Sobre la validez del segundo postulado de la teoría especial de la relatividad

Autor: Lic. Luis Manuel García Morales

email: lago@ghost.matcom.uh.cu

          pedro@palma.pri.sld.cu

          palma@pinarte.cult.cu

Resumen

El artículo prueba que la velocidad de la luz en el vacío no es una constante y, como consecuencia de esto, la invalidez del segundo postulado de la teoría especial de la relatividad (TER). Se propone un nuevo postulado que conserva los resultados de la teoría actual y se obtienen nuevas consecuencias que permiten evaluarlo, una de estas, la existencia en el vacío de masa en reposo en el fotón, es comprobada por la teoría actual. Se extraen algunos resultados de este hecho.

Introducción

El postulado de la invarianza de la velocidad de la luz en el vacío inicialmente chocó con la representación clásica del espacio y del tiempo. La creación por Einstein de una teoría coincidente con la experiencia fundada en dicho postulado, y en el principio de relatividad especial (primer postulado), dio al traste con esta representación. Según (1) la invarianza de la velocidad de la luz en el vacío se basa en la ley de constancia de esta en el vacío (c) y en el principio de relatividad especial. No tenemos referencias que pongan en duda esta ley. Negarla es, por lo anterior, negar validez al segundo postulado. Esto es lo que nos proponemos, para lo cual, es importante precisar lo que se entiende en la TER por vacío.

Según (2) la velocidad de la luz depende del potencial gravitatorio a través de la expresión

L=c(1+Ø/c²)

después de realizar sustituciones; en la que se ve que alcanzará el valor que tiene en el vacío solo cuando el potencial gravitatorio (Ø) sea igual a cero; por esto, se entiende por vacío la región donde el potencial gravitatorio es cero (o despreciable respecto del cuadrado de c. Si no se pudiera considerar de este último modo, la velocidad de la luz no se tomara igual a c en la práctica, como se hacen en la TER en condiciones terrestres, sino que fuera L).

Refiriéndose a esta dependencia Einstein (3) asegura: “... la relatividad  especial no puede pretender un dominio de validez ilimitado (...) sus afirmaciones sólo son ciertas en tanto en cuanto se pueda prescindir del influjo de los campos gravitatorios en los fenómenos (por ejemplo, en los luminosos).”

Con frecuencia se afirma que la velocidad de la luz en un medio es menor que en el vacío (por este se entiende la ausencia de sustancia, no de campo); impropiamente, por lo anterior, pues si la influencia gravitacional en este medio es despreciable, como en el vacío, la velocidad de la luz se tomará igual a c en ambos, por la misma razón (Ø despreciable respecto del cuadrado de c), y serán iguales. Así, (4) afirma, interpretando la relación que se obtiene, en la expresión de los potenciales, para la velocidad de la luz en  los medios, en el caso de un dieléctrico paramagnético homogéneo, en condiciones terrestres (Ø/c²»0), que, “las acciones electromagnéticas se propagan con la velocidad c tanto en el vacío como en un medio cualquiera”; pero que en un medio “ la única velocidad que podemos medir es v”, aun cuando la verdadera sea c, que las observaciones “no permiten descubrirla”. De este modo cuando se asevera que la velocidad de la luz en un medio es menor que en el vacío, se debe entender esto de la que se mide, pues en realidad se está moviendo con velocidad igual a c en él. (De no ser así, sería fácil probar que el fotón tendría masa en reposo diferente de cero en este medio¹).

Pero debe ser así, si la TER ha de ser coherente consigo misma, pues cuando se consideran las leyes físicas en los medios, el principio de relatividad especial exige que sean invariantes ante las transformadas de Lorentz que suponen la invarianza de c, que deben suponer la invarianza de c en ese medio, y por esto, su constancia e igualdad a c en cualquier sistema de referencia inercial de ese medio.

Esto dice la teoría².

Por todo lo anteriormente expuesto, si en un caso se demuestra que realmente la velocidad del fotón es menor que c en un medio en que se desprecia el influjo gravitacional, queda probado que no es cierta la ley de constancia e igualdad a c de la velocidad de la luz en el vacío, por lo cual, no se puede afirmar, apoyándose en el principio de relatividad especial, que sea la misma en todo sistema de referencia inercial en el vacío, negándose la validez del segundo postulado.

Problema

Teniendo en cuenta lo expresado, planteemos el siguiente problema. Si la teoría actual admite que en la Tierra el influjo gravitacional sobre la velocidad de la luz es despreciable, ¿cómo es posible el efecto Cherenkov en esta (contador Cherenkov en la superficie terrestre [Ø/c²»0]) que la supone inferior a c?

Según (5) este efecto ocurrirá cuando la luz no pueda alcanzar a la partícula cargada que atraviesa el medio polarizado por esta, cuando la velocidad de la luz³ sea menor que la de la partícula en el medio. ¿Es posible esto

 

 

Según lo expuesto en la introducción, la luz se mueve con la velocidad c en este medio (contador Cherenkov en la superficie terrestre [Ø/c²»0] ); luego, no es posible el efecto Cherenkov que supone una velocidad menor: pero esta conclusión tiene en contra a la experiencia. Hay que admitir, si se lo explica por una diferencia de las velocidades, que la velocidad de la luz es menor que c en un medio en el cual se desprecia el influjo gravitacional, es decir, en el vacío; si no, suponiendo que en él su velocidad es igual a c, ¿cómo se lo explicaría?

 


¹ Evaluando en el radical de la expresión de masa relativista para una v menor que c, y multiplicándolo por esta, obtendríamos una masa en reposo diferente de cero, pues, en este caso, ambos factores serían diferentes de cero.

² Decimos “esto dice la teoría”, porque la afirmación de que la velocidad de la luz en los medios (con Ø/c²»0 ) es igual a c, no es resultado directo de las mediciones (ni de la teoría electromagnética de Maxwell). Estas, con independencia de su interpretación, dan valores inferiores a c, según (4).

³ Levich se refiere a la velocidad de fase como si esta transportara la energía. En realidad, la velocidad de grupo es la que la transporta, menor en este caso que la de fase, pues, para el espectro de frecuencias en que se emite, existe dispersión normal (6). Ambas velocidades serán menores que la de la partícula, y, prácticamente iguales entre sí, si la dispersión es pequeña.

 

Se podría interpretar para esto la velocidad de grupo, cuando se la mide, como el promedio de las velocidades medias de los fotones que atraviesan el medio con velocidad constante e igual a c, de este modo, siendo esta velocidad media (promedio de velocidades medias) menor que la de la partícula, esta no será alcanzada en su movimiento, siendo posible, en estas condiciones, el efecto Cherenkov. Pero esta interpretación tiene un inconveniente, al suponer algo irrealizable: una partícula neutra no puede tener velocidad media menor que una partícula cargada si se mueve a mayor velocidad que esta. Así, los fotones moviéndose a c y teniendo un número de interacciones con el medio mucho menor que la partícula cargada, tendrán una velocidad media mayor que esta y podrían alcanzarla siempre; luego, no existirá efecto Cherenkov; pero, como hemos visto, la experiencia se opone a esta conclusión, por esto, si consideramos aceptada esta interpretación, hay que admitir que la velocidad media de los fotones (y por tanto, el promedio de estas) es menor que la de la partícula cargada, y esto solo es posible, aun si tenemos en cuenta la absorción (despreciable en la región de dispersión normal), si la velocidad instantánea de estos v es menor que la de la partícula, es decir, menor que c en este medio (contador Cherenkov en la superficie terrestre). Así, para cada velocidad de grupo, en esta interpretación, existirá una velocidad diferente, en cada caso, para los fotones, por lo que no solo será menor que c, sino que tampoco será constante. 

Esto dice la experiencia 4 .

Hemos comprobado que en el vacío, en el caso del efecto Cherenkov, la velocidad de la luz (de los fotones) no es una constante igual a c, luego, no siendo una ley de la naturaleza esta constancia e igualdad a c, no se puede concluir, apoyándose en el principio de relatividad especial, que sea la misma en cualquier sistema de referencia inercial en el vacío, demostrándose la invalidez del segundo postulado.

No existe dificultad en esto, pues formalmente es posible de un fundamento falso sacar consecuencias verdaderas, y este puede ser un caso, vemos ahora que lo es; pero como pueden sacarse también consecuencias falsas, surge el problema de cómo dotar a la teoría de un fundamento que no presente esta dificultad.


4 Solo nos referimos a la experiencia, sin mencionar la teoría, porque es conocido que de las ecuaciones de Maxwell se deduce, en correspondencia con la experiencia, y con independencia de su interpretación, que la luz se propaga en los medios con velocidades diferentes de c (7), siendo el potencial gravitatorio despreciable.

 

Nuevo postulado

Proponemos un nuevo postulado, que debe dar, en el espectro de velocidades experimentado hasta hoy, guiándonos por el principio de correspondencia, valores, para las nuevas expresiones que se deduzcan, que estén dentro del error experimental hallado para ellas en la teoría actual. Postulamos la existencia de una velocidad límite mayor que c que cumpla con lo anterior. Con esto bastará cambiar, en las expresiones actuales, una velocidad por otra para obtener las nuevas expresiones, conservando, de esta forma, el formalismo matemático de la TER; así, en las transformadas de Lorentz donde antes aparecía c aparecerá ahora  y las leyes de la física deberán ser invariantes ante estas nuevas transformadas; esto supone transformarlas de tal manera que se conserven inalterables, esta transformación implicará descubrir nuevas leyes, consecuencias estas que permitirán enjuiciar el nuevo postulado. 

Este postulado tiene a su favor la base experimental con que cuenta el actual; pues, según su formulación es tal que las expresiones que la contienen dan valores dentro del error experimental hallado para ellas a partir de c en el espectro develocidades experimentado hasta hoy en la teoría actual. Se logra esto si suponemos que está contenida en el intervalo (c-c,c+c] siendo mayor que c. De este modo resulta una teoría que, evaluando sus expresiones con el error experimental de la teoría actual, conserva sus resultados, trayendo nuevas consecuencias que, junto con aquellas que les son comunes, permiten comprobar su validez.

 

Algunas consecuencias del nuevo postulado

De las nuevas expresiones para la velocidad, la masa, la energía y el momentum, que contienen la velocidad límite (sustituyendo c por ) , se deducen las siguientes consecuencias:

  1. Cualquier partícula puede alcanzar y superar la velocidad de la luz en el vacío sin que la masa, la energía y el momentum diverjan.

    Esto se deduce de las nuevas expresiones para la masa, la energía y el momentum.

  2. Para velocidades próximas o iguales a c, la masa, la energía y el momentum no tienden a infinito; sino para velocidades cercanas a .

    Esto se deduce también de las nuevas expresiones, las que deben sustituir, para velocidades cercanas a c´, a las actuales. Esta predicción supone que para velocidades muy próximas a c la expresión actual de masa relativista da valores que tienden a infinito en desacuerdo con la experiencia (lo mismo ocurre para la energía y el momentum), de manera que su utilización como dato de un problema arroje, en su solución, desproporciones con la experiencia que solo se eviten, o superen, tomando un valor para esta inferior (lo mismo para la energía y el momentum), este valor será el que utilizaremos para, conocida la masa en reposo y la velocidad de la partícula en cuestión, y empleando la expresión de masas relativista propuesta, determinar el valor de c´. Otras experiencias podrán evaluar los nuevos valores de masa propuestos a partir de (lo mismo para la energía y el momentum), permitiendo justificar la determinación de por este método.

  3. De la anterior predicción se deduce que los valores clásicos para la masa, la energía y el momentum, de cualquier partícula, cuando su velocidad sea muy cercana a c, corresponderán mejor con la experiencia que los predichos por la teoría actual, al ser usados como datos de un problema, pues, no tienden a infinito.

  4. El foton tiene masa en reposo diferente de cero en el vacio. 

    Para ver esto basta despejar la masa en reposo en la nueva expresión de masa relativista,

    y se comprobará que, aun para v  igual a c, es diferente de cero.

    La predicción anterior puede ser comprobada por la teoría actual.

    Habíamos visto que el fotón se puede mover a una velocidad inferior a c (menor que L) en un medio en el que era despreciable el potencial respecto del cuadrado de c (vacío); en dicho caso, si en el radical de la expresión de masa relativista de la teoría actual evaluamos para esta velocidad, y lo multiplicamos por esta masa, despejando la masa en reposo, como este producto da diferente de cero, esta será un número diferente de cero; así, esta consecuencia del nuevo postulado, queda comprobada, en cuanto a la existencia en el vacío de masa en reposo en el fotón, por la teoría actual.        Decimos “en cuanto a la existencia de masa en reposo en el fotón”, sin mencionar su valor, pues esta expresión, consecuencia en parte, del postulado que se discute, por el principio de correspondencia debe ser un caso particular, aproximado, de otra expresión más precisa, que debe dar un valor más exacto de la masa en reposo. No obstante, el valor que arroja, para la velocidad supuesta en cada fotón, menor que la de la partícula cargada, en el caso del efecto Cherenkov, es aceptable, pues para velocidades mayores lo es, como es el caso de la partícula mencionada, al determinar su masa de movimiento después de encontrada su velocidad por el método empleado en los contadores Cherenkov. Si contáramos con el valor de velocidad de cada fotón, y su masa en movimiento, podríamos reportar este valor de masa en reposo, pero la forma más precisa de obtenerla es calcularla empleando el valor de c'  hallado por el procedimiento indicado anteriormente y la nueva expresión de masa relativista.

      De este resultado, y de las nuevas expresiones, se desprenden varias consecuencias más:

  5. Debido a la existencia en el vacío de masa en reposo en el fotón, las expresiones de la teoría actual para la masa, la energía y el momentum, divergen, si v     es igual a c (al probar que en el vacío la velocidad del fotón podía ser menor que c, probamos solo que no era constantemente igual a c).    Para comprobar esto bastará considerar en dichas expresiones v  igual a c y la masa en reposo del fotón diferente de cero. Se nos podría objetar, con razón, que solo hemos probado que en el vacío, y para una velocidad inferior a c, el fotón tiene masa en reposo, pero no para v  igual a c.  

    Que el fotón tenga masa en reposo para una velocidad inferior a c, significa que en un sistema de referencia moviéndose a esta velocidad se encontrará en reposo. ¿Lo estará para v igual c y, por esto, tendrá masa en reposo? Para esto es necesario que dicho sistema se mueva con la velocidad c, ¿es posible esto?

    Habiendo probado que la velocidad c no es un invariante, el fotón podrá tener este valor en un sistema de referencia y otro, mayor o menor, en otro; así, c no será la velocidad límite (prohibida), y no existe inconveniente, por esto, para un sistema de referencia en tener este valor; luego, el fotón podrá estar en reposo en este sistema de referencia, aun si se mueve a c, y tendrá, para esta velocidad, masa en reposo, teniendo lugar la divergencia señalada.

    Esta contradicción de la teoría actual con la experiencia es suficiente para dudar de sus fundamentos, para proponer otros que la solucionen. Habiendo comprobado la invalidez del segundo postulado, y no teniendo razones para dudar del primero, hemos propuesto un nuevo postulado que resuelve la divergencia mencionada a partir de las nuevas expresiones que se deducen, pues estas dan valores finitos de sus magnitudes para v igual c.

    Este resultado justifica la propuesta de una velocidad límite c en sustitución de c.

  6. El fotón puede tener velocidades menores, iguales y superiores a c, pero menores que c  pues esta es la velocidad prohibida.

    Esto se deduce de las nuevas expresiones de masa relativista, energía y momentum con c

  7. velocidad de la  luz en el vacío sí depende del movimiento de la fuente.

    No siendo una ley de la naturaleza, como hemos comprobado, la constancia e igualdad a c  de la velocidad de la luz en el vacío, no se viola el primer postulado al afirmar que sí depende del movimiento de la fuente. Que varía, para cualquier velocidad del fotón, incluso para c, se puede comprobar empleando la nueva expresión para la composición de velocidades con c´. En realidad, las experiencias que se han realizado, con el espectro de frecuencias investigado, para comprobar la invarianza de c, no lo han logrado, solo se ha obtenido el intervalo en que esta velocidad puede encontrarse; nosotros afirmamos que dicha variación se encuentra en el intervalo correspondiente al error de la medición: de la nueva expresión de composición de velocidades con se deduce por qué el experimento no ha detectado este cambio, pues, evaluando esta expresión para c, dará un valor mayor que c  y  menor que c´(c´ es la límite), cuando el fotón se mueva en el sentido positivo, y como se encuentra en el intervalo del error de la medición de c, el valor calculado, diferente de c, estará también dentro de dicho intervalo por estar entre c y c´.

    En general se puede demostrar que siempre es así, si elegimos una conveniente; la validez de esta elección se evalúa a través de las consecuencias que se enumeran.

  8. Según (8) no es posible definir una función de onda para el fotón, pues, en este, existe siempre un error mínimo insuperable en la medición de sus coordenadas; luego, no es posible definir su posición con absoluta precisión, por ello, pierde sentido dicha función tal como se la define para la posición en la Mecánica cuántica no relativista; pero, si tenemos en cuenta el resultado obtenido, sí es posible definirla, pues al igual de las demás partículas con masa en reposo, el fotón tendrá un amplio espectro de velocidades (no solo c) que permite considerarlo clásico en el mismo sentido que a estas (la indeterminación del momentum puede ser infinita), y definir dicha función tal como se hace para ellas en la Mecánica cuántica no relativista.

  9. Para un solo valor de velocidad, el fotón tiene un solo valor de masa, energía y momentum; en particular, para v igual a c, existe para este un único valor de estas magnitudes, no un espectro como en la teoría actual (para dicho espectro deben existir variaciones muy pequeñas de la velocidad no apreciadas en la práctica y contenidas en el error de la medición de c).

    Esto se deduce de las nuevas expresiones para dichas magnitudes evaluándolas para  v igual a c

  10. Es posible definir un spin, como momento de la partícula en reposo, para el fotón, no convencional, como se dice en (9), pues al tener masa en reposo, este se puede referir a un sistema de referencia propio. Esta posibilidad de adjudicar al fotón spin propio, no convencional, además de masa en reposo, lo convierte en una partícula como las demás, eliminando la asimetría que existía en la dualidad onda-partícula en el fotón respecto de las demás partículas.

  11. Así como existen una Mecánica clásica y relativista para las partículas que tienen masa en reposo diferente de cero, existen, por la misma razón, y son las mismas, para el fotón. Que existan para el fotón, se fundamenta en que este tiene las mismas propiedades corpusculares que permiten definirlas para las demás partículas.

  12. A la emisión de un número infinito de fotones blandos, en la colisión entre dos partículas cargadas, se llama, según (10), catástrofe en el infrarrojo; esto es debido a que la masa en reposo del fotón se considera igual a cero. Según lo demostrado aquí, no es real esta emision.

  13. Al admitir masa en reposo en el fotón, se hace posible concebirlo, como supone De Broglie en su hipótesis del semifotón (11), una partícula compuesta. No es posible concebir al fotón con masa en reposo igual a cero y moviéndose a c, compuesto: las partículas componentes tendrían masa en reposo igual a cero y se moverían con la velocidad c entre sí.

  14. El alcance de la interacción electromagnética es finito, no ilimitado, como en la Electrodinámica cuántica , pues la masa en reposo del fotón es diferente de cero. Esto se deduce de la expresión que relaciona el alcance de la interacción con la masa de la partícula o con la energía. Se desprende entonces que, a partir de cierto alcance, las partículas no interactúan, ni se atraen ni se repelen, es decir, obedecen a un potencial del tipo de Yukawa. Se deduce que la Electrodinámica cuántica , que supone alcance ilimitado, por admitir masa en reposo en el fotón igual a cero, es un caso particular de una teoría más general para cuando esta masa es diferente de cero y alcance finito. También la teoría de Maxwell, que supone alcance ilimitado, es un caso particular, para las condiciones en que se aplica (condiciones no cuánticas), de dicha teoría general.

  15. La introducción de unas nuevas transformadas con c´ implica que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes. Esta es otra razón para creer que deben ser transformadas, o crearse otras en su lugar, teniendo en cuenta que la masa en reposo del fotón es diferente de cero, de manera que las que resulten sean invariantes; estas nuevas ecuaciones, que deben reducirse a las de Maxwell cuando la masa en reposo del fotón se considere nula, en condiciones no cuánticas, son otras consecuencias a tener en cuenta para evaluar el postulado propuesto.

  16. Si se tiene en cuenta la cantidad de fotones en la metagalaxia, puede que la densidad media de la masa en ella sea superior a la crítica, debido a esto, el modelo de un universo finito se impondría sobre el que lo considera infinito.

Esto es válido para el modelo de universo isótropo y homogéneo.

Con esto la objeción, fundada en la ley de Hubble, de que para distancias suficientemente grandes, la velocidad de las galaxias se hiciera mayor que la límite, pudiera carecer de base; pues, al ser el universo finito, se impone el modelo de la expansión-contracción, y esto no ocurriría.

Estas consecuencias ofrecen un amplio margen a la comprobación del nuevo postulado, así como de la teoría de que forma parte, que coincide, al suponerse que c´ se encuentra en el intervalo (c-c,c+c]

 

Conclusiones

Hemos probado que no es cierta la ley de constancia e igualdad a c de la velocidad de la luz en el vacío, de aquí que se haya negado la validez del segundo postulado, y justificado la introducción de uno nuevo que conserva los resultados de la teoría actual, al cual, a través de un conjunto de consecuencias, es posible enjuiciarlo; una de estas es comprobada por la teoría mencionada (la existencia de masa en reposo en el fotón en el vacío), presentando esta dificultades con la experiencia si v es igual a c, dificultad (divergencia) que es resuelta en las nuevas expresiones para la masa, la energía y el momentum, lo que valida la propuesta de una velocidad límite c´ mayor que c, es decir, las expresiones de la teoría actual entran en contradicción con la experiencia si v es igual a c, pues divergen al tener en cuenta la masa en reposo del fotón, mientras las propuestas resuelven esta contradiccion (divergencia) conservando todos los resultados comprobados de la teoría actual 5.

Con todo, no se ha creado una nueva TER, solo se introduce una variación cuantitativa entre una y otra, pero conceptualmente sigue siendo la misma teoría del espacio-tiempo de Einstein. Sí hay una variación en la concepción ondulatoria-corpuscular de la luz, al presentarse a esta con las mismas propiedades corpusculares de las demás partículas, completándose, así, la simetría onda-partícula para todas las partículas. A este aumento de simetría corresponden, como hemos expresado, una Mecánica, Electrodinámica y Mecánica cuántica no relativista para el fotón, que deben ser invariantes, al igual que las demás partes de la física, respecto de las nuevas transformadas de Lorentz.

Queda un problema por plantear, ¿es la velocidad límite c´una velocidad que la naturaleza niega a toda partícula o existe alguna que se mueva con esta velocidad prohibida para las demás?

Procuraremos dar respuesta a esta interrogante en un próximo artículo.

 


  5 Es oportuno señalar que si bien se elimina la divergencia mencionada, no podemos afirmar aún que se obtienen los    valores experimentales de masa, energía y momentum del fotón, pues, para esto, es necesario conocer el valor de su masa en reposo y el de c. Una vez hallados estos, por los procedimientos señalados, se sabrá si reflejan los valores experimentales o no. Sí podemos afirmar que, tomando el valor de c en el intervalo que hemos indicado, las nuevas expresiones coinciden con los datos experimentales en el espectro de velocidades investigado para las demás partículas.

 

 

 

 

Bibliografía

1-     Albert Einstein

El significado de la relatividad

            Editorial ESPASA-CALPE Argentina, S.A.

            Buenos Aires-México, 1948, pág. 39

2-     Albert Einstein

El significado de la relatividad

            Editorial ESPASA-CALPE Argentina, S.A.

            Buenos Aires-México, 1948, pág. 117

3-     Albert Einstein

La teoría de la relatividad al alcance de todos

Editorial ALDA, Buenos Aires, 1946, págs. 75 y 99

4-     Leigh Page Ph. D. (Traducción Marcelo Alonso)

Tratado de física teórica

Editorial Cultural, S.A., Habana, Cuba, pág. 619

5-     B.G. Levich

Curso de física teórica. Vol II

Física estadística. Procesos electromagnéticos en la materia

Editorial Reverté, S.A.

Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-Caracas-México, pág. 565

6-     John David Jackson

Classical electrodynamics

Edic Revol, Instituto del Libro, Cuba

Cuarta edición 1965, págs. 499 y 211

7-     John David Jackson

Classical electrodynamics

Edic Revol, Instituto del Libro, Cuba

Cuarta edición 1965, pág. 203

8-     L. Landau

Curso abreviado de física teórica. Libro 2

Mecánica cuántica

Editorial Mir, Moscú, Tercera edición, pág. 253

9-     L. Landau

Curso abreviado de física teórica. Libro 2

Mecánica cuántica

Editorial Mir, Moscú, Tercera edición, pág. 555

 

10- L. Landau

Curso abreviado de física teórica. Libro 2

Mecánica cuántica

Editorial Mir, Moscú, Tercera edición, pág. 315

11- Luis de Broglie

Materia y luz

Editorial ESPASA-CALPE Argentina, S.A.

Buenos Aires-México, Tercera edición, pág. 167

 

 

 

 

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