Dividiendo cuaternios

División

Continuando con la línea de la descripción algebraica de cuaternios, el siguiente paso sería la división. Además, es imposible no considerarla, pues de lo contrario los complejos y los reales dejarían de ser su subconjunto.

En el álgebra vectorial, la división no está definida, esto se debe a que algunas veces el resultado podría ser escalar y otras un vector.

Además, hay otro problema. Dado que la división es el inverso a la multiplicación, en el caso vectorial, ¿cuál es el producto que debemos de usar? ¿El producto punto o el producto cruz?

Imaginemos que pudiésemos definir una división opuesta al cruz, y otra al producto punto.

Tomando al producto cruz, analicemos el caso de dividir k/j, supongamos que V es un número (no sabemos de qué clase), tal que jV = 1. Entonces, tendríamos que la igualdad ij = k, puede convertirse en ijV = kV, donde kV por definición es k/j. De aquí que con esta definición k/j = i.

Por otro lado apliquemos exactamente la misma idea a la igualdad 2(3i) = 6i, de aquí se desprendería que 6i/3i = 2

Por lo tanto, la división de dos vectores no cumple con la propiedad de cerradura, pero este problema se complica aún más si empleamos al producto punto:

ii = 1 nos lleva a que 1/i = i, pero ij = 0 nos lleva a que 0/j = i. Esto es mucho peor que el producto cruz, pues de emplear estas definiciones, las divisiones vectoriales estarían plagadas de contradicciones como que 1/0 = 0, o que 0 por 0 = 1.

Por lo tanto, la división no puede ser la operación inversa a ningún producto parcial (como el cruz o el punto), sino a un producto completo como el grassmaniano. Definimos entonces la división de Grassman como la operación inversa al producto de Grassman, y la simbolizamos como un cociente normal.

En este caso, decimos simplemente que un cuaternio dividido entre otro cuaternio nos da como resultado bajo cualquier circunstancia un tercer cuaternio (exceputuando si el dividendo es 0).

Lo primero que se necesita es el concepto de inverso multiplicativo.

Inverso multiplicativo de un cuaternio

Sea A un cuaternio cualquiera diferente de 0, entonces el inverso multiplicativo de A, simbolizado como , es un número tal que .

Además, tenemos que la división debe cumplir con este principio, para incluír a los números reales y a los complejos: "Todo cuaternio diferente de 0, dividido entre sí mismo, da como resultado 1".

Nótese que el producto A(1/A) = (1/A)A = 1, y esto no es problema a pesar de la anticonmutatividad, pues los cuaternios sí son conmutativos con los reales, o cuando el resultado del producto en cualquier orden es real. Esto quedará más claro al plantear la fórmula para el inverso.

Recordemos la forma de obtener el inverso de un número complejo cualquiera, digamos a + bi. Si multiplicamos ambos miembros del cociente por el conjugado, tenemos:

Todo cuaternio puede expresarse con la forma w + sû, donde û es una unidad imaginaria arbitraria que en principio debe comportarse exactamente igual a cualquier otra. Por lo tanto, podemos repetir el truco anterior para obtener el inverso de un cuaternio, digamos que buscamos 1/Q, donde Q = w + xi + yj + zk:

Aunque multiplicamos por la derecha, el resultado no cambia si lo hubiéramos hecho por la izquierda, pues en el denominador, un multiplicando es 1, y los cuaternios son conmutativos con los reales. En el denominador, sabemos que el producto de un número por su conjugado nos da un resultado independiente del orden: (Q*)(Q) = (Q)(Q*) = |Q|^2

Entonces podemos reexpresar lo anterior de la siguiente manera:

Ya acostumbrados a trabajar con álgebra vectorial, tendríamos que buscamos 1/Q, dado que Q = (w, V):

Por último, el inverso multiplicativo de un vector sería:

Sin embargo, aunque el inverso del vector sería otro vector, sólo anula a la multiplicación si consideramos la parte real que se genera durante el producto. Por lo tanto, forzosamente necesitamos que exista en el espacio R⁴. Sin embargo, el concepto de inverso es útil al analizar rotaciones.

División completa de Grassman

No tenemos ningún problema para asegurar que A/A = 1 para cualquier número diferente de 0, pero dado que los cuaternios en general no son conmutativos, tenemos dos opciones para definir A/B:

Por lo cual, para evitar ambigüedades, se define simplemente que:

Entonces, hay que tener cuidado al momento de despejar ecuaciones cuaterniónicas. Supongamos que partimos de una ecuación como C = AB, y queremos despejar tanto a A como a B.

Pudimos estar tentados a despejar a B = C/A, pero eso no es correcto. Debido a la no conmutatividad de los cuaternios, ocurre que:

Entonces, debemos recordar que: "Dividir entre un cuaternio es la operación inversa a multiplicar por la derecha".

Este es un ejemplo de división:

Por último, es importante notar algo interesante. 1/i = -i, entonces según el principio de que las unidades imaginarias son idénticas con respecto a los reales, se desprende que 1/û = -û para toda unidad imaginaria.

Entonces, el inverso multiplicativo de cualquier número imaginario puro sû, es simplemente -û(1/s), donde s desde luego, es real.

Divisiones parciales de Grassman

Así como en el producto de Grassman, distinguíamos una parte simétrica y una antisimétrica, también en la división existen estos conceptos. Sin embargo, dado que ya se escribió la deducción de estos componentes al hablar del producto, vayamos directamente a la definición:

División simétrica de Grassman:
Es simplemente el producto interno de Grassman del primer cuaternio y el inverso multiplicativo del segundo. Es decir:

División antisimétrica de Grassman:
Es el producto externo de Grassman del primer cuaternio y el inverso multiplicativo del segundo:

Por supuesto, debe cumplirse que:

Divisiones total y parciales de Euclides

Así como existe la operación inversa al producto grassmaniano, existe también el inverso del producto euclídeo, y es la división Euclidiana. Se escribe como A\B, y emplea el mismo concepto de inverso multiplicativo:

Así mismo, tiene su simétrico y su antisimétrico.