FACEV - Faculdade de Ciências Econômicas de Vitória

Introdução à Estatística Econômica - 2º ano

Prof. Paulo Cézar Ribeiro da Silva

Eventos Independentes

Quando a realização ou não realização de um dos eventos nã afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado ?

Assim, sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula:

P1 = P(4 dado1) = 1/6      P2 = P(3 dado2) = 1/6    

P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?

Os dois eventos são mutuamente exclusivos então:   P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Obs: Na probabilidade da união de dois eventos A e B, quando há elementos comuns, devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B (elementos de A n B ) para não serem computadas duas vezes. Assim P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS ?

P(ÁS U Copas) = P(ÁS) + P(Copas) - P(ÁS n Copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52

Probabilidade Condicional

Se  A  e  B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer , depois de A ter acontecido é definida por : P (B/A), ou seja, é chamada probabilidade condicional de B. Neste caso os eventos são dependentes e definidos pela fórmula:

Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ?

P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 %

P(Copas1) = 13/52

P(Copas2/Copas1) = 12/51

Obs: No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente. O resultado seria:

P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 %

Carta pretas = 26

Páus = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei)

Espadas = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei)

Cartas vermelhas = 26

Ouros = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei)

Copas = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei)

1- Qual a probabilidade de sair o ÁS de ouros quando retiramos 1 carta de um baralho de 52 cartas ?

2- Qual a probabilidade de sair o um REI quando retiramos 1 carta de um baralho de 52 cartas ?

3- Em um lote de 12 peças, 4 sã defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa. b) a probabilidade de essa peça nã ser defeituosa.

4- De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um REI e a do segundo ser o 5 de paus ?

5- Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 nolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da 1ª , 2ª e 3ª urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde ?

6- De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ÁS de paus e a segunda ser o REI de paus ?

7- Qual a probabilidade de sair uma figura (rei ou dama ou valete) quando retiramos uma carta de um baralho de 52 carta ?

8- São dados dois baralhos de 52 cartas.Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma DAMA e um REI, não necessariamente nessa ordem ?

9- Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ou ESPADAS ?

10- Duas bolas são retiradas (sem reposição) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta ?

11- Duas bolas são retiradas (com reposição) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta ?

12- Duas bolas são retiradas (sem reposição) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas e 5 bolas verdes. a)Qual a probabilidade de que ambas sejam verdes ? b) Qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor ?