★마방진★

마 방 진

마방진(魔方陣)이란 아래의 그림과 같이 1에서 n² 까지의 정수를 n행 n열의 정사각형 모양으로 중복없이 나열하여 가로·세로·대각선방향의 선에 따른 수의 합이 전부 같아지도록 한 것.

6	7	2
1	5	9
8	3	4

방진(方陣)·마법진이라고도 하는데, 이것은 영어의 magic square를 번역한 말이다. 정사각형의 한 변에 나열된 수의 개수 n에 따라서 n방진, 3방진, 4방진, .... 등이라 한다.
합은 3방진에서 15, 4방진에서 서는 34, 5방진에서는 65가 되며, n 방진에서는 n(n²+1)/2 가 된다. 무슨말이냐구요? 위의 예를 보세요. 한 변에 숫자가 세개씩 있으니 3방진이죠? 3방진이니깐 한 선에따른 세 수를 더하면.....15가 되겠죠?? 맞죠??

마방진의 기원은 분명하지는 않으나 전설에 의하면, 약 3000년 전 중국 우(禹)나라의 우왕(禹王)이 낙수(洛水)의 치수공사를 할 때 나타난 거북의 등껍데기에 그림이 새겨져 있었다고 하는데, 이 그림을 낙도(洛圖) ·하도(河圖) ·낙서(洛書) 등이라 하였고, 이것과 오행설(五行說)을 결부시켜 일백수성(一白水星)이라거나 사록목성(四綠木星)이라 하여 운세 판단에 응용하기도 했다.

중국에서 마방진을 설명한 책은 송(宋)나라의 《양휘산법(揚輝算法)》(1275)이 최초인데, 여기에는 3방진부터 8방진까지 취급되고 있다. 또, 명(明)나라의 정대위(程大位)가 지은 《산법통종(算法統宗)》(1593)에는 3방진부터 10방진까지 실려 있다. 한국에서는 조선 숙종 때 영의정을 지낸 수학자 최석정(崔錫鼎:1646∼1717)이 절묘한 방진을 창안하여 그의 저서 《구수략(九數略)》에 실었다. 이 책에 있는 방진은 l~81까지의 정수를 중복없이 배열한 것으로, 큰 사각형 전체로도 마방진(가로, 세로로만 합이 같다)이 될 뿐만 아니라 그 안에 있는 9개의 정사각형도 역시 마방진(가로, 세로로만 합이 같다)을 이루고 있다. 또, 1~30까지의 정수를 중복없이 배열하여 육각형을 이루도록 했는데, 육각형에 있는 수를 합하면 각각 93이 된다(;지수귀문도).

지수귀문도 멜랑콜리아

서양의 마방진은 중국 것에 비해 시대적으로 뒤떨어지지 않은 것으로 알려져 있다. 유럽에서도 한때 점성술의 대상이 되었으며, 마방진을 새긴 부적 등이 만들어지기도 했다. 독일의 기하학자이며 화가로 유명한 A.뒤러의 동판화 《멜랑콜리아》(1514)에 그려진 마방진이 유명한데, 이것은 유럽의 마방진으로서는 가장 오래 된 부류에 속하는 4방진이다.

'멜랑콜리아'에는 생각에 잠겨 있는 수학자의 뒤에 마방진이 걸려 있다. 왜 이 그림에 마방진을 그려 넣었을까? 거기에는 먼저 고대 그리스의 의학에서 시작된 '사성론'에 대해서 설명하지 않으면 안 된다. 사성론은 인간의 몸 안에는 네 종류의 액체가 흐르고 있는데, 그 중 어느 것이 더 많은 가에 따라서 그 사람의 성격이 정해진다고 하는 이론이다. 즉, 혈액이 많은 '다혈질'의 사람은 활동가, 담즙이 많은 '담즙질'의 사람은 변덕쟁이, 점액이 많은 '점액질'의 사람은 끈질긴 성격의 사람, 흑담즙이 많은 '우울질'의 사람은 내성적인 사람이라는 것이다.
이러한 사성론에 따라, 창의적인 사람, 즉 수학자 등은 우울질의 인간으로 보고, 이들은 측량, 건축, 연금의의 신인 토성의 지배를 받는다고 생각하였다.
따라서, 사색에 열중하여 우울질이 높아지면, 이러한 토성의 영향을 지워 버리고 기분을 전환하기 위해서 목성의 보조가 필요하다고 생각하였다. 당시의 점성술사는 마방진을 별과 연관지어 3방진은 토성, 4방진은 목성, 5방진은 화성, 6방진은 태양, 7방진은 금성, 8방진은 수성, 9방진은 달의 상징이라 하였다.
그래서 '멜랑콜리아'에는, 생각에 열중하고 있는 수학자의 머리를 쉬게 하기 위해서 목성을 나타내는 4방진이 그려진 것이다. 이후 P.페르마 등이 방진을 연구한 것이 있으며, L.오일러가 연구한 것도 있다. 현재도 동서양에 걸쳐 마방진을 연구하는 사람이 많다.

마방진을 만드는 방법은 여러 가지로 고안되어 있으며, 단 한 가지 방법으로 모든 마방진을 만들 수는 없다. 그 중 이론적으로 가장 생각하기 쉬운 것은 n방진인데, 이것은 n진법의 기수법(記數法)을 쓰는 것이다. 일정한 규칙에 따라 네모진 틀에서 마방진을 만들 때는 규칙대로 수를 써넣으면 되지만, 홀수방진과 짝수방진은 만드는 규칙이 다르다. 각 마방진을 얼마만큼 만들 수 있는지는 확실하지 않으나 주어진 마방진을 회전시키거나 뒤집어보아 숫자의 배열이 같은 것을 같은 마방진으로 세면 3방진은 하나밖에 없으나, 4방진의 종류는 무려 880가지나 있다.
이해하기 쉽도록 예를 들어 보죠,
3×3 형은,
빈칸이 9개 있는 정사각형을 만들고(그림 A), 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 비스듬히 1, 2, 3, … 9까지의 숫자를 그림B와 같이 쓰고, 정사각형의 바깥쪽에 있는 각 숫자를 그 줄에서 가장 먼 자리에 있는 칸으로 옮겨쓴다. 즉, 1은 9 바로 위에, 3은 7옆에 그리고 9 는 5 위에 오도록 한다.

4×4 형은 가로, 세로 4줄로 된 칸을 만들고 그림처럼 대각선 2개를 긋는다. 그리고 각 칸마다 A, B, C…와 같이 이름을 붙인다. 먼저, 1을 A칸에 둔다.그러나 대각선이 있기 때문에 쓰지 않고 그대로 둔 채 2를 다음 B칸에 3을 C칸에 써 넣는다. 6, 7은 F, G칸에 들어가야 하지만 대각선이 있기 때문에 그만 두고, H에 8을 넣고, I에 9를 넣는다. J, K에는 10, 11이 들고, N, O에 14, 15를 넣는다.
다음은 대각선상에 있는 칸을 메워 간다. P에 1을 A에 16을 둔다. 이어서 왼쪽에서 오른쪽으로 15, 14, 13 …과 같이 거꾸로 D에 13을 F, G, J, K, M에 각각 11, 10, 7, 6, 4를 채우면 4×4 형의 마방진은 완성된다.
그래도 이해가 안가면 A, B, C ,..에 순서대로 1, 2, 3, ..을 써넣고 대각선 위의 숫자만 대칭으로 뒤집으면 완성!

5×5 형의 마방진도 3×3 형의 같은 방법으로 만들 수 있다. 이런 식으로 7차, 9차의 마방진도 만들 수 있다.
마방진에 쓰이는 숫자는 중복하여 쓰면 안 되고, 자연수를 꼭 한 번씩만 써야 한다.

홀수방진 만들기
1. 맨위 정중앙에 1를 적는다.
2. 그런 다음 2를 맨아래 1옆칸에 적어 넣는다.
3. 대각방향으로 차례로 적어넣는다.
4. 막히면 반대편으로 가서 계속 적어 넣는다.
5. n[기본수]까지 적었으면 아래로 내려와서 계속 적어넣는다.
6. 이런 식으로 한 방향이 다 차면 다른 쪽으로 계속 적어 넣는다.

68	81	94	107	120	1	14	27	40	53	66
80	93	106	119	11	13	26	39	52	65	67
92	105	118	10	12	25	38	51	64	77	79
104	117	9	22	24	37	50	63	76	78	91
116	8	21	23	36	49	62	75	88	90	103
7	20	33	35	48	61	74	87	89	102	115
19	32	34	47	60	73	86	99	101	114	6
31	44	46	59	72	85	98	100	113	5	18
43	45	58	71	84	97	110	112	4	17	30
55	57	70	83	96	109	111	3	16	29	42
56	69	82	95	108	121	2	15	28	41	54

아래의 마방진은 원주 8원진이라 불리는 것으로서, 1부터 33까지의 수를 그림과 같이 배치하면, 4개의 동심원 위의 수의 합이 140이 된다. 여기에 중심의 1을 더하면 141이 되고, 4개의 지름 위의 수의 합도 141이 된다.
또, 서로 이웃하고 있는 반지름 위의 수의 합도 141이 된다.

1693년 B.프레니클이 880개의 마방진을 전부 만들어 발표한 이래 많은 사람들이 여러 가지 방법으로 그것들을 확인하였다. 마방진 중에는 완전방진 또는 나시크방진이라는 것도 있다. 이것은 H.쇼츠크의 작품으로 8방진을 가로 또는 세로 방향으로 둥글게 원통형으로 하면 8개씩 16개의 대각선이 되는데 그 수의 합은 모두 일정하다. 이를테면, 62＋34＋24＋12＋5＋25＋47＋51=260, 2＋15＋19＋37＋57＋56＋44＋30=260 이다. 또, 16개 대각선의 수의 제곱의 합도 11180으로 일정하다. 이 밖에도 소수(素傳)만으로 이루어진 소수방진을 비롯, 입체방진 ·뺄셈방진 ·곱방진 ·오일러방진 등이 있다.

여기서는 마방진의 기초만을 옮겨다 놓았습니다.
마방진이 어떤것인지 머릿속에 대충 그려진다면 문제를 풀어볼까요?? 문제 풀이로 Go!!

68	81	94	107	120	1	14	27	40	53	66
80	93	106	119	11	13	26	39	52	65	67
92	105	118	10	12	25	38	51	64	77	79
104	117	9	22	24	37	50	63	76	78	91
116	8	21	23	36	49	62	75	88	90	103
7	20	33	35	48	61	74	87	89	102	115
19	32	34	47	60	73	86	99	101	114	6
31	44	46	59	72	85	98	100	113	5	18
43	45	58	71	84	97	110	112	4	17	30
55	57	70	83	96	109	111	3	16	29	42
56	69	82	95	108	121	2	15	28	41	54

68	81	94	107	120	1	14	27	40	53	66
80	93	106	119	11	13	26	39	52	65	67
92	105	118	10	12	25	38	51	64	77	79
104	117	9	22	24	37	50	63	76	78	91
116	8	21	23	36	49	62	75	88	90	103
7	20	33	35	48	61	74	87	89	102	115
19	32	34	47	60	73	86	99	101	114	6
31	44	46	59	72	85	98	100	113	5	18
43	45	58	71	84	97	110	112	4	17	30
55	57	70	83	96	109	111	3	16	29	42
56	69	82	95	108	121	2	15	28	41	54

68	81	94	107	120	1	14	27	40	53	66
80	93	106	119	11	13	26	39	52	65	67
92	105	118	10	12	25	38	51	64	77	79
104	117	9	22	24	37	50	63	76	78	91
116	8	21	23	36	49	62	75	88	90	103
7	20	33	35	48	61	74	87	89	102	115
19	32	34	47	60	73	86	99	101	114	6
31	44	46	59	72	85	98	100	113	5	18
43	45	58	71	84	97	110	112	4	17	30
55	57	70	83	96	109	111	3	16	29	42
56	69	82	95	108	121	2	15	28	41	54