b2i + ... + ajn bni
Además: BT =
(bij (t))kxn , donde bij (t)
= bji .
AT = (aij (t))nxm
, donde aij (t) = aji
Si BTAT = D =
(dij )kxm ,
entonces
dij = bi1(t)
a1j(t) + bi2(t) a2j(t) + ... + bin(t) anj(t) .
Por consiguiente: dij = b1i aj1 + b2i aj2 + ... + bni ajn .
Como
(AB)T y BTAT , son de la misma dimensión k x m y
cij(t) = dij ,
para todo (i , j) , hemos concluido la demostración.
15. Demostraremos que si A = B y C = D, entonces AC = BD.
Demostración:
Sean A = (aij) mxn , y B =
(bij) mxn
,
C = (cij) nxk , y D =
(dij) nxk
.
Como A = B, tendremos que aij =
bij , para todo i,,j .
Como C = D, tendremos que cij =
dij , para todo i,,j .
Luego:
AC = (ai1 c1j + ai 2 c2j + ... + ain cnj ) mxk
y BD =
(bi1 d1j +
bi 2 d2j + ... +
bin dnj ) mxk
ya que aij
= bij , para todo i,,j . y
cij = dij
, para todo i,,j .
Se concluye que AC = BD.
<
16.Si
1 3 1 2
A
= B = ,
verifique que
2 4 1 3
AB ¹ BA, o sea que
en este caso A y B no conmutan.
Solución: 4
11 5 11
AB
= BA
=
6 16 7 15
17.
Demuestre que las matrices
1 3 4
9
A = y B
=
2
4 6 13
conmutan. Es decir que AB
= BA.
Solución:
22 48
AB
= = BA
32 70
18.La matriz idéntica
de orden n, conmuta con todas las matrices de orden n ya que:
AI = IA = A,
para toda matriz A de orden n.
19. La matriz 0
de orden n es tal que A0 = 0A = 0
luego: A0 = 0A, para toda matriz A de orden
n. Es decir que la matriz 0 de orden n, conmuta con todas las matrices
cuadradas (del mismo orden n)
20. Si A es una
matriz cuadrada entonces la matriz
A + AA, conmuta con A.
Demostración: A( A + AA ) =
AA + AAA, Y
( A + AA)
A =
AA + AAA.
<
21. La matriz
1 1
1
A = 1 2
3
1 2
4
es no singular, ya que la matriz
2 -2
1
B = -1 3 -2
0 -1
1 , es tal que
AB
= I
22. Halle valores de
a,b y c, tales que
1 a+2 2 1 -1
2
-1 b 5 = -1 1 5
1 1
c 2 - 1 1 1
0
Solución: De la igualdad anterior
se concluye que
a + 2 = -1
b
= 1
c 2 -
1 = 0.
En consecuencia: a = -3, b = -1 y c = 1.
23. Si se tiene
que A + C = A + D, se puede concluir,
sumando -A a ambos lados de la desigualdad que C = D. (propiedad CANCELATIVA de
la suma de matrices).
No es en general cierto que si A, C, D,
son matrices y AC = AD, se concluye que
C = D, ya que de la igualdad:
1 1 1
2 1 1 -2 -1
=
2 2 3
4 2 2 6
7 (verifíquelo),
Se concluiría que
1 2 -2 -1
= , lo cual es falso.
3 4
6 7
24. Demuestre que si
la matriz A es no singular y AC = AD,
entonces C = D.
Solución:
Si AC
= AD, como A es no singular,
entonces A-1 existe, por lo tanto
A-1(AC) = A-1(AD). Luego
(A-1A) C = (A-1A)D.
Por lo tanto
IC =
ID, o lo que es lo mismo:
C
= D.
25. No es en general
cierto que si Ay B son matrices y AB =
0, entonces A = 0 o B = 0.
Hallaremos dos matrices A y B, ambas
diferentes de 0, tales que AB = 0.
Sean
2 4 -2 -2
A = y B
=
1 2
1 1
Sin embargo: Si A es una matriz no singular,
y AB = 0, entonces se concluye que B=0.
Veamos: Si A es no singular, entonces A-1existe.
Como AB = 0, concluimos que
A-1(AB) = A-10 = 0.
Luego
(A-1A)B = 0. Por lo tanto: IB = B = 0.
26. Hallar una matriz
no singular de orden 4 tal que:
A2 + A = 0.
Solución: A-1(A2 +
A) = 0. Por lo tanto: A + I = 0. Por
consiguiente A = -I.
Como a es de orden 4, concluimos que :
-1 0
0 0
A = 0 -1 0
0
0
0 -1 0
0
0 0 -1
27. Verifiquemos que
en el problema anterior, -I sea una
matriz no singular.
Solución: Lo es ya que ( -I ) ( -I ) = I . O sea que
( -I ) -1 = - I.
28. Demuestre que si A es una matriz no singular, entonces AT
es una matriz no singular y que además (AT)
-1 = ( A-1 ) T. Prueba: AT (A-1 )
T = (A-1 A)T =
IT = I.
EJERCICIOS
1. Halle si es posible, todos los valores de
cada incognita para que cada una de las siguientes igualdades se cumpla:
2 4 y
4
a) =
5 x + 2 5
7
x 0 2
0
b) =
9 y y
x
2. Escriba explicitamente la matriz A
= (aij)4x5 ,
si aij = i + 2j, i =
1,2,3,4.
,j = 1,2,3,4,5.
3. Escriba explicitamente la matriz A
= (aij)4x4 ,
si aij = (-1) i + j ,
(i , ,j = 1,2,3,4).
4. Dadas las
matrices A = (aij)4x4 y
B = (bij)4x5 ;
1 2
3 4 1 0 0 -1
1
A
= -1 -3 -5 1
, B =
0 1 0 1
2
2 3
4 1 0 0 1 -1
1
0 0
1 0 1
1 1 1 2
Describa explicitamente a la matriz
C = (cij)4x4 , si
cij = ai jbj
j +
2 bi j
(i , ,j = 1,2,3,4).
5. Halle la matriz traspuesta de cada una de
las siguientes matrices. En cada caso determine si la matriz es simétrica.
1 1 2 3
2
a) A =
2 b) B
= 2 2 4 3 c) C
= ( 0 1)
1 3 4 1
1
1 2
3
d) D
= 2 2
4
3 4
1
6. Demuestre que la matriz A
= ( ai j )nxn , definida por ai j =
i + j
(i , ,j = 1,2,3, ...,n), es una
matriz simétrica.
7. Demuestre que si n > 1, la matriz A
= ( ai j )nxn , definida por
ai j =
i + 2j (i , ,j = 1,2,3, ...,n), no es una matriz simétrica.
8. Dadas 2 1 -2 0
A = y B
=
-3 -4 -1 3
, calcule:
a) 3A b) -2B c)
-A d) A
- 3B e) (1/2)B - 2A
f) Halle C, si B + C = A g) Halle D si A - 2D
= 2B.
9. Sea 5 10
20
A =
-65
15 -10
Halle
una matriz B que sea múltiplo de A (
es decir B = cA ,
c un número real) y que tenga en la posición b12 el número 2.
10. Multiplique las siguientes matrices si es posible:
a) 2 1 0
1 b) 2
1 -1
3 4 2
-1 6 0 4
c) 4 0 d) 4 2 0
1
(
2 1 0 )
0 2 3 1 1
0
e) 9 6 2 2
4 f) 2
4 3
1 0 2 ( 3
1)
3
11. Dadas
1 2
3 1 4 7
A = 2 -1
1 , y B = 2 5 8 .
3 4 1 3 6 9
a) Halle A T , B T , ( A + B ) T
, ( AB )T
b)
Verifique que:
( A + B )
T = A T + B T
( AB )T = B
T A T
( A T )T =
A
c) Verifique que: ( AB )T ¹ A T B T
12. Sea 2 0 4 -1 1 0
A = , B = , I =
3 1 0 2 0 1
a) Premultiplique B por A, es decir
halle AB.
b) Postmultiplique B por A, es decir
halle BA.
c) Halle B 2
d) Halle B 4
e) Halle 28(IB)
f) Halle -11(0B)
g) Halle (3I)3
13. Dada la matriz 1 1
A = ¹ 0, halle una matriz B ¹ 0, tal que
AB = 0. 1 1
14. Dada la matriz
1 0
0 0
A
= 2 3 0 0
,
0 4
5 0
0 0
3 2
Demuestre que existe una y sólo una
matriz B de orden 4
b11 b12 b13 b14
B
= b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
b41 b42 b43 b44
tal que:
1 0
0 0
0 1
0 0
AB = I = 0 0
1 0
0 0
0 1
Ayuda: Demuestre primero que
necesariamente
b12 = b13 = b14 = b23 = b24 = b34 = 0.
Luego pruebe que b11
= 1 ,b22 = 1/3, b33 = 1/5, b44
= 1/2.
Posteriormente calcule los demás
elementos.
15. Demuestre que en general:
a) ( A + B ) T = A T + B T (Asuma
que la suma está definida)
b) ( ( A ) T ) T =
A, para toda matriz A.
16. Suponga que A es una matriz de orden 2 que
conmuta con todas las matrices de orden 2. Pruebe que A es un múltiplo de la matriz
idéntica.
17. Demuestre que la matriz A conmuta con An ,
para toda matriz cuadrada A.
18. Demuestre que la
matriz a0 I + a1 A
+ a2 A2 + ... + an
An conmuta con A, para
todo n. Construya una matriz que conmute con
1 -1
1
2 1 1
3 2
4
19. Demuestre que si
la matriz A es no singular, se cumple la siguiente ley cancelativa a derecha.
Es decir que si
CA = DA,
entonces C = D
20. Demuestre que si la matriz A es no singular
y A2 - AB =
0, entonces A = B.
21
a) Demuestre que una matriz cuadrada
a11 a12
A = es
no singular, sí y sólo si
a21 a22
D = a11 a22 - a21 a12 ¹ 0
y que en ese
caso:
a22 - a12
A-1 =
(1/D)
-a21 a11
A
D se le denomina, el determinante de A.
b) Señale si las siguientes matrices son
no singulares. Halle la matriz inversa de cada una de las matrices no
singulares.
i) 1 1 ii) -1
3 iii) 2
1 iv) 1 -3
1 2
2 -6 -1 1 2
2
EJERCICIOS QUE
INVOLUCRAN OPERACIONES CON MATRICES Y PROPIEDADES DE LAS MISMAS.
1) Demuestre que si
a) (
A+B)2 = A2 + 2AB + B2, entonces A y B conmutan.
b) Halle dos matrices A y B de orden 2
tales que
( A+B)2 ¹
A2 + 2AB + B2
2) a) Demuestre que si A y B son dos matrices
tales que (AB) -1=A -1 B -1, entonces A y B conmutan. Es decir que AB =
BA.
b) Halle dos matrices no singulares de
orden 2, tales que
(AB) -1 ¹ A -1 B -1
4) a) Demuestre que
si (AB)T = A
T B T , entonces A y B conmutan.
b) Halle dos matrices A y B de orden 4
tales que (AB)T ¹ A T B T
5) Demuestre que si
a11 0 0
A =
0 a22 0
0 0
a33
entonces, A es no
singular si y sólo si aii ¹ 0 ( i = 1,2,3
).
Demuestre
además que si A es no singular, entonces
1/a11 0 0
A -1 =
0 1/a22 0
0 0
1/a33
6) a) Demuestre utilizando
las propiedades de las operaciones entre matrices que
B(B -1A
+ C) A -1 = I + BCA
-1 .
b) Calcule B(B -1A +
C) A -1, utilizando el lado derecho de la igualdad anterior, para no calcular B -1.
7) Demuestre que A +
2 (A + 3B) = 3A + 6B.
8) Utilizando el
hecho de que A n = AA ... n
veces...A, demuestre que:
i) A p+q = A
p A q = A q A p
ii) ( A p ) q = A pq
9)
a) Demuestre que para toda matriz A, -A = (-1) A
(Ayuda:
A + (-A) = 0. Demuestre que A + (-1) A = 0 )
b) Demuestre que para todo número real p
y toda matriz A:
( -p ) A
= - ( pA ).
10.
a) Demuestre que si las matrices
A y B conmutan, entonces (AB)n =
An Bn , para todo número entero
positivo n.
b) Halle matrices A y B de orden 2 y 3,
tales que (AB)2 ¹ A2 B2
.
11. Demuestre que si
las matrices A, B, y
A + B, son no singulares, entonces:
(A-1 + B-1 ) -1 =
A ( A + B ) -1 B
= B ( A + B ) -1 A
Asuma que las operaciones están
definidas.
EJERCICIOS PARA EVALUACION DE OBJETIVOS
1.
Construya una
matriz A de orden 2, diferente de 0,
con la propiedad
A2 = 0.
2. De un argumento general por el cual no es posible hallar una matriz A,
no singular tal que A 2 = 0.
Ayuda: Si A es no singular, entonces de A 2 = 0, se concluiría que:
A -1 A 2 = A -100 = 0.
2. a) Demuestre que si la matriz
a11 a12
A
=
0 a22
tiene la propiedad A 2 = I. (I es la matriz idéntica de orden 2), entonces:
a12
= 0 y a11 = (+/-) 1, a22 = (+/-) 1; o
a11 = (+/-) 1 y a22
= - a11
b) Construya 6 matrices A , diferentes de I o –I, con la propiedad A 2 = I.
3. Será posible construir una matriz cuadrada C de orden 2, de la forma
c11 c12
C
=
0 c22
con la propiedad C 2 = - I ?.
4. Sea A una matriz A de dimensión mxn con la propiedad A A T= 0.
Concluya que necesariamente A = 0.
5. Sea
0 a12 a13 a14
0 0
a23 a24
A = 0 0 a33 a34
0 0 0 0
Demuestre que A 4 = 0.
5. 
Dada la matriz
1 3
A =
4 -3
Halle un vector columna
x1
X =
x2
diferente de 0, tal que Ax = 3x.
¿Cuál es la relación que deben satisfacer x1 y x2 para que el vector x tenga la propiedad Ax = 3x ?
6. La ecuación x 2 = 1, tiene exactamente dos soluciones si x es un número real. Encuentre por lo menos 3 matrices diferentes que satisfagan la ecuación matricial A 2 = I (I es la matriz idéntica).
7. Dadas las matrices
1 1 0
0 0 2 3 1
A = B = C = D =
1 0 1 1 0 -1 1 -1
Halle números reales x1 , x2 y x3, si existen, tales que
D = x1A + x1B + x1C
8. Compute las potencias
2 3 4
0 1 0 -1 0 -1
1 0 1 0 y 1 0
9. Si
1 4
x = 2 e y = 1
3 2
Compute i) xyT ii) xTy
10. Muestre que una matriz con una fila o columna de ceros no puede tener matriz inversa
11. Muestre que las matrices
1 -1 -1 2
A = y B = conmutan.
2 1 4 -1
12. Halle la relación que debe existir entre los números a11, a12 , a21 , a22 para que la matriz
a11 a12
A
=
a21 a22
conmute con la matriz
1 1
0 1
13. Si -1 2 0
A = 0 0 1
-1 1 0
calcule A –1
14.Suponga que las matrices A y B de orden n son ortogonales, es decir tales que:
A –1 = A T y
B –1 =
B T
Es AB una matriz ortogonal ?. O dicho de otro modo es (A B) –1 = (AB) T?.
Justifique su respuesta.
15.Es (A + I) ( A – I ) = A 2 - I ?. Justifique su respuesta.
16. Dados los siguientes datos
2
1 1 -2 3/2
-1/2
A = 4 1 2 A –1 = 2
-1 0
2 -1
2
3 -2 1
2 1
1 -2 3/2
-1/2
B = 4 1 2 B –1 = 2 -1 0
2 -1
2
3 -2 1
Calcule:
i) ( AB ) –1 ii) ( A T ) –1
17. Demuestre que si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces: ( A + B ) T = A T + B T.
Ayuda: Los elementos de ( A + B ) T en posición i, j, provienen de elementos en posición j, i de A+B, por lo tanto son de la forma a j i + b j i Compárelos con los elementos en posición i , j de A T + B T.
18. Una matriz A de orden n es simétrica si A = A T. Demuestre que si A y B son matrices simétricas entonces A + B es una matriz simétrica.
Ayuda: (A + B ) T = A T + B T = A + ....
19. Demuestre que si F es una matriz cuadrada entonces F + F T es una matriz simétrica, aún cuando F no lo sea.
20. Verifique que aún cuando A y B sean matrices simétricas no necesariamente AB es una matriz simétrica.
21. Una matriz A es nilpotente si A k = 0 para algún número entero positivo k.
i) Demuestre que si A 3 = 0, entonces (I – A) –1= I + A + A 2.
ii) Demuestre que si A k = 0, entonces
( I – A ) –1 = I + A + A 2 + A 3 + ... + A k-1.
22. Demuestre que ( I + C –1 ) -1 C –1 = ( I + C ) –1.
Sugerencia: Demuestre que ( I + C –1 ) -1 C –1 ( I + C ) = I.
23. Calcule la matriz A si:
3 4 -1 2
a) A –1 = b) ( 7B ) –1 =
5 6 4 -7
Sugerencia: ( 7 B ) –1 = (1/7) B –1 . Por qué ?
24. Asuma que A es una matriz cuadrada que satisface la ecuación
A 2 – 3A + I = 0. Demuestre que A –1 = 3I – A.. Sugerencia:
A ( 3I – A ) = I. Por qué ?
24. Demuestre que ( A + B ) 2 - ( A - B ) 2 = 2 ( AB + BA).
25. Demuestre que si la matriz cuadrada P es tal que P 2 = P, entonces la matriz J = I – 2P es tal que J 2 = I.
26. Demuestre que para toda matriz cuadrada A la matriz A T A es simétrica.
27. Suponga que la matriz A satisface la ecuación: A 2 – 2A + I = 0.
Pruebe que A 3 = 3A -2 I y A 4 = 4ª - 3 I.
28. Demuestre que si las matrices A y B conmutan, entonces las matrices A T y B T también conmutan.
29. Pruebe que si c es un número real, diferente de 0 y A es una matriz no singular, entonces: ( cA ) –1 = (1/c) A –1.
30. Pruebe
que: ( ABA –1 ) 2 = A B 2 A -1
31. Justifique por qué si A es una matriz simétrica de orden m y B es una matriz (no necesariamente simétrica) de orden mxn, entonces la matriz B T A B es una matriz simétrica.
32. Dada la ecuación X 2 + 2X = 0, en donde X es una matriz cuadrada. Se podrá concluir que necesariamente X = 0 o X = -2 I ?. Justifique su respuesta.
33. Encuentre la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices:
k
0 0 0
0 k 1
1 k
0 0 k 2 0
0 1
k k 3 0 0
EJERCICIOS CORRESPONDIENTES A APLICACIONES
1. Dibuje un diagrama semejante al que se
presentó en el ejemplo de las comunicaciones, que corresponda a la matriz:
RECEPTOR
E 1 2
3 4
M 1 0
0 0 0
C =
I 2
0
0 1 0
S 3 0
0 0 1
O 4 0
0 0 0
R
a) Calcule: i) C 2 ii) C 3 iii) C +
C 2 + C 3
b) Verifique en el
gráfico que C 2 si es la
matriz de las comunicaciones utilizando exactamente un relevo y C 3 la de las comunicaciones con exactamente
dos relevos. Verifique además que C + C
2 + C 3 es la de las comunicaciones con a lo más dos relevos.
c) Encuentre matricialmente de cuántas maneras
puede llegar la señal de la estación 4 a la estación 2 utilizando a lo más dos relevos.
Dé la lista a partir del gráfico de todas las cadenas que cumplen tal función.
2. Suponga que cuatro personas tienen establecido
un tráfico de influencias de acuerdo con la figura siguiente:
1 2
3 4
a) Escriba la matriz que muestra el número de maneras en las
cuales una persona puede influenciar a otra utilizando a lo más un
intermediario.
b) Ordene a las personas de acuerdo con el
número total de canales de influencia que puede ejercer utilizando a lo más un intermediario.
3. Una fabrica de automóviles aconseja rotar las
llantas después de cada 10.000 kmts., tal como se indica en el diagrama
siguiente:
TRASERA
IZQ. DELANTERA IZQ.
REPUESTO
TRASERA
DER. DELANTERA DER.
Escriba un ensayo corto sobre cómo el
álgebra de matrices puede ser utilizada para determinar la posición ocupada por
una llanta al cabo de n rotaciones.
4. Teniendo en cuenta la matriz de transición
presentada en el ejemplo teórico de ésta sección, conteste las siguientes
preguntas:
a) Qué
porcentaje de quienes pertenecían originalmente al partido 3, votarán de nuevo por el
partido 3 en la segunda siguiente elección?.
b) Cuál
partido retendrá mayor porcentaje de sus votantes originales en tal elección a partir del estado inicial?
c) Qué
porcentaje de los votantes iniciales del partido 2, votará por el partido 3 en tal elección?.
5. Suponiendo que el flujo de votantes (matriz de
transición) se mantuviese inalterable año por año, verifique que:
a) El
50% de los votantes iniciales del partido 1
votarán de nuevo por el partido 1 en la siguiente tercera elección.
b) Aproximadamente
el 50% de los votantes iniciales del partido 2, votará por el partido
1 en la siguiente tercera elección.
6. Tres compañías A, B y C, introducen nuevas
marcas de crema dental simultaneamente en el mercado. Inicialmente el mercado
está repartido así: A posee el 40%, B el 20% y C el 40%.
Durante el primer año, la compañía A
retiene el 85% de sus clientes, pierde el 5% con B y el 10% con la compañía C.
La compañía B retiene el 75% y pierde
el 15% con A y el 10% con C. La compañía C retiene el 90% y pierde el 5% con A
y el 5% con B. Asuma que los hábitos de consumo no cambian. Como estará
repartido el mercado en porcentajes al final del 1ro. y 2do. años?.
7) Asuma que las personas, de acuerdo con el
trabajo que desempeñan y el grado de calificación, se dividen en profesionales,
trabajadores calificados y trabajadores no calificados. Asuma que el 70% de los
hijos de profesionales son profesionales, 20% trabajadores calificados y 10% no
calificados. De modo similar suponga que el 60% de los hijos de trabajadores
calificados son trabajadores calificados, 20% profesionales y 20% no
calificados. Asuma además que 89% de los hijos de los trabajadores no
calificados son trabajadores no calificados, 10% son calificados y 1% son
profesionales. Asuma que la matriz de transición permanece constante. Muestre
que las fracciones de los nietos de los trabajadores no calificados que son profesionales,
calificados y no calificados son (aproximadamente) 0.04, 0.15, y 0.81
respectivamente.
8. Con ayuda de un computador compruebe que si
las relaciones dadas en el problema 7 se conservan por más de 40 años, cada
nueva generación estará discriminada (aproximadamente) así: profesionales
17.65%, trabajadores calificados 23.53% y trabajadores no calificados 58.82%.