A Matemática da Música

(ou uma aplicação curiosa dos logaritmos)

A música é sem dúvida nenhuma a arte mais popular do planeta. Mas, o que pouca gente sabe, é que por trás de um chorinho, ou de uma complexa sinfonia de Bach ou Villa-Lobos, existem relações matemáticas muito simples que ajudam a formar, ao lado do talento dos homens, o edifício sonoro da nossa Música.

Mas, o que a música tem a ver com a matemática?

O grande matemático Leibniz certa vez disse que “A música é um exercício de aritmética secreto e aquele a que ela se entrega às vezes ignora que maneja números”, como já disse uma vez o grande Prof. Luiz Barco em uma de seus incríveis escritos sobre matemática na revista Superinteressante. O que será que Leibniz e também o Prof. Barco quiseram dizer com isto?

Na época de Bach muitos músicos já experimentavam novos acordes, mas ele foi o primeiro a sistematizar, aplicar a estes acordes belíssimas composições, seja no piano, no orgão ou no cravo.

Johann Sebastian Bach

Bach percebeu, assim como Pitágoras, que separar as notas musicas de determinadas formas promovem sons mais ou menos agradáveis. Veja por exemplo a escala de sete sons mais conhecida: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si. A escolha da separação dos sons nestas 7 partes é agradável, e também matemática! Quer saber mais? Veja a história da descoberta dos sons pelo matemático Pitágoras nas páginas eletrônicas de matemática.com.prazer!

Contudo, CUIDADO: não existem somente estas 7 notas: No tempo de Pitágoras, a quem primeiro credita-se a escolha de uma escala musical, haviam somente 5 sons, que você ainda pode reconhecer ao ouvir uma música chinesa.... Mas não é só isso: os árabes acham agradável separar os sons em 34 partes!

A proposta original na época de Bach era dividir a escala musical em 12 partes, doze sons bastante agradáveis ao ouvido e à alma, mas agora não mais através de frações , como havia feito Pitágoras - e sim a partir de logaritmos!

como?

Mirifici logarithmorum canonis descriptio

Os logaritmos foram descobertos muito antes de Bach. Em 1614 o matemático e banqueiro John Napier, Barão de Merchinston, propôs uma nova maneira de contar. Esta nova operação - o logaritmo -imediatamente reduziu complicadas contas, que chegavam a levar anos(!), de astrônomos como Johannes Kepler e Pierre Simon, o Marquês de Laplace. Além de aplicações em Astronomia, localizando as posições dos planetas, facilitou enormemente os trabalhos em navegação (orientação no mar), operações bancárias (como empréstimos), engenharia (construções) e também nas ciências que estavam nascendo.

John Napier

Você certamente conhece uma operação matemática chamada potenciação. Por exemplo 2³ = 2´2´2, que é igual a 8, isto é, a base 2, elevada ao expoente 3 resulta na potência 8. A potenciação nada mais é que multiplicar um número (chamado de base) tantas vezes quantas for o expoente. Se em potenciação conhecemos a base (2, no caso) e a potência (8), a operação que permite encontrar o expoente que devemos atribuir à base para obtermos a potência é o que denominamos logaritmo. Assim log₂8 = 3, pois 2³ = 8. O logaritmo de 8 na base 2 é o 3, pois o 3 é o expoente que temos que atribuir à base 2 para obter a potência 8.

A escolha de músicos como Bach coincidiu em dividir a escala temperada (Dó, Dó# Ré, Ré#, Mi, ..., Si) em 12 partes logaritmicas, desta forma:

nota

dó

dó#

ré

ré#

fá

fá#

sol

sol#

lá

lá#

Dó (escala acima)

temperado

2^1/12

2^2/12

2^3/12

2^4/12

2^5/12

2^6/12

2^7/12

2^8/12

2^9/12

2^10/12

2^11/12

razão Nota/dó

(escala pitagórica)

(1/1)

1,125

(9/8)

1,250

(5/4)

1,333

(4/3)

1,500

(3/2)

1,666

(5/3)

1,875

(15/8)

(2/1)

Freqüência

(Hz)

262

277

294

311

330

349

370

392

415

440

466

494

523

Noutras palavras, as 12 notas da escala cromática ou temperada correspondem aos logaritmos de base 2: 2⁰, 2^1/12, 2^2/12... Se compararmos as notas desta nova escala com a escala de Pitágoras, poderemos observar uma enorme semelhança entre elas, entre seus sons. Veja só: ao dividirmos o valor das freqüências em relação à nota DÓ, teremos como resultado números muito próximos da escolha feita por músicos como Bach, que utilizavam logaritmos, e também números muito próximos das frações escolhidas muito, muito tempo antes por Pitágoras – por exemplo, calculando a razão entre as notas MI e DÓ temos: 330/262 » 5/4 » 2^4/12.

Agora... Quer saber como calcular o resultado de 2^4/12? Aguarde nas próximas páginas....

Para ler mais:

Coluna Dois mais Dois – Luiz Barco (Revista Superinteressante – março de 1988)

Logaritmos - Elon Lages Lima (livro da Sociedade Brasileira de Matemática)

A Source Book of Mathematics – David Eugene Smith (Dover)

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