INTRODUCCIÓN
Un conjunto es una colección de elementos llamados elementos del conjunto.
Si A es un conjunto y “a” es un elemento de A, se usa la notación aÎA (se lee “a” es un elemento de “A”).Se usa la notación bÏA cuando es necesario indicar que b no es elemento de A.
Si sabemos que
A contiene exactamente los elementos a1, a2,...,an, lo indicamos
escribiendo A={a1,a2,...,an
}.
Es conveniente considerar un conjunto especial q, llamado vació o nulo, el cual no contiene
elementos. El conjunto vació es subconjunto de todos los conjuntos: por lo cual
se puede decir que qÍA para todo conjunto A.
Se presentan conceptos asociados a la lógica
proposiconal, cuyos elementos fundamentales son sentencias, que pueden ser
evaluadas como falsas o verdaderas: se introduce el concepto de formula bien
formada y de su deducción a partir de expresiones en lenguaje natural, así como
la construcción de formulas en sus formas normales. También se muestra la forma
de construir circuitos lógicos equivalentes a formulas de la lógica
proposicional.
La lógica proposicional trabaja con sentencias
u oraciones a las cuales se les puede
asociar un valor de verdad(cierto o falso);estas sentencias se conocen como
sentencias declarativas o, simplemente, proposiciones. Existen proposiciones
que son simples, así como proposiciones que están construidas por atrás
proposiciones usando elementos (conectivas lógicas) que las asocian. Al
construir una proposición, se debe garantizar que esta puede ser evaluada
(formula bien formada): de la misma forma, podemos construir proposiciones
usando solo un grupo de conectivas, produciendo formulas que se dice están en su forma normal. Las
formas normales son importantes por el hecho que permiten definir esquemas
generales para el tratamiento de estas formulas (GSAT, por ejemplo)
Otro aspecto importante es el de determinar su
una proposición esta construido (o puede ser decidida) a partir de un conjunto
de proposiciones, es decir, si es una consecuencia lógica de dicho conjunto.
Finalmente existen varias formas de representar
una formula de la lógica proposicional: aquí se introduce el concepto de
circuito lógico, donde se asocia a las conectivas lógicas un símbolo grafico.
La lógica elemental se divide en:
Lógica de enunciados
Lógica de predicados
Ambas utilizan un lenguaje propio artificial o
formalización de un lenguaje natural que permite analizar las proposiciones del
lenguaje natural.
El cometido de la lógica clásica elemental es
determinar si nuestros razonamientos, independientemente, de su contenido, son
correctos o incorrectos.
Por razonamientos (o argumentos) se entiende un
conjunto de proposiciones, de tal manera que, una de las cuales, denominada
conclusión del razonamiento, pueda presentarse como consecuencia, de las demás
proposiciones, llamadas premisas del razonamiento.
En la lógica de enunciados, la unidad mínima es el enunciado, es decir, un segmento lingüístico que tiene sentido completo por si mismo:
Esta fiesta es muy divertida
Esta fiesta es muy divertida y la música muy buena.
Para que un enunciado sea tal tiene que poder
atribuírsele valores de verdad o falsedad.
En el caso de las dos oraciones anteriores, la
verdad o falsedad habrá de determinarse empíricamente, comprobando si, de
hecho, la fiesta es divertida y buena la música. En este caso, además, la
dificultad es aun mayor ya que se trata de una afirmación subjetiva.
La lógica de enunciados (o lógica
proposicional),trata del estudio de la composición de enunciados mediante
conectores(y, o ,si...entonces, etc.)y se fundamenta en el principio de
bivalencia, según el cual, todo enunciado es verdadero o falso, pero nunca
ambas cosas a la vez.
Podemos decir, por lo tanto, que la lógica de
enunciados se dedica a formalizar las proposiciones del lenguaje natural en un
lenguaje simbólico y a definir los conectores, estudiando las leyes de
combinación o deducción de los enunciados que las contienen.
En la lógica de predicados se formalizan y
estudian la oración atendiendo a los dos términos que la componen: sujeto y
predicado.
PROPOSICIONES
Es el efecto de proponer . Cosa que se propone
para la deliberación . Expresión verbal de un juicio.
Al escuchar algo como: la rosa es una flor o El
cocodrilo es un mamífero, fácilmente se puede determinar si estas sentencias
son ciertas o falsas: sin embargo, al escuchar
No seas flojo! O quien ganara las elecciones?, no es posible asociar a
ellas un valor de verdad. Sentencias como las primeras dos son los elementos fundamentales con los que
trabaja la lógica proposicional.
La lógica proposicional (o calculo proposicional) tiene el propósito de simbolizar cualquier tipo de razonamiento para su análisis y tratamiento. Específicamente, para simbolizar razonamiento, la lógica proposicional usa sentencias declarativas a las que se puede asociar un valor de verdad (cierto o falso);es decir usa proposiciones.
No existe una notación generalmente utilizada
para representar proposiciones, pero en este curso se identifica a cada una de
ellas con una letra mayúscula (o una
cadena de letras mayúsculas).
Ejemplo: P y Q son proposiciones:
P: la rosa es una flor
Q: el cocodrilo es un mamífero
La asociación de proposiciones produce otras
proposiciones conocidas como compuestas, pero lo que es posible diferenciar a
las proposiciones simples llamándolas
formulas atómicas o, simplemente átomos y a
las compuestas llamándolas formulas compuestas. Del ejemplo, P y Q son
átomos.
Un conjunto es una agrupación, clase o
colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos de
ae S representa
que el elemento a pertenece o esta contenido en el conjunto S o lo que es lo
mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S esta definido si
dado un objeto a se sabe con certeza que o a e
S o a S ( esto es, a no pertenece a S)
Un conjunto se representa frecuentemente con el
símbolo S={},
en donde las llaves engloban los elementos de S, ya sea de forma explicita,
escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una formula, regla o
proposición que los describa.
El concepto de conjunto es uno de los mas
fundamentales en matemáticas, incluso mas que la operación de contar, pues se
puede encontrar, implícita o explicita, los principios y terminología de los
conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas mas claras y
precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.
Un conjunto es una colección de elementos
podemos representarlo de manera finita o infinita.
Ejemplo: A={1,2,3,...}
A={Mat 1, Metodos, ...}Elementos
Si todo elemento de un conjunto R pertenece
también al conjunto S. R es un subconjunto de S y s es un súper conjunto de R .
Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de
todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a,b), donde a
pertenece a A y b pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B, que
se escribe normalmente A*B.