Determinantes

determinantes II

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR MEDIO DE DETERMINANTES

Dado un Sistema de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas encontrar su solución.

Como se dijo con anterioridad en el tema de Matrices un Sistema se Ecuaciones Lineales se puede resolver por cualquiera de los métodos de Simultaneas como son el Método Eliminación por Suma y Resta el de Sustitución el de Igualación ó el de Graficas ahora lo resolveremos por la Regla de Cramer

REGLA DE CRAMER

Como se vio anteriormente la solución de un sistema de dos Ecuaciones con dos Incógnitas esta dada por:

Solución que puede ser escrita con relación de Determinantes como

Y en forma simplificada:

en donde

es el delta del Sistema y está formado por los Coeficientes,

es el delta “x” y esta formado por las Constantes (en la columna de “x”) y por los Coeficientes de “y” y

que es el delta “y” y está formado por los Coeficientes de “x” y por las Constantes (en la columna de “y”)

La Regla de Cramer se puede generalizar para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales de n ecuaciones con n incógnitas, quedando escrita de la forma siguiente.

Donde:

Representa cualquiera de las n incógnitas

Es el determinante de los coeficientes de las incógnitas con las

ecuaciones ordenadas del sistema de ecuaciones.

Es el determinante que se forma cuando se sustituye los términos

constantes sobre la columna de la incógnita en

Ejemplo 1. Resolver el Sistemas de Ecuaciones Lineales dado usando la Regla de Cramer.

Solución: Realizaremos cuatro pasos en la solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales que son las siguientes:

Se calcula el delta del Sistema (Ds) formado por los Coeficientes del sistema de ecuaciones lineales. (por cualquier método)

Conclusión: como hay solución única.

Calculamos ahora las deltas: y quedando formados como sigue:

* * *

Observen como los términos constantes ocupan la columna de la incógnita a calcular. (marcada con asterisco) quedando:

Los cálculos se dejan como ejercicio al estudiante.

Se calculan las incógnitas x, y y z usando la regla Cramer.

Se comprueba la solución por sustitución en cualquiera de las ecuaciones dadas.

Ejemplo 2. Resolver el sistema de ecuaciones dado.

Solución. Igual que en el ejemplo anterior se Calcula por cualquier método

como entonces hay solución única

Calculamos las deltas y

Nuevamente estos cálculos se suprimen para que sea ejercicio para el estudiante.

Calculamos los valores de las variables usando la regla Cramer.

Comprobamos la solución por sustitución en cualquier ecuación

Como sé podrá observar si se resuelven sistemas de ecuaciones de orden superior el proceso se vuelve tedioso, y genera la fatiga mental si se hace a mano, por lo que es recomendable el uso de la Computadora para dichos Sistemas de Ecuaciones Lineales ( MAT-LAB ).