Historia de los cuaternios
¿De dónde salieron?
Los números cuaternios tienen sus raíces en el álgebra de números complejos, puesto que son una complicación de éstos, por lo tanto son llamados hipercomplejos o números de complejidad 2.
Brahmagupta desde el siglo VII escribió varios tratados sobre aritmética en los que define al número 0, y operaciones en que se involucran conceptos como que cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0; describió a los números negativos como parte funcional de la aritmética y elaboró algoritmos para encontrar raíces cuadradas y resolver ecuaciones cuadráticas. Su algoritmo contempla la posibilidad de que algunas soluciones incluyan raíces de números negativos.
Durante el siglo XVI, debido a la necesidad de encontrar métodos eficientes para resolver ecuaciones polinomiales, se volvió más común el emplear raíces de números negativos como parte del método de solución, aunque los matemáticos las consideraban como un mero instrumento, sin valor real como resultado final. Bombelli empleó por primera vez la conjugación (consiste en cambiarle el signo a la parte imaginaria de un número complejo), como una parte integral de resolver ecuaciones polinomiales.
Albert Girard, publicó en 1629 un libro titulado Invention nouvelle en l'algebre, en el cual analiza las relaciones entre coeficientes y raíces de un polinomio, aceptando como partedel sistema que dichas soluciones pueden o no involucrar raíces de números negativos.
Descartes llama "imaginarias" a las expresiones que contienen estos valores; este nombre se seguiría usando desde entonces.
En 1777, Euler emplea por primera vez el símbolo "i" para representar a la raíz cuadrada de -1, y además establece la siguiente ecuación que es fundamental en el álgebra de números complejos:
Otra contribución muy importante de Euler es el probar que los números complejos pueden elevarse a cualquier potencia compleja y el resultado es otro complejo. Con esto se sientan las bases para demostrar que todas las ecuaciones algebraicas tienen solución en los números complejos.
A finales del siglo XVII y principios del siglo XIX, Argand representa a números de la forma a + bi como puntos (a, b) en el plano, idea que sería retomada por Gauss y empleada para encontrar las n raíces n-ésimas de un número complejo cualquiera. Estos trabajos llevaron a que en 1799 Gauss formulara el teorema fundamental del álgebra.
Entre 1830 y 1840 Cauchy desarrolló una teoría completa de funciones de variable compleja, de expansión en series de expresiones de esta clase y extendió enormemente los trabajos sobre el plano gaussiano.
William Rowen Hamilton
Durante los siguientes treinta años, William Rowen Hamilton analizó a los números complejos como parejas de reales de la forma (x, y), y profundizó en el concepto de que pueden usarse para describir rotaciones en el plano. A partir de este momento, enfocó muchos de sus trabajos a desarrollar un álgebra de tripletes (x, y, z) que tuviera las siguientes características:
Considerando que (1, 0, 0) = 1, y que (0, 1, 0) = i, Hamilton llamó j a la unidad (0, 0, 1), e intentó definir las operaciones algebraicas para números de la forma a + bi + cj, sin mucho éxito.
La suma y la resta son muy sencillas. El principal problema surge de la multiplicación, debido a que extendiendo las reglas algebraicas de los números reales, tenemos que:
(a + bi + cj)(d + fi + gj) = ad + afi + agj+ bdi + bfii + bgij + cdj + cfji + cg jj
De acuerdo a la propiedad de la cerradura, ese número debe poder reducirse a otro de la forma x + yi + zj, lo cual plantea un problema muy serio.¿Cómo se pueden reducir los productos i*i, i*j, j*i y j*j ?
Hamilton consideró que tanto i, como j, son unidades imaginarias que cumplen con las mismas propiedades, es decir que si tomamos únicamente a los números de la forma a + cj, obtenemos un álgebra idéntica a la de los números complejos originales que son a + bi. Dicho de otra forma, las ecuaciones en tripletes son simétricas si intercambiamos las i'es por j's. (De hecho, cualquier número de la forma xi + yj tal que su valor absoluto sea 1, se comporta igual que la unidad imaginaria con respecto a los reales, pero ésto sería demostrable plenamente hasta cuando se emplearon los cuaternios).
Tomando eso en consideración, i*i = j*j = -1, sin embargo, ¿qué pasa con i*j? El resultado no puede ser real, porque entonces estaríamos perdiendo la propiedad de linealidad. Supongamos que i*j = a, entonces, podemos multiplicar ambos lados por i, y tendríamos i*i*j = i*a lo que equivale a -j = ai.
Esto no puede ser, porque las unidades eran linealmente independientes entre sí, por lo tanto, debe ser un resultado imaginario.
Sin embargo, no puede ser tampoco un número de la forma bi, porque entonces j = b, y b es un real. Tampoco puede ser un imaginario cj, porque eso implicaría que c = i.
Este problema deprimió a Hamilton durante mucho tiempo, porque si no podía ni siquiera multiplicar, mucho menos iba a poder extender su álgebra a todas las operaciones de los números reales y complejos.
Cuentan sus biógrafos que sus hijos le preguntaban en las mañanas: "Papá, ¿ya puedes multiplicar tripletes?"...
Finalmente, el lunes 16 de octubre de 1843, mientras Hamilton caminaba rumbo a la Academia Real Irlandesa con su esposa, se le ocurrió la solución a su problema.
En síntesis, la idea de Hamilton fue simple: ¿por qué no usar cuatro dimensiones en lugar de tres? Dado que los tripletes parecen no funcionar, entonces decidió analizar la posibilidad de números de la forma (a, b, c, d), que equivalen a expresarlos como a + bi + cj + dk, donde i, j, k, son tres unidades imaginarias linealmente independientes entre sí, y con respecto a los reales. A estos cuadrupletes los llamó cuaternios.
La gran diferencia es que como la multiplicación es una operación binaria, entonces tres unidades imaginarias no presentan el mismo problema de dos. Simplemente podemos decir que ij = k. De forma análoga, tenemos jk = i, ki = j.
Al momento de hacer interpretaciones geométricas, Hamilton se dio cuenta que haciendo que la parte real fuera igual a cero, las tres unidades imaginarias podían representar muy cómodamente los puntos en el espacio, y después identificó sus propiedades rotacionales.
Sin embargo, no resolvió completamente el problema de la multiplicación, hasta que por fin se decidió a abandonar uno de los paradigmas más fuertes del álgebra en sus tiempos: la conmutatividad de la multiplicación.
En general, si A y B son dos cuaternios, no necesariamente se cumple que AB = BA, y esto tiene sentido al analizar las rotaciones en 3D, nos damos cuenta que un giro en torno a un eje define una dirección, por lo que si reflejamos en un espejo el espacio cartesiano, el resultado no es el mismo.
Esta convención de giro es a la que aprendemos en secundaria como "ley de la mano derecha" (sic), debido a la ayuda mnemotécnica que nos da para recordar que ij = k, pero que ji = -k.
Pero los detalles de la multiplicación no nos ocupan por el momento.
De esta forma, Hamilton creó la primer álgebra no conmutativa en ser definida, y la primera en contener como un subconjunto a los números complejos. A éstas álgebras se les llama genéricamente hipercomplejas, y en particular a los cuaternios, se les conoce como números de complejidad 2.
Hermann Grassman, en 1844 desarrolló una teoría de multiplicaciones vectoriales de n-dimensiones, completamente consistente con el álgebra de Hamilton, la cual divide a los productos vectoriales en internos y externos. A esto se debe que podamos dividir a una multiplicación de cuaternios en una parte simétrica y otra antisimétrica.
Inmediatamente después de las publicaciones de Hamilton, otros matemáticos intentaron repetir el truco con álgebras de 5 ó 6 dimensiones, sin éxito. Sin embargo, no tardaron mucho en entender que la próxima álgebra consistente existe sólo en 8 dimensiones, y de esta forma, en 1845 (tan sólo dos años después que Hamilton), Arthur Cayley publicó su trabajo sobre los octonios, los cuales son números de la forma (a, b, c, d, e, f, g, h), donde existen siete unidades imaginarias y una real, y cuyas propiedades más básicas se describen aquí. Nació así el álgebra de complejidad 3. La cual tiene la inconveniencia de que no sólo deja de ser conmutativa sino también asociativa.
Los matemáticos definieron como álgebra de complejidad N, a aquella que contuviera enteramente a la de complejidad N-1, estando definida en 2^N dimensiones, por 1 unidad real y 2^N - 1 unidades imaginarias. Por ejemplo, los octonios son el álgebra de complejidad 3, porque contienen completamente a la de complejidad 2 (los cuaternios), existe en 8 dimensiones, con una unidad real y 7 vectores imaginarios.
En 1858, Cayley publicó sus trabajos sobre una nueva álgebra no conmutativa para la multiplicación, pero no ligada directamente a las raíces de polinomios: las matrices. Después de definir las operaciones básicas entre ellas, extendió gran parte del análisis de funciones conocidas en el momento a arreglos matriciales.
Las matrices encontraron una gran aplicación en ramas muy diferentes, sobre todo en la economía. La ciencia las aprovechó para resolver sistemas de ecuaciones lineales (o diferenciales ordinarias), reduciendo a una ecuación única todo el sistema. En el siglo XX, el álgebra de matrices se desarrolló fuertemente bajo el concepto generalizado de tensor, cuando un conjunto de números que pueden entenderse como un arreglo matricial n-dimensional, cumple con ciertas propiedades al transformarse de un sistema base a otro.
Los cuaternios poco a poco fueron perdiendo popularidad, y los matemáticos los emplearon cada vez menos. Sin embargo, dieron origen al álgebra vectorial, debido a una de sus propiedades más importantes.
El mismo Hamilton se dio cuenta que un cuaternio de la forma w + xi + yj + zk, representa en general a un punto en un 4-espacio, pero si forzamos un álgebra formada por aquellos cuaternios con w = 0, nos quedan tríadas de números (sin ninguna unidad real entre ellos), de la forma xi + yj + zk, que representan a los puntos (x, y, z) en el espacio tridimensional. A estos números los podemos llamar 3-vectores, o simplemente vectores.
Nótese que esta álgebra de tríadas no es la que Hamilton buscaba, dado que no contiene a los reales ni a los complejos, pues todas las unidades son imaginarias.
Si aplicamos la regla de la multiplicación de los cuaternios, tenemos que:
(xi + yj + zk)(ri + sj + tk) = -(xr + ys + zt) + (yt - zs)i + (zr - xt)j + (xs - yr)k
Al multiplicar dos vectores, obtenemos en realidad un cuaternio, entonces, la multiplicación tal como la conocemos no existe para los vectores; sin embargo, podemos distinguir que si tomamos solamente la parte imaginaria del resultado, nos quedamos con un vector, y si tomamos la parte real, lo que obtenemos es un escalar.
En el álgebra de vectores lo que se hizo fue aislar cada una de estas partes, nombrándolas producto punto y producto cruz.
El producto punto es entonces el negativo de la parte real, y el producto cruz es la parte imaginaria del número.
La razón del signo menos no importa por el momento, pero en escencia
permite que 
, en lugar de lo que
nos indica el álgebra de números imaginarios de que i*i = j*j
= k*k = -1. Con el desarrollo posterior sobre el concepto de "métricos"
o productos de contracción como el de Minkowsky, signos como este adquirieron
mucha importancia, pero eso no nos concierne aquí.
Pasaron los años, y se siguió buscando la forma de definir el álgebra de complejidad 4. Según las hipótesis, esta álgebra tendría la propiedad de estar formada por una unidad real y 15 imaginarias, en un espacio de 16D. Cuando los matemáticos se ocuparon de estudiarla, llamaron a estos números sedenios, pero se dieron cuenta que es posible que dos sedenios P y Q, cumplan con PQ=0, sin que ni P ni Q sean 0. Este simple resultado hace imposible definir la división, y por lo tanto el álgebra sirve para muy poco...
Por último, en el año de 1957, John Willar Milnor probó que los octonios son el álgebra más grande que puede contener a la división, con lo que acabó la búsqueda de álgebras de complejidad mayor que 3 con el objetivo de generalizar a los reales.
Sin embargo, se han definido sistemas de complejidad 4, 5, 6, 7 y hasta 8 (con 256 dimensiones), aunque hasta la fecha no tienen utilidad práctica importante, y cada nivel más, pierde un número mayor de propiedades esenciales.
Copyright © 1999-2001 Ricardo Arturo Espinoza Reyes