La
conjunción.- En la conjunción se denota por el símbolo ^ por ejemplo P ^ Q para
sacar la tabla de verdad P ^ Q
deben de ser ambas verdaderas para
que el resultado sea verdadero, si una de las dos es falsa entonces el resultado
será falso
Por
ejemplo:
P |
Q |
P ^ Q |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
Ejercicios:
P
q |
(P^Q) |
~(P^Q) |
P^Q |
~(P^Q)^(P^Q) |
V
V |
V |
F |
V |
F |
V
F |
F |
V |
F |
F |
F
V |
F |
V |
F |
F |
F
F |
F |
V |
F |
F |
2.- ~((P^Q)^((P^R)
P |
Q |
R |
P^Q |
P^R |
(P^Q)^(P^R) |
~((P^Q)^(P^R)) |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
F |
F |
V |
F |
V |
V |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
V |
Una
proposición o sentencia: es una notación o frase que se puede comprobar se es
falsa o verdadera
Por
ejemplo:
En una suma, resta,
división, o multiplicación que son ejemplos de operaciones
básicas
6+7=8 esta operación es
falsa
5*8=40 esta operación es
verdadera
También
decimos que una operación es equivalente si presenta el mismo
resultado
6+6=12
6*2=12
24/2=12
Una
proposición negativa escribe
~x y se lee “no p” y para sustraer
su valor podemos utilizar la tabla de verdad de negación.
Por
ejemplo
p |
q |
Pvq |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
f |
La
disyunción.-En la disyunción se usa el símbolo v por ejemplo pvq y se lee p o q
para saber la tabla de verdad p o q serán verdaderos si alguna de las dos es
verdadera solamente será falso cuando las dos sean
falso como se muestra en la siguiente tabla
Ejercicio:
(pvq) v (~pvq)
p |
q |
pvq |
pvq |
~(pvq) |
(pvq)v(~pvq) |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
V |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
V |
F |
V |
f |
F |
F |
F |
V |
V |
En
el siguiente ejercicio combinaremos la disyunción, conjunción y
negación:
((p^q)^ (~pvr))
v (qvr) v (pvq)
p |
q |
r |
P^q |
pvr |
(~pvr) |
(P^q)^(~pvr)) |
(qvr) |
(pvq) |
(qvr)v(pvq) |
((p^q)^(~pvr))v(qvr)v(pvq) |
V |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
V |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
V |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
F |
La
condicional.- En la condicional se utiliza el símbolo
.p
q para saber la tabla de verdad se debe de cumplir con las condiciones
que se presenten, se lee p entonces q
Ejercicio
Si utilizamos la siguiente
tabla de verdad escribir el enunciado correspondiente de acuerdo al enunciado
establecido.
“Si el ing. explica su
clase entonces yo estudio”
p |
q |
p
q |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
SOLUCION:
P= Se le llama hipótesis,
condición o antecedente.
Q= Se le llama conclusión
o consecuente
La
contrapuesta: La contrapuesta de p
Q es (~p )
( ~q) esto quiere decir que
p entonces q es igual a x y q p y
q entonces tiene el mismo
valor que p entonces q se dice que
es contrapuesta pero para lograr esto tenemos que negar q y p como se muestra a
continuación.
P Q (~Q)
(~P)
P |
Q
|
P
Q |
~Q |
~P |
~Q ~P |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
V |
V |
V |
Para
representar que es una contrapuesta se usa el símbolo
que es la bicondicional y se lee p si y solo si q
~ (P V Q) ~ ~(P Λ Q)
Ejercicio:
P |
Q |
P
v Q |
~ (p v q) |
~p |
~q |
~(pΛq) |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
F |
V |
V |
V |
V |
Tautológia.- se dice que una proposición es una tautología si siempre es verdadera o cuando son equivalentes se escribe con el signo . que se lee o puede ser definido como pyq son equivalentes y p q P bicondicional Q es una tautología.
La
contradicción es una proposición que siempre será falsa
Ejercicio:
(P^q)^
(~Pvq)
p |
q |
P^q |
pvq |
~pvq |
(p^q) ^ (~pvq) |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
V |
F |
Frase
abierta o función proposicional: Es una proposición que contiene una variable y
comillas (“) .
Por
ejemplo”y2 +3y +16=0”
La
colección de objetos pueden ser sustituidos por una variable en frase abierta y
se llama Conjunto de significado de
esa variable.
El
conjunto de verdad la frase abierta es una proposición verdadera en el conjunto
de verdad ya no se escribe la frase con (““).
Por
ejemplo:
Y2+3y+16=0
En
una frase universalmente cuantificada se dice que para todo x del conjunto p que
significa p (x) y se lee p de x es
verdadera
Se
usa el símbolo "
Por ejemplo
" x p (x)
No
es una frase abierta por que se puede determinar si es falsa o
verdadera
Frase
cuantificada existencialmente: Existe un x en el conjunto de significados para
el cual p de x , p(x) es verdadera esto quiere decir que al
sustituir un valor de x, p(x) sea
verdadera. Se usa el símbolo
$ se lee existe un
x
Por
ejemplo
$ X p(x)
Un
contraejemplo: En la proposición " xp(x) ya habíamos dicho que es verdadera
pero si le pone el elemento t,
p(t) esta será falsa.
Conjuntos:
Es una colección de objetos llamados elementos del
conjunto.
Por
ejemplo
A es un
conjunto
A es un
elemento de A
Y se
escribe
aÎA
Se lee “a es un
elemento de A”
En caso
contrario
bÏA
Se lee “b no es
un elemento de A”
En el conjunto
no importa el orden
A
B
Los
conjuntos A y B son iguales ya que tienen los mismos elementos A{a.b,c} B{c,b,a} no importa el orden.
Esto se escribe
A=B
Cuando los
conjuntos no son iguales se escribe A≠B
Y se lee A
desigual B.
Subconjuntos:
Como ya vimos A Y B son conjuntos y los elementos de A son iguales a los
elementos de B.
Se
escribe AÍ
B
Se lee A
subconjunto de B
En caso
contrario
A={1,2,3}
B={0,1,2,3,4,5}
B no es
subconjunto de A
Y se
escribe
BË
A
Porque los
elementos no son los mismos de A Y B
Vacío
o Nulo: El conjunto vació nulo no tiene elementos, este podría ser subconjunto
de todos los conjuntos
Se escribe:
×ÍA para A
×Í B Para B
Conjunto
potencia.- Lo definimos como conjunto potencia de A= conjunto B tal que B sea conjunto de A, esto se
representa de la sig. Manera
2a=
{B BÍ
A}
Operaciones
en conjuntos:
La
unión: La unión de conjuntos A Y B se denota por AÈ
B
Se lee A unión
B
Ejemplo:
AÈB={XçX Î A o X ÎB}
Se lee A unión
B es igual a conjunto de x tal que A o x tal que B
Ejemplo:
A{0,1,2,3,4,5}
Y B{2,3,5,9} entonces AÈB
={0,1,2,3,4,5,9}
Se ponen todos
los valores que aparezcan en A Y B ( no es necesario
repetir los valores)
En la
intersección A Y B Se dice que es
el conjunto AÇB={XçXÎA Y
XÎB}
Se lee A
inserción de B= conjunto de x de y
tal que A y tal que
B
E JEMPLO
A={0,1,2,3,4,5}
Y B { 2,3,5,9}
AÇB={2,3,5 }en este caso los valores que se toman como
resultado deben aparecer en ambos
conjuntos.
El
complemento de B con respecto A también es llamado complemento
relativo
A-B={XçX ÎA Y
XÏB}
EJEMPLO:
A={0,2,4,6,8,10} Y
B{0,1,2,3,4}
Para
saber los valores de A-B son los valores de A que no aparecen en B {6, 8,10}
Y B-A Son los valores que están en
B y no aparecen en A {1,3}
En
el producto cartesiano: Dado 2 conjuntos A Y B el producto cartesiano es A*B es
decir se conjugan los valores dados en A Y B en orden
Por
ejemplo:A{1,2,3,} Y b{5,6}
Solución
:
AX{(1,5),(2,5),(3,5),(1,6),(2,6),(3,6)}
Relaciones:
En las relaciones se relacionan el dominio y el contra dominio
Ejem.
dominio |
Contra dominio |
estudiante |
Curso |
Pedro |
Progre |
Juan |
Mate |
Maria |
Estr de datos |
carmen |
Leng. Y aut. |
Cuando
se relaciona con un solo contra dominio se dice que tiene “relación” pero cuando
tiene relación con dos elementos se llama “relación binaria”.
dominio |
contra dominio |
Pedro |
Progra |
Pedro Juan |
Mate |
Maria Carmen |
Est de datos |
Juan carmen |
Leng. Y aut. |
Solución:
Pedro® progra,
mate
Juan® mate, leng. Y
aut.
María® est. De
datos
Carmen®est. De datos,
leng. Y aut
El
diagrafo de una relación reflexiva tiene un lazo en cada
vértice.
R={{1,1}{1,2}{1,3}{1,4}{2,2}{2,3}{2,4}{3,3}{3,4}{4,4}}
En
simetría el diagrafo tiene relación asimétrica R= (b,c),(c,b) son simétricos.
3 1
Una
relación es antisimetrica cuando un solo arco es dirigido.
Una
relación se denomina de orden parcial si es reflexiva, antisimetrica y
transitiva
Y
de orden parcial estricto si no es reflexiva, antisimetrica y
transitiva.