RESOLUCION DE PROBLEMAS

Hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y "ejercicio". No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma más o menos mecánica, evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más complejas, y otra, resolver un problema, dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto. La respuesta suele ser única, pero la estrategia resolutoria está determinada por factores madurativos o de otro tipo.

La estrategia de resolución de problemas es mucho más rica que la aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta coherencia. Desde este análisis se han de establecer jerarquías: ver qué datos son prioritarios, rechazar los elementos distorsionadores, escoger las operaciones que los relacionan, estimar el rango de la respuesta, etc.

Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades de comprensión lectora. La tendencia de operar todos los datos presentados, venga o no a cuento, certifica esta falta de comprensión global. Por otra parte, los alumnos resuelven mejor los problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo. Ello constituye un error pedagógico muy frecuente, porque cuanto más facilitemos los adultos el aprendizaje, menor será el esfuerzo del niño por aprender y por tanto menor será el aprendizaje.

No todos los alumnos llegan a comprender los contenidos matemáticos fijados en los curriculums oficiales de la enseñanza obligatoria: unos no pueden y a otros no les interesan lo más mínimo..., pero a todos les será necesario un cierto dominio en la comprensión de órdenes escritas y una cierta fluidez en la utilización de conceptos básicos tan necesarios para su futura ocupación laboral como para su vida.

El niño dedica muy poco tiempo a la resolución de un problema. La dificultad no conlleva significativamente más tiempo de dedicación a resolverlo. En parte ello es consecuencia de la falta de hábitos en esforzarse por conseguir las propias metas. Es una obviedad, no sólo que no disfrutan ante los retos intelectuales sino, que no estan dispuestos a "malgastar" el tiempo pensando. Sería conveniente intentar romper este círculo vicioso y hacerles disfrutar de los resultados logrados a través del esfuerzo y dedicación.

El aprovechamiento de la actividad mental como elemento dinamizador de la práctica docente ha de tomar cuerpo a medida que el sistema educativo se generaliza a todos. Lo que servía en la secundaria pre-LOGSE: el BUP, voluntario y selectivo, deja de ser válido cuando en las aulas coexisten una disparidad de niveles académicos tal, que la mayoría de las veces imposibilitan la magistralidad del profesor. Dicha práctica ha de ser utilizada con menos frecuencia y ha de dar paso a otras formas de organización del aula, complementarias y alternativas a las existentes.

Ya son unos cuantos años los que, en la medida de nuestras posibilidades, llevamos poniendo en práctica estas reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas, tanto desde la faceta de profesor como desde la faceta de padre. El material que se ha ido construyendo poco a poco, por ensayo error, a lo largo de más de una década, con depuraciones sucesivas, puede ser ojeado.

PROBLEMAS

Problema 1
Comentar la siguientes expresiones:
Hesta frase tiene dos errores
Esta frase miente

Problema 2
Supongamos que tenemos un alambre que recorre a lo largo del ecuador de la tierra a ras del suelo. Supongamos ahora, que alargamos el alambre en 50 cm. y que tratamos de dar la vuelta (ahora la situción es que el alambre no toca la tierra)
La pregunta es esta: Pasará una pelota de tenis por debajo del alambre?
Problema planteado por mi colega J.G.Arrousi

Problema 3
Estos son problemas curiosos relacionados con los relojes analógicos:

1. Cuantas veces a lo largo del día, están sobrepuestas las dos agujas?
2. Cuantas veces a lo largo del día, sor las dos agujas "ortogonales" ?
3. Cuantas veces a lo largo del día, (en un reloj con segundero) las tres agujas, forman una T?

Problema 4
Esto es una historia entre dos gemelos idénticos. Tienen el mismo ADN, las mismas huellas dactilares, ... vamos, que es imposible mediante análisis saber quien es quien. Se llamaban Charles y Bob Driscoll. Se sabe a ciencia cierta que uno de los dos era un mentiroso (miente en el 100 % de sus oraciones) y el otro mentía a veces.

Charles era un poco torpe y en un atraco a un banco, perdió su DNI. La policía cogió a los dos gemelos y los llevó ante un juez (que era muy listo y sabía que un gemelo era siempre mentiroso y el otro a veces). Cogió a uno y:

- Es usted Charles ?
- No señor juez

Despues cogió al otro, le hizo la misma pregunta, y el juez supo quien era Charles.

Ahora pregunto yo: Quien era Charles (el primero o el segundo) y porque?

Problema 5
Este es un problema de otro juicio:

Un individuo es del pueblo X donde sus habitantes son del tipo F (mienten siempre) y del tipo V (siempre dicen la verdad). Está acusada de un delito y en su defensa solo puede pronunciar un enunciado. Despues de un rato dijo: la persona que realmente cometió el delito es del tipo F
Mejoró su situación? Lo liberaron?

Problema 6
Sabiendo que en Madrid hay mas habitantes que pelos en la cabeza de cualquiera de sus habitantes, podemos decir que hay al menos dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza?

Problema 7
Supongamos que en una actuación de un mago, extrae una carta de la baraja española (40 cartas). Pide al publico que escriba en un papel la carta que el cree que ha sacado el mago. Si en la sala hay 2000 personas podemos asegurar al 100% que alguna persona acertará la carta?

Problema 8
Donde está el error en esta demostración?

TODOS LOS PUNTOS DE Rⁿ ESTáN ALINEADOS

Por induccion sobre n, para n=1 y n=2 es evidente.
Para verlo para n+1, supongamos cierto para n. Retiramos un punto y metemos el nuevo.
Ahora por la hipótesis de inducción esos n ptos están alineados. El
 pto que esta
fuera esta alineado con (n-1) de los de dentro, por lo tanto cuando lo meta, estará alineado
con todos.

Problema 9
Hay una bolsa con 5 bolas rojas y 3 blancas. Cual es el número mínimo de extracciones que hay que realizar para sacar dos bolas del mismo color?

Hay una bolsa con 4 bolas rojas, 8 blancas y 2 negras. Cual es el número mínimo de extracciones que hay que realizar para sacar dos bolas del mismo color?

Hay una bolsa con 4 bolas rojas, 8 blancas, 1 negras y una azul. Cual es el número mínimo de extracciones que hay que realizar para sacar tres bolas del mismo color?

Problema 10
Poesía de John William Burgon:

Una ciudad roja y rosa
que el Tiempo dobla en edad.
Mil millones de años hace
que tenia la ciudad
dos quintos exactamente
de los que el tiempo tendrá
cuando hayan transcurrido
mil millones de años mas.
¿No sabría usted decirme
cual es su edad actual?

Entretenimientos

 JUEGOS MATEMÁTICOS.-

  En este apartado agrupamos una serie de ocurrencias y retos matemáticos. Esperamos que los encuentres entretenidos, interesantes, curiosos, ... y aunque alguno sea un poco difícil, confiamos en tu perseverancia.
  Aquí trataremos una serie de entretenimientos, retos y problemas curiosos que podrán ser resueltos con la ayuda de una sencilla calculadora de bolsillo. Son ocurrencias graciosas e ingeniosas que esperamos os hagan pasar un rato distraído.

Adivinanzas y figuras imposibles
  En este apartado te presentamos una serie de imágenes que contienen acertijos, adivinanzas, juegos, figuras imposibles, etc, que se han de solucionar.
  Están ordenadas, más o menos, por dificultad creciente. Algunas son fáciles y se resuelven pronto, pero otras no tanto. Espero que pases un rato divertido pensando como solucionar los retos que te propongo.
 

 
Juegos de Calculadora
  Ocho y ocho y ocho y ocho me dan ciento veinte.
  Parece imposible ¿verdad? Coloca los tres signos matemáticos que correspondan entre estos números gemelos y verás cumplirse la igualdad:   8   8   8   8   =   120

Siete seis que hacen un, dos, tres.
  Con tan solo siete 6 y tres operaciones se puede lograr verificar la siguiente igualdad:
6   6   6   6   6   6   6   =   123

Nueve cifras que hacen cien.
  Con las operaciones que tu mismo elijas, has de llegar al número 100 empleando las nueve cifras sin omitir ni repetir ninguna:   1   2   3   4   5   6   7   8   9

91, número mágico.
  Si multiplicas el número 91 por 1, por 2, por 3, y así sucesivamente hasta el 9, y colocas las respuestas en columna, obtienes unos resultados muy curiosos ¿no te parece?
 
El cuadrado mágico.
  El cuadrado mágico es una invención oriental, concretamente de la India y de la China, y sus orígenes se remontan a hace más de 30000 años.
  Dicho cuadrado no es más que una tabla con el mismo número de casillas verticales (columnas) que horizontales (líneas), y son calificados mágicos por las extrañas características y propiedades que poseen.
  Naturalmente, no todos los cuadrados mágicos son igual de difíciles. Su dificultad reside en el nº de casillas, así, cuantas más casillas tiene la figura, más complicada es.
  Aquí os presentamos un cuadrado mágico chino muy sencillo, con una antiguedad de 6000 años. Ya está resuelto. Como veis, el resultado de la suma de las líneas es el mismo que la de las diagonales y la de las columnas:
 
 

 
  Ahora te propongo otro cuadrado mágico creado por Alberto Durero y datado en 1514. Tu misión será completarlo de tal manera que la suma del cuadrado central sea la misma que la suma de las columnas, las líneas y las diagonales.
  Los números que se deben colocar van del 1 al 16, y en la parte inferior central figurará el año en que fue realizado el cuadrado. Además, la suma de columnas, líneas y cuadrado central es 34.
 

  Puedes darme tus opiniones o mandarme nuevos juegos a través mi buzón.

 SERIES NUMÉRICAS.-

  A continuación tienes una tabla con series numéricas a las que les falta varios elementos, señalados con un interrogante.
  Se trata de completarlos adivinando los números que faltan en cada una de la casillas libres.
  Obsérvalos bien y tómate un tiempo para pensarlo porque no salen a la primera.
 

HUMOR Y CHANZAS.-

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS  

 Plan de 1960. Un campesino vende una bolsa de patatas por 1000 pesetas. El costo es 4/5 del precio de venta. ¿Cuál ha sido su beneficio?
 Enseñanza tradicional, 1970. Un campesino vende una bolsa de patatas por 1000 pesetas. El costo es 4/5 del precio de venta, es decir, 800 pesetas. ¿Cuál ha sido su beneficio?
 Enseñanza moderna, 1970. Un campesino intercambia un conjunto P de patatas por un conjunto D de dinero. La cardinalidad del conjunto D es 1000, y cada elemento de D vale una unidad de pesetas. Dibuja 1000 puntos gordos representando los elementos de D. El conjunto C de los costes de producción esta formado por 200 puntos gordos menos que D. Representa C como un subconjunto de D y da la respuesta correcta a la pregunta: ¿cuál es la cardinalidad del conjunto de beneficios? (Haz todos los dibujos en rojo.)
 Enseñanza renovada, 1980. Un campesino vende un saco de patatas por 1000 pesetas. Sus costos de producción son 800 pesetas y su beneficio son 200 pesetas. Subraya la palabra "patatas" y discútela con tus compañeros.
 Enseñanza reformada, 1980. Un zerdo capitalista injustamente consige 200 pseta po una volsa de pattas Hannalica ete tecsto en fusca d'errrore contenido, grasmatika i puntuazion, y aluejo ekspresa tu punto de fista sobreste metod d'aserse rico.
 Enseñanza asistida por ordenador, 1990. Un productor del espacio agrícola en red de área global peticiona un data-bank conversacional que le displaya el day-rate de la patata. Después se baja un software computacional fiable y determina el cash-flow sobre pantalla de mapa de bits (bajo DOS, floppy y disco duro de 40 MB). Dibuja con el ratón el contorno integrado 3D del saco de
patatas. Después haz un log-in a la Red por 36.15 código BP (Blue Potatoe) y sigues las indicaciones del menú.
 Enseñanza futura, 2000. ¿Qué es un campesino?

PARIDAS MATEMÁTICAS

 ¿Por qué se suicidó el libro de mates? Porque tenía demasiados problemas.
 Dos vectores se encuentran y uno le dice al otro: ¿Tienes un momento?
 ¿Por que la gallina cruzó la banda de Moebius ? - Para ir al otro... esto... eh...
 ¿Cuántos lados tiene un círculo? Dos, el de dentro y el de fuera.
 ¿Qué le dice un superconductor a otro? - Leñe, tío, que frío, no resisto más.
 La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que te pases en la calle. Por tanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.
 El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguien que no había bebido. A la vista de esto, esta claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a toda pastilla.
 En Nueva York un hombre es atropellado cada diez minutos. El pobre tiene que estar hecho polvo.
 La tasa de natalidad es el doble que la tasa de mortalidad; por lo tanto, una de cada dos personas es inmortal.
 La inmensa mayoría de las personas tiene un numero de piernas superior al promedio.
 Todos los adictos a la heroína bebían leche de pequeños; por tanto, la leche es una droga iniciática.
 ¿Sabes que Aznar prometió antes de salir elegido que iba a subir todos los sueldos, de forma que nadie cobrase por debajo de la media nacional?
 Cientos de niños mueren de hambre durante una clase de matemáticas. ¡Estudia filosofía!
 En la inmensa mayoría de los accidentes de circulación, los coches involucrados llevan un conductor. Por lo tanto, la forma mas segura de viajar en coche es sin conductor.
 El 20 por ciento de las personas muere a causa del tabaco. Por lo tanto, el 80 por ciento de las personas muere por no fumar. Así que queda demostrado que no fumar es peor que fumar.
 El no tener hijos es hereditario; si tus padres no tuvieron ninguno, lo mas probable es que tu tampoco los tengas.
 ¿Oíste hablar de ese experimento que hicieron para ver si trabajar con ordenadores es malo para la salud? Metieron a tres ratas dentro de una jaula al lado de un ordenador, y lo dejaron encendido durante dos meses. - ¿Y las ratas se pusieron enfermas? - No, pero escribieron tres nuevas versiones mejoradas del UNIX.
 ¿Sabéis quien es la patrona de los informáticos? - Santa Tecla
 ¿Has oído hablar del nuevo Cray? Es tan rápido, tan rápido, tan rápido, que sale de un bucle infinito en seis segundos.
 No es cierto que los ordenadores y los humanos usen sistemas incompatibles para contar. Lo que pasa es que nadie se había dado cuenta de que los pulgares son bits de paridad.
 ¿Cual és la mejor forma de acelerar un Macintosh? -9.8 m/s^2
 ¿Sabes cuál es el virus mas extendido del mundo? El Sistema MS-DOS
 Eres más inútil que un teclado sin ENTER.
 ¿Qué le dice un mainframe a un PC? Tan pequeño y ya computas.

(c) Juan Antonio Cordero, 1996-2000