INTRODUCCIÓN
El
embrujo que ejerce el antiguo Egipto sobre todos nosotros hace que sobre esta civilización se escriba y se hable en demasía mucha veces, sobre todo exagerando y
distorsionando los temas místico-religiosos, confundiendo lo científico con la
fantasía . Esto produce una
subestimación de esta cultura que
desde sus orígenes demostró estar
fundada sobre bases sólidas en todos los campos del
conocimiento.
En
cuanto al conocimiento científico matemático demostró ser brillante,
eminentemente práctico y positivista, el cual fue una cantera de información de
la cual se nutrieron otras civilizaciones.
ORÍGENES
Los
papiros encontrados indican que por lo menos en el siglo XXVII AC
ya estaba asentado el pensamiento científico en el antiguo
Egipto.
Un
grupo de árabes, específicamente
Mustafa Agha, encontró el 10 de enero de 1862 unos rollos de papiros
entre los pies de la estatua de Anubis en Letópolis, quien luego se los vendió a
compradores ingleses de antigüedades. Uno de los papiros era referente a
medicina (Papiro de Edwin Smith) y el otro referente a matemática llamado Papiro
de Rhind, ambos llamados así por sus compradores. Además se encontraron
fragmentos de escritura hierática con el nombre o referentes al rey Tutmosis
I.
Es
decir, en resumen se trata de un método empírico pero perfectamente trazado y
seguido, que convierte ese empirismo en verdad
científica.(2).
Pero
debemos dejar claro que por más absurdo que parezca, junto a ese positivismo,
tan ausente de curiosidad teórica ,
existía la tradición mágica.
En
cuanto a matemática no tenemos documentos seguros para establecer las
comparaciones mágico-prácticas o mágico–métricas, como por ejemplo en
construcciones como la gran pirámide, ya que no existe ningún texto que nos
estimule a pensarlo. No podemos
sacar ningún tipo de conclusión al respecto.
Se puede
afirmar sí, que es particularidad de Egipto y consecuencia de ese espíritu rigurosamente práctico que le dio gran
reputación entre los antiguos, esa separación absoluta entre técnica y magia,
entre conocimiento útil que busca el resultado seguro, conocimiento baconiano y
el enorme bagaje mágico que rodeaba
todo el ambiente.
Si
recordamos los esfuerzos relativos
al Teorema de Pitágoras en
Caldea durante la segunda mitad del tercer milenio, creemos poder afirmar que
hacia el 2000 AC a grandes rasgos,
ya poseemos documentos que no podemos calificarlos como totalmente científicos;
pero hay que aclarar que esa palabra no tiene el mismo significado para Egipto
que para Grecia en todo lo
referente a lo racional y lo lógico, y por lo tanto a lo
filosófico.(7)
Pero se
debe entender que para los egipcios el orden universal ya estaba establecido por
los dioses, y que su mundo era
completamente diferente al mundo griego , cambiante, donde la vida
quedaba siempre entre el ser y el devenir.(3)
Muchos
autores entre los que están
Breasted, Kaprinski y O. Gillian, criticaron la posición de
Peet por el hecho de que si por
ejemplo, un egipcio estudia la superficie de una figura poligonal cerrada o de
un semicírculo, o el volumen de un prisma, etc, sea pura y exclusivamente para
usarlo en sus campos, para pagar tributos o para medir el grano para venderlo.
Criticaron estas afirmaciones y las enfrentaron contra el espíritu egipcio
puramente científico.(7)
Kaprinski
ha insistido en este interés
puramente científico de los egipcios en el campo matemático, basándose en
los tres problemas de progresión que aparecen en el Papiro de Rhind. El
mencionado autor y Breasted, pusieron como hipótesis entre otras que existe un
segundo cálculo que solo tiene como fin demostrar que se puede llegar al mismo resultado por
el mismo método.
Pero
aparte de estos problemas todo
el Papiro de Rhind lo que muestra es ciencia y positivismo
puro.
Fue el
interés práctico el que liberó la ciencia pura de todo misticismo. La ciencia egipcia se
diferencia de la que florecerá en Grecia, en que no tiene ninguna aspiración
teórica ni metafísica . Es solamente
técnica como lo dio a entender Platón y después Herodoto. No debemos
confundirla con nada menos.(
1)
No tiene
nada en común con el mundo de
Heráclito en el que estaba continuamente cuestionándolo todo para así llegar a un conocimiento
profundo.(3)
La
mayoría de las personas que escriben sobre ciencia griega, suponen que surgió
espontáneamente con los griegos jónicos, pero es fundamental aclarar que los
egipcios enseñaban oralmente, en cambio los griegos por medio de escritura. De
ahí que se conozca mucho menos de los egipcios que de los griegos, y cuando
hablamos del tema de ciencia
egipcia siempre comenzamos
en desventaja con respecto a los griegos.( 5
).
Los
egipcios no han tenido nunca la curiosidad filosófica del griego, pero muchos
autores se olvidan de la deuda que Grecia tiene con Egipto. Dicha deuda ha sido
reconocida por los propios griegos, uno de ellos Thales de Mileto quién
junto a muchos más quedaban
impresionados por la enormidad de
conocimientos prácticos y útiles de los
egipcios.(5)
Alcanzaron
los egipcios resultados sorprendentes como mencionamos, en las aplicaciones
prácticas de sus conocimientos, pero lamentablemente no quedan casi documentos
escritos. Además los conocimientos teóricos que hubieran existido estaban en
manos de la clase privilegiada -los
sacerdotes y los escribas- y cuyo
interés era mantenerlos en secreto.( 5)
Con
todo, la investigación futura puede revelar una actitud científica en el antiguo Egipto mucho más desarrollada que lo que se ha
sospechado hasta ahora.
En la
dinastía I (3200 AC) se usaba un
sistema de numeración que suponía
el uso de grandes cifras
que llegaban a millones. Existían
signos separados para la unidad y
para cada potencia de 10 hasta un millón. El cero no existía, y no se conocía la
notación de posición, como tampoco la conocían los griegos. Quienes recién la introdujeron fueron los
matemáticos hindúes. Como no existían signos independientes para los números que
iban entre 1 y 10 , se repetían los números hasta llegar al número
requerido.
Así el número 142857, comprendía 27 signos
jeroglíficos separados.
Sin embargo el hierático cursivo usaba
abreviaturas. Además debemos tener en cuenta que si usáramos el método
alfabético español necesitaríamos 47 letras o signos. (3).
El
método ilustra el hecho de que todos los procedimientos aritméticos se resumen a contar; es decir la suma, la multiplicación se resumen a
contar. La resta era contar para atrás. La división era el contrario de la
multiplicación. La potenciación era una forma especial de multiplicación, y a la
radicación otra forma de división.
El
egipcio usaba un recurso para agilitar la multiplicación por 10. Consistía en
sustituir los signos de 10 por
unidades, los signos de 100,
por “dieces“, los signos de
1000 por “cienes“ y así sucesivamente.(5).
De esa
forma cada suma suponía corrientemente un número sucesivo de operaciones de
doblar o reducir a la mitad. Si en
el curso del trabajo era necesario multiplicar 15 x 13, se procedía
así:
/1x15=15
2x15=30
/4x15=60
/8x15=120
total------------------
13x15=195
Los
factores que daban la suma de 13 eran señalados al margen izquierdo con una
barra y los productos correspondientes eran sumados
conjuntamente.(4)(5)
Con la
excepción de 2/3 y 3/4 no se empleaban fracciones mixtas,
solamente en las que además de las mencionadas tenían a la unidad como
numerador, es decir fracciones de la unidad
Por
ejemplo, una fracción que escribimos 7/2 se expresaba por medio de las
fracciones 1/3 1/4 escritas una a continuación de la otra, indicando que se
sumaban, justamente como escribimos nosotros ahora 1
2/3.
Se
hicieron tablas para las fracciones con 2 como numerador con sus equivalentes en
2 o más fracciones de la unidad. Una anotación típica en una de las tablas es la división de 2 entre 69: 1/60;
1/356; 1/534; 1/890. Si en el curso del trabajo era necesario doblar el escriba
recurriría a la tabla y fijaría la serie de fracciones que se
citaron arriba, anteriormente. Así evitaban el inconveniente de desarrollar un sistema de anotación más compleja, que habría simplificado grandemente su
labor.
Sabían
que 2/3 + 1/5 era igual a 11 fracciones de 1/15 y que se requerían 4 más para completar el total. Pero no
intentaron crear un método que expresara las 11 fracciones de unidad mencionada
como 11/15. Para ellos esto era una colección de 11 fracciones de unidad. Los primeros
ejemplos de fracciones mixtas no se encuentran hasta los tiempos demóticos. Así
“mi 1/3 1/5 parte, que hace 2 partes de 5 da las casas” es simplemente otra
forma de escribir 2/5.
La
limitación de este método hacía necesario el uso de tablas. Para medir los
granos estaba el “hekat“, una unidad de aproximadamente 36 litros. Se la dividía en partes fraccionarias de ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32,
1/64, cada una con su propia designación que se representaba en alguna parte del Ojo de Horus, el que según el mito había sido hecho
pedazos por el malvado Set. (5)y
(11).
Las fracciones por debajo de 1/64 se
expresaban en términos de ro (1/320 partes de un
hekat).
Jamás
usó el egipcio ninguna otra parte
fraccionaria, pero si en el curso del trabajo necesitaba expresar, por ejemplo
1/7, lo que hacía era reducirla a una serie de partes diminutas como vimos. De esa misma forma los
ingleses no escribían 1/11 sino que
expresan esa fracción en
quintales, arrobas y
libras.
Se ve en
la tabla siguiente diversas fracciones de hekat en términos de fracciones conocidas:
1/11 de hekat = 1/16 + 1/64 +
4 1/11 ro
Parece
que 2/3 era una fracción conocida y que podían anotar 2/3 de un número sin hacer
cálculos. Se obtenía 1/3 reduciendo 2/3 a la mitad, pues se consideraba como las
dos partes de una distancia dividida en tres partes, siendo 1/3 la tercera y
última parte.
Con un
sistema tan complicado de notación
fraccionaria el cálculo por supuesto era dilatado y engorroso. Este sistema
persistió mucho tiempo después de haberse generalizado las fracciones mixtas. Se
lo encuentra con el mismo trato
excepcional de 2/3 en el papiro
Akhmim, escrito en griego en el 600 de nuestra era.
Como no
se instrumentó ningún sistema de símbolos de notación, no existían fórmulas generales, solamente la
excepción: “...para obtener 2/3 de
una fracción tómese 1/2 1/6.” (4)(5)
El
papiro de Rhind estudia las figuras geométricas como círculos, trapecios,
rectángulos. Dominaban los ejercicios de áreas y de volúmenes y trabajaban con
el número Pi (3,1415.......), con una aproximación
más exacta (3,16) de lo que lo
hacían otras civilizaciones de la época
que usaban solamente el 3.
(3)
No
olvidemos la importancia de la aplicación de la ecuación 3 al cuadrado + 4 al
cuadrado = 5 al cuadrado (referente al Teorema de Pitágoras) con el cual ellos
marcaban los ángulos rectos de sus
parcelas. Luego de cada crecida, el Nilo se retiraba dejando su preciado limo
pero se llevaba consigo los palos que generalmente separaban las parcelas de
labranza. Simplemente con una cuerda de 13 nudos lograban formar el ángulo recto. Esto lo
podían hacer gracias al hecho de que dominaban el Teorema de Pitágoras, que dice
que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos catetos. Entonces con la cuerda de 13 nudos,
los primeros 5 espacios entre 6 nudos eran la hipotenusa de ese triángulo
rectángulo. Así un cateto lo
formaban con 4 nudos y otro con 5. Clavando estacas en los lugares exactos a los
nudos correspondientes con la
cuerda tirante se formaba el ángulo recto del
triángulo.(11)
Pero
debemos reconocer que si bien podían hacer esto no significa que conocieran ninguna fórmula general respecto al
teorema mencionado, porque no se han encontrado documentos
escritos.(12)
Del
mismo modo muchos autores estudiosos de la ingeniería señalan que estas
construcciones hipnotizadoras, implican errores de angulación y perspectiva, lo
cual confirmaría que no dominaban completamente el
teorema mencionado.(12)
Respecto
a Pitágoras, uno de los más grandes
filósofos de la antigüedad, discípulo de Thales de Mileto, se piensa que
nació en la isla de Samos cerca de la costa de Asia Menor en el 580 AC. Viajó
mucho y estuvo muchos años en
Egipto y también en Babilonia, para finalmente radicarse en Cretona al sur de
Italia.(10)
Debemos
tener en cuenta que si bien a él se le atribuye el teorema mencionado, se conoce que del
antiguo Egipto recopiló importante, sino la mayoría de la información para luego
fundar la Escuela Pitagórica. Tal es la importancia del antiguo Egipto en cuanto
a la Geometría que en nuestros actuales textos, a la Geometría se la define como
“medir la tierra“ geo (tierra),
metría (medir) por anteriormente mencionado de las crecidas del Nilo.
(9)
La
geometría es la parte de la matemática que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos prescindiendo de su tamaño
estructura y posición. Estudia también las
medidas de superficie y volumen. Es junto con la aritmética una de las
primeras ciencias que ha estudiado el hombre. En efecto, los objetos que
rodeaban al hombre fueron formando con él los conceptos de las curvas y las
rectas, de figuras planas y de
cuerpos, de formas y de volúmenes diferentes. Así la observación de un
rayo de luz le dio la idea de recta, el arco iris la idea de curva, una burbuja
la idea de esfera, el sol y la luna llena como círculos, etc. Claro que en un
principio fueron ideas aisladas de forma, tamaño y de propiedades que se
comprobaron prácticamente, y pasaron siglos para que estos conocimientos se ordenaran formando la geometría. Es
indudable que en el pueblo egipcio está la cuna de la geometría en cuanto a la
acumulación de un bagaje enorme de conocimiento.
Pero
fueron los griegos los que tuvieron la gloria o la suerte histórica de darle al
a geometría un carácter netamente científico, reuniendo todos los
conocimientos diseminados y
adquiridos en forma empírica a lo
largo de los
siglos.(9)
Los
problemas relacionados con las pirámides ilustran el método egipcio de medir un
ángulo de inclinación con la ordenada horizontal por unidad vertical de altura
(el Seked), una medida de lo que hoy llamamos la cotangente de un ángulo. En la
práctica al cortar piedras con un
ángulo requerido, el constructor
trazaba un codo verticalmente y luego señalaría el seked horizontalmente.
Luego tiraba la línea indicadora de la dirección en la que había que cortar la
piedra. Estas líneas se han encontrado a menudo en los bloques de
piedra.
El
ingeniero antiguo afrontó el problema del peso de la pirámide, lo que estaba
compensado en parte por la propia forma de la misma, ya que era de una altura de
166metros y sobre la base se ejercía una enorme presión. La cámara funeraria
dentro de la pirámide estaba protegida por una estructura formada por enormes
bloques de piedra ubicados con tal forma y angulación que desviaran las
fuerzas.
Los
cálculos fueron hechos con una unidad de medida sacada de la propia naturaleza ,
“el cúbito” o “codo” (antebrazo) que era una regla de 52 centímetros ,
subdividido en 7 palmos o en 28 dedos (4).
Ya hemos
mencionado el sinnúmero de cálculos que hacían para lograr los resultados
deseados, pero una cosa asombrosa
es la fórmula del volumen de la pirámide truncada, algo común de ver durante la
construcción de las pirámides, así como un obelisco es una pequeña pirámide
sobre otra pirámide truncada. Se
necesitaron hacer cálculos de materiales para todas estas construcciones;
la fórmula moderna es V = e(a al cuadrado + ab + b al cuadrado) donde e es la altura, y donde a y b son los
lados de los cuadrados que forman la superficie de las dos
bases.
Es
posible que hallan llegado a una fórmula trabajando a escala con modelos de
arcilla del Nilo y probando, dividiendo los cuerpos, en fin podrían haber
llegado a esa fórmula. Debemos dejar claro que no hay evidencia de que ellos
supieran hallar el volumen de una pirámide
pero es imposible creer que no lo supieran.
Si
hubiesen sabido hallar el volumen de una pirámide, el de una pirámide truncada
lo podían haber calculado haciendo la resta de las dos
pirámides.
GEOMETRÍA
DEL ESPACIO
En el
papiro de Moscú hallamos en el problema 10 un problema referido a la superficie
de una canasta, y algunos piensan que
esa canasta se refiere a una semiesfera. El autor estudia y analiza la
canasta y llega a la conclusión de que
en efecto es una semiesfera con capacidad de contener 100 hekat de maíz.(12).
CONCLUSIONES
FINALES
De todo
lo que hemos mencionado se
concluye que el conocimiento
matemático de los antiguos
egipcios era esencialmente
práctico, el que fue desarrollándose con el fin de solucionar problemas
específicos. Raramente los problemas se refieren a números
abstractos.
No
estaban ellos de por sí interesados en desarrollar una teoría o una filosofía
determinada y mientras un método cualquiera cubriese sus necesidades, estaban
satisfechos. Esto hizo que no les
interesara mejorarlo o
simplificarlo.(5)
Pero
nuevamente debemos diferenciar nuestras palabras de las de muchos
escritores que se dedican a
enfatizar lo que los egipcios no
han hecho en lugar de mencionar
todo lo que sí pudieron lograr. Esto ha hecho que no se valorice al egipcio como
ha merecido.
Antes
del 2000AC ya había dado forma a un sistema práctico de numeración, con el que
podía efectuar complicados cálculos
de expresiones
fraccionarias.
Dio forma a métodos resolutivos por el
método de adición de números recíprocos y el planteamiento de ecuaciones
elementales.
Dominaron
la geometría de las
principales figuras y lograron un
conocimiento de la geometría del
espacio que le permitió esas magníficas construcciones que nos sobrevivirán por muchos
siglos más, aún cuando mucho de nuestra
civilización ya no exista.
1)H.yH.A. Frankfort,
J.A.Wilson y T.Jacobson. El Pensamiento
Prefilosófico I .Egipto y
Mesopotamia. Breviarios del Fondo
de Cultura Económico. México.1980.
2)René
Taton- La Sciences Antique et de L’Orient. Paris. Presses Universitaires de
France 1957.
3)Juan
José Castillos. El Egipto Faraónico. Ediciones MAAT. Montevideo
1996.
4)John A. Wilson. La
Civiltà Dell Antico Egitto.1ª
Edición Milano: Arnoldo Mondadori 1965.
5)R.W.
Sloley. El
Legado de Egipto. Univ. de Oxford. Madrid.Edit
S.R.K. Glanvilley ed. Pegasso 1944.
6)Alfred
Cyril. The Egyptians .London Thames
and Hudson. Edit. Dr. Glyn Daniel.
7)Rey,
A. La Ciencia Oriental antes de los Griegos. Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana. México
1959.
8)Sir William Tarn.Hellenistic Civilisation. University Paperbacks.Methuen: London.1951.
9)C.
Repetto - H. Fesquet. Matemática Moderna . Ed. Kapelusz. Buenos Aires
1966.
10)Mario
Copetti. Geometría Racional 2º año. Barreiro y Ramos. Montevideo.1955
11)L.
Belcredi-M. Zambra.
Matemática. Equipo Edit. Belcredi,
Zambra, Alonso, Stonek, Larghero, Grompone. Montevideo
1999.
12)Palter,
Robert. Black Athena, Afrocentrism and the History of Science. Ancient Egypt.
Mathematics and Liberal Arts.
http://
math.trauman.edu/-thamond/history/Ancient Egipt.html.
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