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Definición de un Vector Unitario Se dice que un Vector es Unitario cuando su Módulo ( norma ) es igual a 1 ó a la unidad y se denota de la siguiente manera: ( Unitario ) Un Vector Unitario tiene la misma Dirección y Sentido Que otro Vector que se encuentre el Plano ó en el Espacio
En donde:
Ejemplo: Halle un Vector Unitario con la misma dirección de
Vectores Unitarios Canónicos en un Plano Los Vectores Unitarios y se llaman Vectores Unitarios Canónicos y se denotan por: y En términos de estos Vectores, como se muestra en la siguiente figura se puede expresar cualquier vector del Plano de la siguiente forma:
En donde el Vector se llama una combinación lineal de y de , y los escalares y se llaman respectivamente, Componente Horizontal y Componente Vertical de .
Vectores Unitarios Canónicos en el Espacio En el Espacio los Vectores se denotan como se dijo anteriormente por tríos ordenados . El Vector cero se denota por . Usando los Vectores Unitarios , , y en la dirección del eje Z, por lo tanto la notación canónica en términos de Vectores Unitarios para un Vector V es:
Naturalmente se pueden realizar operaciones con los Vectores en el Espacio.
Suma de Vectores en el Espacio ( nos da otro Vector ) Sí A es igual a y entonces
Resta de Vectores en el Espacio ( nos da otro Vector ) Sí A es igual a y entonces
Multiplicación de un Escalar por un Vector ( nos da otro Vector ) y se usa la propiedad Distributiva Si A es igual a y se multiplica por un escalar p nos quedaría, otro Vector
Producto Escalar entre Vectores Unitarios
Ejemplos: · ·
Definición del Producto Punto ( Escalar ó Interno ) Hasta aquí se ha estudiado tres operaciones con Vectores, la Suma y Resta de dos Vectores y la Multiplicación de un Vector por un Escalar, que dan por resultado un Vector. A partir de aquí se introducirá una tercera operación el Producto Escalar ( Punto ó Interno ) cuyo resultado no es un vector sino un Escalar ( un Número ). Nota: El Producto Punto lo vamos a denotar por un Punto Si tenemos dos Vectores y que forman un ángulo entre sí, se puede decir entonces por definición:
y si utilizamos la ley de los Cósenos
si elevamos al Cuadrado el lado izquierdo nos quedaría
cancelando términos semejantes en donde y el Ángulo se obtiene de la siguiente manera
Con el siguiente ejemplo se aclararán las dudas que pudieron haber surgido Encontrar el Ángulo que existe entre los dos Vectores siguientes:
Solución: como se dijo con anterioridad la Formula para encontrar el Ángulo es:
primeramente calcularemos el Producto Punto
ahora calcularemos el Producto de las Magnitudes
sustituyendo estos Valores en la Formula del Coseno y despejando
Propiedades del Producto Punto ( Escalar ó Interno ) Si tenemos dos Vectores y y si efectuamos la Multiplicación nos queda:
por otra parte si Multiplicamos nos queda:
lo que nos indica que es la Propiedad Conmutativa Por otra parte si tenemos un Escalar p y lo Multiplicamos por nos quedaría: que es la Propiedad Asociativa Si tenemos dos números Escalares p y q y los Multiplicamos por nos quedaría:
Propiedad Asociativa Sí en este caso los Vectores son Ortogonales
Si Multiplicamos un Vector por si mismo, el Ángulo que se forma entre ellos es de por lo tanto: y como él
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