Vectores
vectores III


 

Definición de un Vector Unitario

Se dice que un Vector es Unitario cuando su Módulo ( norma ) es igual a  1  ó a la unidad y se denota de la siguiente manera:

 ( Unitario ) 

Un Vector Unitario tiene la misma Dirección y Sentido Que otro Vector que se encuentre el Plano ó en el Espacio

 

 

 

En donde:

 

Ejemplo:   Halle un Vector Unitario con la misma dirección de

 

Vectores Unitarios Canónicos en un Plano             

Los Vectores Unitarios  y  se llaman Vectores Unitarios Canónicos y se denotan por:

        y        

En términos de estos Vectores, como se muestra en la siguiente figura se puede expresar cualquier vector del Plano de la siguiente forma:   

 

 

 

 

 

 

 

En donde el Vector  se llama una combinación lineal de    y de , y los escalares   y  se llaman respectivamente, Componente Horizontal y Componente Vertical de  .

 

Vectores Unitarios Canónicos en el Espacio 

En el Espacio los Vectores se denotan como se dijo anteriormente por tríos ordenados . El Vector cero se denota por . Usando los Vectores Unitarios   , y    en la  dirección    del eje  Z, por lo tanto la notación canónica en términos de Vectores Unitarios para un Vector  V es:

Naturalmente se pueden realizar operaciones con los Vectores en el Espacio.

 

Suma de Vectores en el Espacio ( nos da otro Vector ) 

Sí A es igual a   y    entonces

 

Resta de Vectores en el Espacio ( nos da otro Vector )

Sí A es igual a     y    entonces

 

Multiplicación de un Escalar por un Vector ( nos da otro Vector ) y se usa la propiedad Distributiva  

Si A es igual a   y se multiplica por un escalar p nos quedaría, otro Vector

 

Producto Escalar entre Vectores Unitarios

 

Ejemplos:

·       

·       

 

Definición del Producto Punto ( Escalar ó Interno )

Hasta aquí se ha estudiado tres operaciones con Vectores, la Suma y  Resta de dos Vectores y la Multiplicación de un Vector por un Escalar, que dan por resultado un Vector. A partir de aquí se introducirá una tercera operación el Producto Escalar ( Punto ó Interno ) cuyo resultado no es un vector sino un Escalar    ( un Número ).

Nota: El Producto Punto lo vamos a denotar por un Punto 

Si tenemos dos Vectores  y  que forman un ángulo  entre sí, se puede decir entonces por definición:

y si utilizamos la ley de los Cósenos

 

 

 

 

 

si elevamos al Cuadrado el lado izquierdo nos quedaría

 

cancelando términos semejantes

          en donde 

y el Ángulo  se obtiene de la siguiente manera

 

 

Con el siguiente ejemplo se aclararán las dudas que pudieron haber surgido

Encontrar el Ángulo que existe entre los dos Vectores siguientes:

 

Solución: como se dijo con anterioridad la Formula para encontrar el Ángulo es:

 

primeramente calcularemos el Producto Punto

ahora calcularemos el Producto de las Magnitudes

 

 

sustituyendo estos Valores en la Formula del Coseno y despejando

 

 

 

 

 

 

Propiedades del Producto Punto ( Escalar ó Interno )

Si tenemos dos Vectores  y  y si efectuamos la Multiplicación   nos queda:

por otra parte si Multiplicamos  nos queda:

 

lo que nos indica que      es la Propiedad Conmutativa

Por otra parte si tenemos un Escalar p y lo Multiplicamos por  nos quedaría:

   que es la Propiedad Asociativa 

Si tenemos dos números Escalares p y q y los Multiplicamos por  nos quedaría:

Propiedad Asociativa

Sí             

             en este caso los Vectores son Ortogonales

              

Si Multiplicamos un Vector por si mismo, el Ángulo que se forma entre ellos es de  por lo tanto:

       y  como él  

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