Matrices
matrices 


   

INTRODUCCIÓN.

La utilidad de las Matrices y su verdadero poder en las aplicaciones, proviene de las propiedades de las matrices mismas, en las características de una matriz que nos esta sirviendo de modelo para representar alguna situación en la Física, la Ingeniería, las Comunicaciones, Teoría de las Probabilidades y en las Matemáticas mismas. Muy poco se puede manifestar de su importancia en las aplicaciones con solo manejar el Álgebra de Matrices se pueden Denotar de dos maneras con Corchetes [ ] ó con Paréntesis Redondos Grandes (  ) en este capitulo los utilizaremos de las dos maneras.

 

DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ.  

Una matriz es un arreglo matemático rectangular de elementos que pueden ser números ó letras formado por filas ( m ) y columnas ( n ) que nos da el orden de la matriz y la cual se representa generalmente con letras mayúsculas con subíndices numéricos (       )

Con la siguiente representación trataremos de despejar las dudas que pudieran haber surgido

 Matriz de orden m x n  

en cualquier Matriz se puede distinguir la “ Diagonal Principal “ que es la formada por los elementos       ,     ,     ,            ....

Cuando una Matriz tiene el mismo numero de Filas que el de Columnas forma lo que se conoce como una matriz cuadrada a la cual se le puede representar por un número real        dicho arreglo se le llamará Determinante.

Ejemplos:

            su determinante es

   su determinante es

Existe una gran cantidad de definiciones de Matrices que deben ser nombradas, algunas de ellas se dan a continuación:

 

MATRIZ TRANSPUESTA  (    )

La Matriz transpuesta es aquella que se obtiene al intercambiar las Filas por Columnas y las Columnas por Filas respectivamente de una Matriz  ( A ) dada.

Si el orden de la Matriz  A  dada, es m x n entonces su Transpuesta     será de orden  n x m.

Ejemplos:

    su Transpuesta será 

 

   su Transpuesta será  

 

MATRIZ IDENTIDAD  (    )

La Matriz Identidad es aquella matriz cuadrada que tiene en su diagonal principal elementos que son la unidad  ( unos ) y los demás elementos son ceros ( 0 )

Ejemplos, de matrices identidad de Orden 1, Orden 2 y de Orden 3 respectivamente

                      etc.

 

MATRIZ ESCALÓN

La Matriz Escalón es la matriz rectangular que posee elementos “ uno “ en la Diagonal Principal, y por debajo de esta Diagonal elementos “ cero “ y por arriba de esta Diagonal cualquier valor.

Ejemplo:

 

      Matriz Escalón de 3 x 4

 

MATRIZ NULA  ( 0 )

La Matriz Nula  m x n simbolizada por un cero, tiene m filas  y n columnas en la que todos sus elementos son “ ceros “ y se la llama Identidad Aditiva en donde

MATRIZ INVERSA 

Es aquella Matriz cuadrada que se obtiene de otra Matriz similar        de tal forma que al multiplicarlas en cualquier orden nos da una Matriz Identidad.

Con Matrices se pueden realizar casi todas las operaciones fundamentales que se realizan con los números reales con excepción de la división de Matrices, que no existe en el Álgebra de Matrices, a continuación iniciaremos el estudio de estas operaciones con:

IGUALDAD DE DOS MATRICES  

Dos Matrices de orden        son iguales si y solo si cada elemento de una de ellas es igual a correspondiente elemento de la otra

      si y solo si    

Un ejemplo nos podrá despejar las dudas existentes:

la igualdad de dos Matrices puede generar Sistemas de Ecuaciones Lineales como lo podemos ver en el siguiente ejemplo:

estas Matrices son iguales sí y solo sí

                      

 

SUMA DE DOS MATRICES

Para poder realizar la suma de dos Matrices es necesario que estas sean del MISMO ORDEN y cada elemento de la primera Matriz se Sumará con el correspondiente elemento de la segunda matriz aclararemos lo anterior con el siguiente ejemplo:

Ejemplo: dadas las Matrices A y B efectuar su suma.

               

Solución:

La operación de Restar una Matriz de otra es semejante a la suma de Matrices solamente hay que respetar las operaciones de signos

Ejemplo: calcular la diferencia ( resta ) de las Matrices A y B.

              

Solución:

Nota: La Suma de Matrices es Conmutativa y también Asociativa es decir:

         

 

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UNA CONSTANTE NO NULA  ( ESCALAR ).

Una Matriz de orden m x n puede ser multiplicada por un número diferente de cero dando como resultado otra matriz del mismo orden, quedando esta expresión expresada por la siguiente definición:

El producto de una Matriz A de orden m x n por una constante no nula k es la Matriz kA de orden m x n que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por la constante k dando como resultado:

Ejemplo: si           y                        calcular

 

 

DIVISIÓN DE UNA MATRIZ POR UNA CONSTANTE NO NULA               ( ESCALAR ).

Una Matriz de orden m x n puede ser Dividida por un número diferente de cero dando como resultado otra matriz del mismo orden, quedando esta expresión expresada por la siguiente definición:

El Cociente de una Matriz A de orden m x n por una constante no nula k es la Matriz  de orden m x n que se obtiene al dividir cada elemento de A por la constante k dando como resultado:

 

 

Ejemplo: si           y                         calcular

 

 

MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES.

Para multiplicar dos matrices A  y  B  es REQUISITO ( necesario ) que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz, obteniendo una Matriz resultante que estará formada con el número de filas de la primera Matriz ( m ) y con el número de columnas de la segunda Matriz ( p ). Si C es el producto de A · B entonces:

     requisito

Ejemplo.       Calcular el producto de las matrices A por B de ser posible.

                        

               

                        2 x 3                                             3 x 4

Observe que las columnas de A y los renglones de B son iguales, por lo tanto, sí se puede efectuar la multiplicación quedando la matriz resultante (C) con 2 renglones y 4 columnas. Los cálculos de los elementos de C son los siguientes.

C11= (3)(1)+(-2)(5)+(5)(0)= -7

C12=(3)(2)+(-2)(4)+(5)(-3)=-17

C13=(3)(-3)+(-2)(1)+(5)(-2)=-21

C14=(3)(0)+(-2)(6)+(5)(5)=13

C21=(1)(1)+(0)(5)+(4)(0)=1

C22=(1)(2)+(0)(4)+(4)(-3)=-10

C23=(1)(-3)+(0)(1)+(4)(-2)=-11

C24=(1)(0)+(0)(6)+(4)(5)=20

   Resultado

Se podrá observar a simple vista que el producto de dos matrices no es conmutativo. En efecto en la multiplicación anterior A x B si se pudo realizar pero si tratamos de multiplicar B  x A, nos daremos cuenta que no es posible realizarlo.

La ley asociativa se cumple siempre y cuando la multiplicación de las matrices estén definidas. Esto implica que el número de columnas de A sea igual al número de renglones de B, además el número de columnas de B deberá ser igual al número de renglones de C y la matriz resultante tendrá el número de renglones de A y el número de columnas de C, simbólicamente queda representado como sigue:

                               mxn  nxp  pxq   =   mxn  nxp  pxq  =  mxq

La multiplicación de matrices también cumple con la ley Distributiva siempre y cuando las matrices involucradas tengan el número adecuado de renglones y columnas como en el caso anterior quedando representado como sigue:

A x (B + C) = A x B + A x C

Esto se cumple si A es de orden  mxn  y  B  y  C  de  nxp

(A+B) x C = A x C + B x C

Que se cumple si A y B son de mxn y C de nxp.

Cuando todas las matrices son cuadradas las propiedades asociativa y distributiva se verifican, esto se considera como un caso especial de la multiplicación de matrices. 

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