Matrices
matrices II


 

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO MATRICES.

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser resueltos por el método de Eliminación por Suma y Resta el de Sustitución el de Igualación ó el de Gráficas. En este tema se le dará al estudiante una alternativa más que es la de usar las matrices para su solución.

Supongamos que se nos da un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Dicho sistema puede ser representado por una matriz como sigue.

Esta matriz que representa al sistema de ecuaciones lineales con las ecuaciones ordenados es llamada la MATRIZ AUMENTADA, también podemos distinguir otras dos matrices en el mismo sistema que son:

          MATRIZ DE LOS COEFICIENTES

              Y

          MATRIZ DE LOS TÉRMINOS CONSTANTES

 

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN.

En sistemas de ecuaciones lineales podemos realizar los siguientes operaciones.

1.   Intercambiar una ecuación por otra

2.   Multiplicar una ecuación por una constante no nula

3.   Sumar dos ecuaciones (o restar)

4.   Multiplicar una ecuación por una constante y el producto sumarlo

      a otra   de las ecuaciones.

Estas operaciones hechas con las ecuaciones son con el objetivo de formar “Sistemas Equivalentes” al sistema dado que tiene la misma solución que el sistema original y cuya solución sea mas fácil de obtener.

Las mismas operaciones hechas a las “Ecuaciones” se pueden realizar en las matrices sobre los “Renglones” siendo conocidas con el nombre de transformaciones elementales de renglón de una matriz y son los siguientes.

 

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN

1.       Intercambio de dos renglones

2.       Multiplicación de todos los elementos de un renglón por una constante distinta de cero

3.       Multiplicación de un renglón por una constante no nula y el producto sumarlo al correspondiente elemento de cualquier otro renglón.

 

ELIMINACIÓN GAUSSIANA

El proceso consiste en formar una “Matriz Escalonada” que posea elementos “Cero” por debajo de la diagonal principal y elementos “Unos o Ceros” en la diagonal principal (de preferencia unos) que representará al sistema de “Ecuaciones Equivalentes” con la que se podrá resolver “en reversa” o de la última ecuación hasta la primera el sistema de ecuaciones con gran facilidad.

A continuación se obtendrá la solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3 x3 en el cual se expresará con palabras las operaciones realizadas.

Ejemplo.       Resolver  el Sistema de Ecuaciones Lineales dado.

Solución.      Se escribe la matriz aumentada

Se intercambian las Filas 1 y 2

Ahora se Multiplica cada elemento del Renglón 1 por ( -2 ) y el Resultado se Suma con el correspondiente elemento del Renglón 2, y también Multiplicar cada elemento del Renglón 1 por ( 3 ) y el resultado Sumarlo con el correspondiente elemento del Renglón 3 y nos queda:

Se multiplica por ( 1/5 ) el Renglón 2 y nos queda:

Se Multiplica el Renglón 2 por ( 2 ) y se Suma al Renglón 3 y nos queda:

Finalmente se multiplica el renglón 3 por ( 1/4 ) y obtenemos:

Esta última matriz representa al Sistema de Ecuaciones Equivalente:

colocando las Variables a los Coeficientes nos queda:

Y resolviendo en “reversa” dicho sistema se obtiene la solución buscada.

,  y .

Como ya se sabe un sistema de ecuaciones puede tener: Solución Única (como el del ejemplo anterior), no Tener Solución o Tener un Número Infinito de Soluciones.

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